Исследовательская работа на тему "Быстрый счет – легко и быстро!" 7 класс

Министерство образования Республики Башкортостан Секция: Математика ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ: «Быстрый счет – легко и просто!» Салахова Дана 7 класс, МБОУ СОШ №5 г. Дюртюли  МР Дюртюлинский район Научный руководитель: Биктанова Рита  Альфитовна г. Дюртюли 2017 Содержание Введение ……………………….……………….……………………….………. 1 История возникновения счета ……………………………………………….. 2 Некоторые закономерности и особенности натуральных чисел ………….. 3 Приемы устного счета ………………………………………………………... 3.1 Умножение на 11, 22, 33, …99 …………………………………………….. 3.2 Умножение на число, оканчивающееся на 5 ……………………………… 3.3 Умножение и деление на 25 ,50 75, 125, 250, 500 ………………………… 3.4 Умножение и деление на 37 …………………….………………………….. 3.5 Умножение и деление на 111 ………………………………………………. 3.6 Умножение двух рядом стоящих чисел …………………………………… 3.7 Умножение пары чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10 …………………………………………….. 3.8 Умножение двузначных чисел, у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые ………………………………………………. 3.9 Умножение чисел, оканчивающихся на 1 ………………………………… 3.10 Умножение двузначных чисел на 101, трехзначных – на 1001 ………… 3.11 Задача Гаусса ………………………………………………………………. Заключение………………………………..…………………..…………….......... Список литературы…………………………………………………………….... 2 3 4 10 15 15 15 16 18 19 19 20 21 21 21 22 23 24 3 Введение 4   Постоянное применение современной вычислительной техники приводит к тому, что учащиеся затрудняются производить какие­либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или счетной машины. Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме,   но   и   контролировать,   оценивать,   находить   и   исправлять   ошибки   в результате   механизированных   вычислений.   освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры   мышления,   помогает   полноценно   усваивать   предметы   физико­ математического цикла.   Кроме   того, В данной работе мной проведено исследование свойств и закономерностей натуральных  чисел, не  рассматриваемых  в  рамках  школьной  программы,  для определения их практической  значимости, их использования  при выполнении арифметических действий. Объект исследования:  Закономерности, свойства и особенности натуральных чисел. Предмет исследования: Приемы упрощенных вычислений, позволяющих избежать трудоемких  вычислительных процессов. Цель исследования: Выявить и систематизировать приемы устного счета для их практического  применения при выполнении арифметических действий без использования  счетных машин. Задачи:  собрать информацию по рассматриваемой теме;  выделить некоторые закономерности натуральных чисел;  показать на конкретных примерах использование упрощенных приемов  вычислений, основанных на свойствах натуральных чисел. 1 История возникновения счета 5 Самым   первым   инструментом   счета   у   древнего   пещерного   человека   в верхнем палеолите, безусловно, были пальцы рук. Сама природа предоставила человеку   сей   универсальный   счетный   инструмент.   У   многих   народов   пальцы (или   их   суставы)   при   любых   торговых   операциях   выполняли   роль   первого счетного устройства. Для большинства бытовых потребностей людей их помощи вполне хватало. К счету по пальцам рук восходят многие системы счисления, например пятеричная (одна рука), десятеричная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног),   сорокаричная   (суммарное   число   пальцев   рук   и   ног   у   покупателя   и продавца).   