Исследовательская работа на тему : "Формула Пика"(9 класс, математика)

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение  средняя общеобразовательная школа с.Ишпарсово  Секция :математика  Исследовательская работа на тему: Выполнила: Егорова Анна Андреевна 9 класс Руководитель: Идрисова Раиля Гайзулловна    с.Ишпарсово ,ул.Школьная 6 Телефон: 27­20­33 2016­2017 учебный год. СОДЕРЖАНИЕ. I. Введение,  цели и задачи                                                                                  3­5 II. Формула Пика 2.1.Решетки .Узлы 2.2.Триангуляция многоугольника 6­8 9­10 2.3 Исследование  площадей многоугольников  11­13 2.4. Вывод ІІІ  . Заключение І V. Список  литературы 14 15 16 ­2­ Введение  «Решение задач – практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано; научиться ему можно, только подражая хорошим                                                                                    образцам и постоянно практикуясь» (Д. Пойя).     В заданиях к ЕГЭ  встречаются задачи на вычисление площади фигуры,  изображённой на клетчатой бумаге. Чтобы вычислить площадь изображённой  фигуры, необходимо  сделать дополнительные построения: разбить данную  фигуру на несколько треугольников и прямоугольник, провести высоту в  треугольнике. Возникли вопросы: в чём заключается особенность таких задач,  существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на вычисление  площади фигур, изображённых клетчатой бумаге. Учительница сказала, что  существует еще формула Пика, по которой можно легко вычислить площадь  многоугольника, изображенной  на клетчатой бумаге. Велела самостоятельно  найти эту формулу и изучить. Мы всем классом приступили к изучению  литературы, Интернет­ресурсов по данной  теме. На одном из сайтов  нашла  формулу Пика.  Эта формула меня заинтересовала, и я попробовала решать   задания, используя данную формулу. Задачи решались очень быстро и легко.  Увидев  такие задачи в контрольно – измерительных материалах ЕГЭ и ГИА,  решила обязательно исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с  нахождением площади изображённой фигуры.  ­3­ Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на  клетчатом листке.     Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а  вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть,  эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.   Объект исследования: формула Пика .   Предмет исследования: задачи на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.   Методы исследования: сравнение, обобщение.                                             Цель исследования: обосновать рациональность использования формулы  Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на  клетчатой бумаге. задачи:  1) Изучить литературу по данной теме. 2) Прорешать задачи на нахождение площади фигур, изображённых на  клетчатой бумаге геометрическим  методом. 3) Прорешать  задачи на нахождение площади фигур, изображённых на  клетчатой бумаге, используя формулу Пика. 4) Сравнить и проанализировать  результаты исследования. 5) Создать электронную презентацию работы для представления собранного  материала одноклассникам                                                                                  ­4­     Гипотеза:  Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуле планиметрии. ­5­ І. Формула Пика.        2.1 Решетки и узлы. Нарисуем на клетчатой бумаге какой­нибудь многоугольник. Например,  такой, как показан на рисунке 1 (Приложение 1). Попробуем теперь  рассчитать его площадь. Как это сделать? Наверное, проще всего разбить его  на прямоугольные треугольники и прямоугольники, площади которых уже  нетрудно вычислить и сложить полученные результаты. Использованный нами способ несложен, но очень громоздок, кроме того он  годится не для всяких многоугольников.  Например: рис.2 и рис.3  (приложение2) Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих  плоскость на равные квадраты; множество всех точек пересечения этих  прямых называется точечной решеткой или просто решеткой , а сами точки – узлами решетки.(презентация3) ­6­ Внутренние узлы   многоугольника ­ красные.   Узлы  на гранях  многоугольника ­ синие. Чтобы   оценить   площадь   многоугольника   на   клетчатой   бумаге, достаточно   подсчитать,   сколько   клеток   покрывает   этот   многоугольник (площадь   клетки   мы   принимаем   за   единицу).   Точнее,   если  S  –   площадь многоугольника,   В   ­   число   клеток,   которые   целиком   лежат   внутри многоугольника,   и   Г   ­   число   клеток,   которые   имеют   с   внутренностью многоугольника хоть одну общую точку  .  Однако оказывается, что есть  очень простая формула, позволяющая  вычислить площади таких многоугольников с вершинами в узлах квадратной  сетки. ­7­ S = B +   1, где S ­ площадь многоугольника, выраженная в площадях  единичных квадратиков сетки, Г – количество узлов сетки, лежащих на  границах многоугольника, а В – количество узлов сетки, лежащих внутри  многоугольника. Эту формулу открыл австрийский математик Пик Георг Александров в 1899  году. ­8­ 2.2.