У   многих   народов   пальцы   рук   долгое   время   оставались инструментом счета и на наиболее высоких ступенях развития. У нас в быту до сих пор используется счет мелких предметов “пятка ми”: пуговиц, шурупов, крупных семян, огурцов, яиц, чеснока и т.д. В царской России чеканились золотые монеты номиналом в 5, 10 и 15 рублей (империал). Однако в разных странах и в разные времена считали по­разному. Несмотря на то что у многих народов кисть руки является синонимом и фактической основой числительного “пять”, у различных народов при пальцевом счете от одного до пяти указательный и большой пальцы могут иметь разные значения. Например,   у   итальянцев   при   счете   на   пальцах   рук   большой   палец обозначает   цифру   1,   а   указательный   —   метит   цифру   2;   когда   же   считают американцы и англичане, указательный палец означает цифру 1, а средний — 2, в этом случае большой палец представляет цифру 5. А русские начинают счет на пальцах,   первым   загибая   мизинец,   и   заканчивают   большим   пальцем, обозначающим цифру 5, при этом указательный палец сопоставлялся с цифрой 4.   Но   когда   показывают   количество,   выставляют   указательный   палец,   затем средний и безымянный. Когда же совершался магический счет у древних египтян, они держали открытые ладони перед лицом, ведя счет от большого пальца правой руки до большого пальца левой руки. Североевропейский пальцевой счет позволял показывать пальцами одной руки, складываемыми в различные комбинации, все числа от 1 до 100. Причем большим и указательным пальцами изображались десятки, остальными тремя — единицы. Например, число 30 получалось, когда большой и указательный пальцы левой   руки  были  соединены   в  кольцо.  Для  того   чтобы  изобразить   число  60, большой   палец   нужно   согнуть   и   как   бы   склонить   его   перед   указательным, нависающим   над   ним   (рисунок   1).   Чтобы   показать   число   100,   нужно   было прижать   выпрямленный   большой   палец   снизу   к   указательному   и   отвести остальные три пальца в сторону. 6 Рисунок 1 ­ Изображение чисел 30  Рисунок 2 – Изображение числа 100 и 60 По свидетельству древнеримского историка Плиния­старшего, на главной римской площади — Форуме была воздвигнута гигантская фигура двуликого бога   Януса.   Пальцами   правой   руки   он   изображал   принятое   в   то   время обозначение в Риме числа 300 (соединение большого и указательного в кольцо), пальцами левой руки — 55 (загнут большой и средний). Вместе это составляло число дней в году в римском календаре. То  обстоятельство,  что  в Англии  первые   десять  чисел в  Средние  века называли общим именем — “пальцы”, подтверждает распространенность счета на   пальцах   и   у   англичан.   Видимо,   неслучайно   и   то,   что   в   древнерусской нумерации   единицы   назывались   “перстами”,   десятки   —   “суставами”,   а   все остальные числа — “сочислениями”. Счет парами вплоть до середины XVIII века всегда занимал важное место в жизни россиян, поскольку имел качественное происхождение — пара рук, ног, глаз и пр. Недаром говорили: “два сапога — пара”, “двугривенный” и т.д. Естественной   мерой   расстояния,   связанной   с   землемерием   и   ножными промерами   русских   землепроходцев,   являлся   сдвоенный   или   “парный   шаг” (равный   одной   маховой   сажени).   В   торговых   операциях   с   шелковой   тканью, привозимой из Турции, всегда использовался так называемый русский локоть (именуемый также парным или “большим локтем”). Дело в том, что в те времена материя   приготавливалась   в   виде   узких   полос,   которые   удобно   было отмеривать,   наматывая   на   руку,   —   начиная   со   сгиба   большого   пальца,   — оборачивая ее вокруг локтя и снова натягивая ее до большого пальца. Длина полного   оборота   материи   вокруг   “локтя”   давала   особую   единицу   меры   — “двойной локоть”, который вошел у нас в употребление с XV века и получил название “русский локоть” или “аршин”. 7 Счет десятками возник около 3—2,5 тысячи лет до нашей эры в Древнем Египте.   Претерпев   небольшие   изменения,   древнеегипетская   десятеричная система сначала обосновалась на Востоке (в Индии примерно к VI веку нашей эры,   более   известная   как   индийский   счет),   а   затем   через   весьма   активную торговлю   в XI—XIII   веках   достигла   пределов   Древней   Руси.  От   Орды   Русь переняла десятичную систему счисления для весовых измерений и денежного счета, опередив в этом даже Европу, которая познакомилась с десятеричной системой счисления через арабов только в XIII веке, а усвоила ее и того позже. Однако окончательно эта система счисления прижилась в России вместе с реформами Петра I, пришедшими к нам из Европы. Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных   методов,   которым   успешно   пользовались   на   протяжении многих   столетий   российские   купцы.   Они   научились   умножать   на   пальцах однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета “единицами”, “парами”, “тройками”, “четверками”, “пятерками”   и   “десятками”.   Пальцы   рук   здесь   служили   вспомогательным вычислительным устройством. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя.   Остальные   пальцы   загибали.   Потом   бралось   число   (суммарное) вытянутых   пальцев   и   умножалось   на   10,   далее   перемножались   числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались (рисунок 3). Рисунок 3 ­ Древнерусский способ умножения на пальцах рук Счет дюжинами ведет свое начало от счета по фалангам пальцев рук. При этом   большой   палец   играл   роль   счетчика,   при   помощи   которого пересчитывались   фаланги   других   пальцев.   Двенадцать   получается,   если, например, начать с нижней фаланги указательного пальца и закончить верхней фалангой   мизинца.   Причем   у   разных   европейских   народов   в   торговле укоренился   счет   дюжиной   дюжин   (“гроссом”),   пятеркой   дюжин,   то   есть “шестидесятками”, и даже дюжиной гросса, то есть “массой”. Двенадцатеричная   система   счисления   была   когда­то   широко распространена   у   многих   европейских   народов   (рисунок   4).   Узаконить   счет дюжинами   и   гроссами   пытался   еще   шведский   король   Карл   XII   (тот   самый, которого русские войска разгромили под Полтавой в 1709 году). 8 Рисунок 4 ­ Европейский (древнеегипетский) пальцевой счет дюжинами по фалангам Счет   сороками   (или   “сороковицами”)   имел   преимущественное распространение   в   Древней   Руси.   Число   40   (четыре   десятка)   долгое   время называли “четыредцать” или “четыредесят”. Но восемьсот лет тому назад для обозначения этого множества на святой и православной Руси впервые появилось название “сорок”.  Число   40   обладало   у   нас   особым   значением,  например,  сорокадневные периоды, упоминаемые в Священном Писании, в пуде содержалось 40 фунтов, в мерной бочке — 40 ведер, в указном ведре — 40 косушек и т.