Триангуляция многоугольника     Перейдём от частного случая к общему, воспользовавшись теоремой о  разрезании на треугольники произвольного многоугольника.     Пусть на плоскости задан некоторый (не обязательно выпуклый)  многоугольник и некоторое конечное множество К точек, лежащих внутри  многоугольника и на его границе (причем все вершины многоугольника  принадлежат множеству К). Триангуляцией с вершинами К называется  разбиение данного многоугольника на треугольники с вершинами в множестве К такое, что каждая точка из К служит вершиной каждому из тех  треугольников триангуляции, которым эта точка принадлежит (то есть точки  из К не попадают внутрь или на стороны треугольников).      Рис.  1(презентация4) Теорема 1.  а) Любой п ­ угольник можно разрезать диагоналями на треугольники, причём количество треугольников будет равно п – 2. (Это разбиение – триангуляция с вершинами в вершинах п – угольника). Рис. 1 -9- Для   вычисления   площади   такого   многоугольника   можно   воспользоваться следующей теоремой: Пусть В —   число   целочисленных   точек   внутри   многоугольника, Г —  —   его   площадь.   Тогда количество   целочисленных   точек   на   его   границе,  справедлива формула Пика:  S=В+Г 2−1 .Рассмотрим пример(презентация5) ­10­ 2.4 Исследование площадей многоугольников.(презентация6) 1) На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник.Найдите его площадь в квадратных сантиметрах Рисунок По формуле геометрии S=1 ah 2 По формуле Пика S=В+Г 2−1 a=6; h=5. S=1/2 ∙ 6 ∙ 5 Г=12 ; B=10 . S=10+12/2  ­1=15 =15 2) На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен  треугольник.Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.  Рисунок По формуле геометрии S=1 2 ah Sтр.ABD=1/2 AD ∙ BD=1/2 ∙ 2 ∙ 1=1 Sтр.BDC=1/2 DC  ∙ BD=1/2 ∙ 3 ∙ 1=1,5 По формуле  Пика S=В+Г 2−1 Г=3 ;В=0. S=0+3/2­1=0,5 Sтр.ABC=Sтр.BDC­ Sтр.ABD= 1,5­1=0,5                                                                                ­11­    Найдите площадь S сектора, считая стороны  квадратных клеток равными 1. В ответе укажите   . (презентация8)  Г= 5, В= 2, S = В + Г/2 – 1= 2 + 5/2 – 1= 3,5,    1,11≈ 3)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен  четырех­  угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. (презентация7) По формуле Пика S=В+Г 2−1 Г=14;В=19. S=18+14/2­1=24 Рисунок По формуле геометрии S=a∙b Sкв.KMNE=7 ∙ 7=49 Sтр.AKB=1/2 ∙ KB ∙ AK=1/ 2 ∙ 4 ∙ 4=8 Sтр.AKB=Sтр.DCE=8 Sтр.AND= 1/2 ∙ ND ∙ AN=1/2 ∙ 3 ∙ 3=4,5 Sтр.AND=Sтр.BMC=4,5 Sпр.= Sкв.KMNE­ Sтр.AKB­  Sтр.DCE­ Sтр.AND­  Sтр.BMC=49­8­8­4,5­4,5=24 Найдите площадь S кольца, считая стороны квадратных клеток равными 1. В  ответе укажите   . (презентация9) Г= 8,  В= 8, S = В + Г/2 – 1= 8 + 8/2 – 1=11,   3,5≈ ­12­    Ответ:  3,5≈ 11.Найти площадь полной поверхности  прямоугольного параллелепипеда,  считая стороны квадратных клеток равными 1.(презентация10) К сожалению, подсчитать количество узлов решетки, попавших на границу  параллелепипеда и внутрь параллелепипеда нельзя. Поэтому вычислить   площадь полной поверхности по формуле Пика невозможно. Это недостаток  формулы. Она не имеет прямого аналога в пространстве. -13- Проанализировав способы решения задач, можно сделать следующие  выводы: 1) Формула Пика даёт быстрое и простое решение задач на нахождение  площади фигуры, вершины которой лежат в узлах решётки, то есть  нахождения площадей многоугольников. 2) Использование формулы Пика для нахождения площади кругового сектора  или кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат. 3) Формула Пика не применяется для решения задач в пространстве. ­14­                                                      Заключение     При выполнении работы были решены  задачи на нахождение площади  многоугольников, изображённых на клетчатой бумаге двумя способами:  геометрическим и с помощью формулы Пика.      Анализ решений показал, что применение формулы Пика даёт возможность решать задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на  клетчатой бумаге быстро и легко.  Это позволяет экономить время на ЕГЭ по  математике     Эта работа вызвала у нас интерес, и мы надеемся, что наши выводы,  полученные в результате наших исследований, помогут выпускникам  одиннадцатых  и девятых классов при сдаче ЕГЭ и ОГЭ по математике. ­15­ Список литературы 1. Математический энциклопедический словарь. – Москва «Советская  энциклопедия» 1988г.   Смирнов В. А. ЕГЭ. Математика. Задача В6. Планиметрия. Р/т. – М.:  МЦНМО, 2011.  Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия на клетчатой бумаге. – М.:  Чистые пруды, 2009.  Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – 2011.  Режим доступа: http://mathege.ru/or/ege/ShowProblems.html?posMask=32  Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула  2. 3. 4. 5. Пика, журнал                      « Математика», 2009, № 17, с. 24­25. ­16­ Приложение 1 Рис.1 Приложение 2.                                     Рис. 2                     Рис.3 ­