д. О том, что число 40 на Руси когда­то играло особую роль при пальцевом счете, говорят и некоторые связанные с ним поверья. Так, сорок первый медведь считался   роковым   для   российского   охотника,   убить   паука   —   означало избавиться от сорока грехов и т.д. Все то количество, которое превышало некое множество   (например,   “сорок”),   превосходящее   всякое   воображение   (“сорок сороков”) и не умещавшееся в голове российского землепашца из­за своей ничем не ограниченной величины, называлось одним словом — “тьма”. Это вычисление ведет свое начало от счета по суставам пальцев сибирских звероловов,   которые   таким   манером   вели   учет   общего   количества   звериных шкур (“сороков”), подлежащих бартеру (мене) на другие товары (рисунок 5).  Большим   пальцем   правой   руки,   используемым   в   качестве   счетчика, сибирский охотник пересчитывал каждую пару суставов на четырех оставшихся пальцах и, насчитав таким образом восемь единиц, загибал один палец левой руки. Очевидно, что операция счета кончалась, когда были загнуты все пять пальцев   левой   руки,   что   давало   пять   восьмерок,   одну   “сорочку”   или   число “сорок. 9 Рисунок   5   ­   Старорусский   счет   сибирских   звероловов   по   суставам пальцев. Самая   сложная   —   китайская   пальцевая   система   счета.   Каждый   палец обеих   рук   “размечался”   трижды:   посреди   и   по   бокам,   переход   от   пальца   к пальцу означал повышение разряда, позволяя отмечать прикосновениями ногтя большого пальца числа от 1 до 99 999 999 (рисунок 6) Рисунок 6 ­ Китайская пальцевая система счета. Абак ­ древнейшее счетное устройство, пришедшее на смену пальцевому счету.   На   рисунке   7   его   китайская   разновидность   ­   суаньцань.   В   нижнем отделении   на   каждую   проволоку   нанизано   по   пять   шариков,   как   бы соответствующих   пяти   пальцам,   в   верхнем   —   по   два   шарика,   которые соответствуют двум рукам. В верхнем отделении отложено число 108, в нижнем ­ 1872. 10 Рисунок 7 ­ Абак ­ древнейшее счетное устройство, пришедшее на смену пальцевому счету. Тело   человека   как   живая   счетная   машина   настолько   тесно   оказалось связанным со счетом, что на древнегреческом  языке само понятие “считать” выражалось словом “пятерить”. Да и в русском языке слово “пятерить” прежде означало способность к “увеличению”, “приумножению” или счету пятерками, другими словами — умению осуществлять счет по пальцам рук. Пальцевой счет, унаследованный от далеких предков, сохранился вплоть до   настоящего   времени   и   активно   используется,   например,   судьей   на боксерском ринге при отсчете секунд во время нокаута или на товарно­сырьевой бирже где­нибудь в Чикаго или Токио. Да и в быту он не забыт. И сегодня мы сгибаем   (а   американцы,   наоборот,   разгибают)   пальцы,   в   споре   показывая оппоненту ради большей убедительности количество аргументов в пользу своей позиции. 2  Некоторые   закономерности   и   особенности   натуральных чисел 11 Любому человеку, даже не изучавшему математику, натуральные числа хорошо знакомы. Их знали и изучали еще древнегреческие философы 2 тысячи с лишним лет назад. Но несмотря на их почтенный возраст, они достойны более пристального внимания. За прошедшие тысячелетия сделаны многочисленные открытия, разгадано не мало тайн, но до сих пор о натуральных числах мы знаем далеко не все. Известно, что   натуральные числа делятся на четные и нечетные. Давно была обнаружена интересная закономерность: сумма первых, следующих друг за другом нечетных чисел всегда равна квадрату числа слагаемых.   Впервые ее заметил .Колмогоров ещё в шестилетнем возрасте. По его учебникам и сейчас учатся наши теперешние старшеклассники. Закономерность 1 4  22 31  239531  24 7531 16  97531 25 ……………………. или в общем случае: 531  .......  )1 2( n 25  2 n . ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Закономерность 2. Числа  10,   11,   12, особенностью:  13,   14  обладают   удивительной   любопытной 12 102 +112+122 = 132 + 142 То есть 100+121+144 равно 365 и 169+196 тоже равно 365 365 ­ удивительное число еще и тем, что определяет число дней в году, а при делении на 7 дает в остатке 1, что имеет значение для старого семидневного календаря. Закономерность 3 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 121 196 169 144 Сумма трёх чисел, записанных в трёх клеточках "уголком" слева, равна  225 256 361 289 324 400 441 625 484 529 576 четвёртому, записанному внизу справа. Закономерность 4 Следующая   особенность   натуральных   чисел   связана   с   таблицей умножения. По диагонали в этой таблице расположены квадраты целых чисел. 1 2 3 4 5 2 4 6 8 10 3 6 9 12 15 4 8 12 16 20 5 10 15 20 25 Если два таких числа, следующие по диагонали друг за другом, обвести квадратом,   в   котором   содержатся   четыре   числа,   и   сложить   их,   то   получим квадрат целого числа:  23 4221 9  9664 25 …………………………………………………………….  9 2 3322 2 222     или    25 2 1    или    25 , 2 2 13 В общем случае это можно представить в виде формулы  bа (  ab   2 b а ) 2   2 2 Закономерность 5 Сумма первых n четных чисел равна произведению двух последовательно рассоложенных   натуральных   чисел  n  и  (n+1).   Такое   произведение   называют иногда «числом прямоугольника».  32  43 12  54 42 6 642 8642 ………………… или обобщенно: 642  20 )1 ... 2 n n n ( . Закономерность 6 Общую сумму всех натуральных чисел от единицы до  n  греки называли «числом   треугольника»,   поскольку   его   слагаемые   могут   быть   представлены точками, которые можно расположить в виде равностороннего треугольника. ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 1 21  )12(2 3 1 2 321  )13(3 6 1 2  4321 …………………… или обобщенно: )14(4 10 1 2 321  ( nn ... n 1 2 1 2 1 2 1 1 14 22 31  4 63  9 23 6  16 10 24 4 5 10  25 15 25 )1 . 1 2 3 2 3 3 4 Легко   заметить,   также,   что   между   квадратами   чисел   и   «числами треугольника»   имеется   простая   связь.  Сумма   двух   последовательных   «чисел треугольника» всегда является квадратом целого числа. Закономерность 7 Сумма  кубов  n  первых  натуральных  чисел  равна  квадрату суммы этих чисел. 13+23 = (1+2)2  13+23 +33 = (1+2+3)2 13+23 +33+43 = (1+2+3+4)2 Закономерность 8 8∙ 1 + 1 = 9    9 ∙ 1 + 2 = 11    8∙12 + 2 = 98    9 ∙ 12 + 3 = 111    9 ∙ 123 + 4 = 1111    8∙123 + 3 = 987    9 ∙ 1234 + 5 = 11111    8∙1234 + 4 = 9876 9∙9+7 = 88 9∙98 + 6 = 888 9∙987+5 = 8888 Представленная   в   таблице   закономерность   очевидна   и   может быть использована при устных вычислениях Интересна такая особенность натуральных чисел. 15 Числа,   которые   равны   сумме   своих   делителей,   греки   называли совершенными числами. Такими, например. Являются числа 6 и 28, потому что 6 =1+2+3 и одновременно 6 = 1 × 2 × 3;   28 = 1+2+4+7+14, и 28 делится только на 1, 2, 4, 7, 14.  Несмотря   на   то,   что   прошло   уже   более   2300   лет   после   открытия совершенных   чисел,   все   еще   нет   правила,   с   помощью   которого   можно   их вычислять,   и   даже   не   известно,   существуют   или   нет   нечетные   совершенные числа. Над этой проблемой бились многие выдающиеся математики, но она все еще остается за семью замками. Известно лишь, что четное число совершенно тогда, и только тогда, когда его можно записать в виде т 2(2 1 т )1 ,     т = 1, 2, 3 …, где  2 1 т 1  ­ простое число Эту формулу вывел известный швейцарский математик Эйлер. 3 Приемы устного счета 3.1 Умножение на 11, 22, 33, …99 16 Чтобы   двузначное   число,   сумма   цифр   которого   не   превышает   10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр: 72 ×11= 7 (7+2) 2 = 792; 35 ×11 = 3 (3+5) 5 = 385. Чтобы умножить 11 на двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше   10,   надо   мысленно   раздвинуть   цифры   этого   числа,   поставить   между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения: 94 ×11 = 9 (9+4) 4 = 9 (13) 4 = (9+1) 34 = 1034; 59×11 = 5 (5+9) 9 = 5 (14) 9 = (5+1) 49 = 649. Чтобы двузначное число умножить на 22, 33. …99, надо последнее число  представить в виде произведения однозначного числа (от 1 до 9) на 11, т.е. 44= 4 × 11; 55 = 5×11 и т. д.  Затем произведение первых чисел умножить на 11. 48 × 22 =48 × 2 × (22 : 2) = 96 × 11 =1056; 24 × 22 = 24 × 2 × 11 = 48 × 11 = 528; 23 ×33 = 23 × 3× 11 = 69 × 11 = 759; 18 × 44 = 18 × 4 × 11 = 72 × 11 = 792; 16 × 55 = 16 × 5 × 11 = 80 × 11 = 880; 16 × 66 = 16 × 6 × 11 = 96 × 11 = 1056; 14 × 77 = 14 × 7 × 11 = 98 × 11 = 1078; 12 × 88 = 12 × 8 × 11 = 96 × 11 = 1056; 8 × 99 = 8 × 9 × 11 = 72 × 11 = 792. Кроме того, можно применить закон об одновременном увеличении в  равное число раз одного сомножителя и уменьшении другого. 3.2 Умножение на число, оканчивающееся на 5 Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, следует   применить   правило:  если   один   из   сомножителей   увеличить   в несколько раз, а другой – уменьшить   во столько же раз, произведение не изменится. 17 44 × 5 = (44 : 2) × 5 × 2 = 22 × 10 = 220; 28 × 15 = (28 : 2) × 15 × 2 = 14 × 30 = 420; 32 × 25 = (32 : 2) × 25 × 2 = 16 × 50 = 800; 26 × 35 = (26 : 2) × 35 × 2 = 13 × 70 = 910; 36 × 45 = (36 : 2) × 45 × 2 = 18 × 90 = 1625; 34 × 55 = (34 : 2) × 55 × 2 = 17 × 110 = 1870; 18 × 65 = (18 : 2) × 65 × 2 = 9 × 130 = 1170; 12 × 75 = (12 : 2) × 75 × 2 = 6 × 150 = 900; 14 × 85 = (14 : 2) × 85 × 2 = 7 × 170 = 1190; 12 × 95 = (12 : 2) × 95 × 2 = 6 × 190 = 1140. При   умножении   на   65,   75,   85,   95   числа   следует   брать   небольшие,   в пределах второго десятка. В противном случае вычисления усложнятся. 3.3 Умножение и деление на 25, 50, 75, 125, 250, 500 Для   того,   чтобы   устно   научится   умножать   и   делить   на   25   и   75,   надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 4. На 4 делятся те, и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на 4. Например: 124 делится на 4, так как 24 делится на 4; 1716 делится на 4, так как 16 делится на 4; 1800 делится на 4, так как 00 делится на 4 Правило. Чтобы число умножить на 25, надо это число разделить на 4 и умножить на 100. Примеры: 484 × 25 = (484 : 4) × 25 × 4 = 121 × 100 = 12100 124 × 25 = 124 : 4 × 100 = 3100 Правило. Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4. Примеры: 12100 : 25 = 12100 : 100 × 4 = 484 31100 : 25 = 31100 :100 × 4 = 1244 Правило. Чтобы число умножить на 75, надо это число разделить на 4 18 и умножить на 300. Примеры: 32 × 75 = (32 :4) × 75 × 4 = 8 × 300 = 2400 48 × 75 = 48 : 4 × 300 = 3600 Правило. Чтобы число разделить на 75, надо это число разделить на 300 и умножить на 4. Примеры: 2400 : 75 = 2400 : 300 × 4 = 32 3600 : 75 = 3600 : 300 × 4 = 48 Правило. Чтобы число умножить на 50, надо это число разделить на 2 и умножить на 100. Примеры: 432× 50 = 432 :2 × 50 × 2 = 216 × 100 = 21600 848 × 50 = 848 : 2 × 100 = 42400 Правило. Чтобы число разделить на 50, надо это число разделить на 100 и умножить на 2. Примеры: 21600 : 50 = 21600 : 100 × 2 = 432 42400 : 50 = 42400 : 100 × 2 = 848 Правило. Чтобы число умножить на 500, надо это число разделить на 2 и умножить на 1000. Примеры: 428 × 500 = (428 :2) × 500 × 2 = 214 × 1000 = 214000 2436 × 500 = 2436 : 2 × 1000 = 1218000 Правило. Чтобы число разделить на 500, надо это число разделить на 1000 и умножить на 2. Примеры: 214000 : 500 = 214000 : 1000 × 2 = 428 1218000 : 500 = 1218000 : 1000 × 2 = 2436 Прежде   чем   научиться   умножать   и   делить   на   125.   надо   хорошо   знать таблицу умножения на 8 и признак делимости на 8. Признак. На 8 делятся те и только те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящееся на 8. Примеры: 3168 делится на 8, так как 168 делится на 8; 5248 делится на 8, так как 248 делится на 8; 12328 делится на 8, так как 324 делится на 8. 19 Чтобы   узнать,   делится   ли   трехзначное   число,   оканчивающееся цифрами 2, 4, 6. 8.  на 8, нужно к числу десятков прибавить половину цифр единиц. Если полученный результат будет делиться на 8, то исходное число делится на 8. Примеры: 632 : 8, так как  63(  ,8:) т.е. 64 : 8; 712 : 8, так как   71(  304 : 8, так как   30( 376 : 8, так как   37( 208 : 8, так как   20( ,8:)  т.е. 72 : 8; ,8:)  т.е. 32 : 8; ,8:)  т.е. 40 : 8; ,8:)  т.е. 24 : 8. 2 2 2 2 4 2 6 2 8 2    Правило. Чтобы число  умножить на 125, надо это число разделить на 8   и   умножить   на   1000.   Чтобы   число   разделить   на   125,   надо   это   число разделить на 1000 и умножить  на 8. Примеры: 32 × 125 = (32 : 8) × 125 × 8 = 4 × 1000 = 4000; 72 × 125 = 72 : 8 × 1000 = 9000; 4000 : 125 = 4000 : 1000 × 8 = 32; 9000 : 125 = 9000 : 1000 × 8 = 72. Правило. Чтобы число умножить на 250, надо это число разделить на 4 и умножить на 1000. Примеры: 36 × 250 = (36 : 4) × 250 × 4 = 9 × 1000 = 9000; 44 × 250 = 44 : 4 × 1000 = 11000. Правило. Чтобы число разделить на 250, надо это число разделить на 1000 и умножить на 4. Примеры: 9000 : 250 = 9000 : 1000 ×4 = 36; 11000 : 250 = 11000 : 1000 ×4 = 44 20 3.4 Умножение и деление на 37 Прежде чем научиться устно умножать и делить на 37, надо хорошо знать таблицу умножения на три и признак делимости на три, который изучается в школьном курсе. Правило. Чтобы умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111. Примеры: 24 × 37 = (24 : 3) × 37 × 3 = 8 × 111 = 888; 27 × 37 = (27 : 3) × 111 = 999. Правило. Чтобы число разделить на 37, надо это число разделить на 111 и умножить на 3 Примеры: 999 : 37 = 999 :111 × 3 = 27; 888 : 37 = 888 :111 × 3 = 24. 3.5 Умножение  на 111 Научившись умножать на 11, легко умножить на 111, 1111. и т. д. число, сумма цифр которого меньше 10. Примеры: 24 × 111 = 2 (2+4) (2+4) 4 = 2664; 36 ×111 = 3 (3+6) (3+6) 6 = 3996; 17 × 1111 = 1 (1+7) (1+7) (1+7) 7 = 18887. Вывод.  Чтобы  число   умножить  на  11,  111.   и  т.  д.,   надо  мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т. д. шагов, сложить цифры и записать между раздвинутыми цифрами. 3.6 Умножение двух рядом стоящих чисел Примеры:  1) 12 ×13 = ?     1 × 1 = 1 Проверка:     ×12      13 1 × (2+3) = 5      2 × 3 = 6               156 2) 23 × 24 = ?       2 × 2 = 4     2 × (3+4) = 14       3 × 4 = 12                  552 3) 32 × 33 = ?      3 × 3 = 9      3 × (2+3) = 15        2 × 3 = 6                1056 4) 75 × 76 = ?       7 × 7 = 49      7 × (5+6) = 77        5 × 6 = 30                5700 21      36    12_    156 Проверка:     × 23       24       92     46_     552 Проверка:      × 32        33        96      96_    1056 Проверка:       × 75         76       450     525_     5700 Вывод.  При   умножении   двух   рядом   стоящих   чисел   надо   сначала перемножить цифры десятков, затем цифру десятков умножить на сумму цифр единиц и, наконец, надо перемножить цифры единиц. Получим ответ (см. примеры) 3.7 Умножение пары чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10 Пример: 24 × 26 = (24 – 4) × (26 + 4) + 4 × 6 = 20 × 30 + 24 = 624. Числа 24 и 26 округляем до десятков, чтобы получить число сотен, и к числу сотен прибавляем произведение единиц. 18 × 12 = 2 × 1 сот. + 8 × 2 = 200 + 16 = 216; 22 16 × 14 = 2 × 1 × 100 + 6 × 4 = 200 + 24 = 224; 23 × 27 = 2 × 3 × 100 + 3 × 7 = 621; 34 × 36 = 3 × 4 сот. + 4 × 6 = 1224; 71 × 79 = 7 × 8 сот. + 1 × 9 = 5609; 82 × 88 = 8 × 9 сот. + 2 × 8 = 7216. Можно решать устно и более сложные примеры: 108 × 102 = 10 × 11 сот. + 8 × 2 = 11016; 204 × 206 = 20 × 21 сот. +4 × 6 = 42024; 802 × 808 = 80 × 81 сот. +2 × 8 = 648016. Проверка:       × 802         808       6416   6416__   648016 3.8  Умножение двузначных чисел, у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые. Правило.  При  умножении  двузначных  чисел.  у  которых  сумма   цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые, надо перемножить цифры десятков. и прибавить цифру единиц, получим число сотен и к числу сотен прибавим произведение единиц. Примеры: 72 × 32 = (7 × 3 + 2)сот. + 2 × 2 = 2304; 64 × 44 = (6 × 4 + 4) × 100 + 4 × 4 = 2816; 53 × 53 = (5 × 5 +3) × 100 + 3 × 3 = 2809; 18 × 98 = (1 × 9 + 8) × 100 + 8 × 8 = 1764; 24 × 84 = (2 × 8 + 4) ×100+ 4 × 4 = 2016; 63 × 43 = (6 × 4 +3) × 100 +3 × 3 = 2709; 35 × 75 = (3 × 7 + 5) × 100 +5 × 5 = 2625. 3.9 Умножение чисел, оканчивающихся на 1 Правило.  При умножении чисел, оканчивающихся на 1, надо сначала перемножить цифры десятков и правее полученного произведения записать под этим числом сумму цифр десятков, а затем перемножить 1 на 1 и записать еще правее. Сложив  столбиком, получим ответ. 23 Примеры: 1) 81 × 31 = ?      8 × 3 = 24      8 + 3 =   11      1 × 1 =       1                   2511   81 × 31 = 2511 2)  21 × 31 = ?       2 × 3 = 6        2 +3 =   5       1 × 1 =     1                    651    21 × 31 = 651 3) 91 × 71 = ?      9 × 7 = 63      9 + 7 =   16       1 × 1 =      1                   6461 91 × 71 =   6461 3.10 Умножение двузначных чисел на 101, трехзначных – на 1001 Правило.  Чтобы   двузначное   число   умножить   на   101,   надо   к   этому числу приписать справа это же число. Примеры: 32 × 101 = 3232 48 × 101 = 4848; 56 × 101 = 5656. Проверка:  × 32    101     32 32__  3232 Правило. Чтобы трехзначное число умножить на 1001, надо к этому числу справа приписать это же число. Примеры: 324  1001 = 324324 648  1001 = 648648; 999  1001 = 999999. 2.12 Задача Гаусса Проверка:            324          1001            324      324___      324324 24 Немецкого   ученого   Карла   Гаусса   называли   королем   математиков.   Его математическое   дарование   проявилось   ещё   в   детстве.   Рассказывают,   что   в трехлетнем   возрасте   он   удивил   окружающих,  поправив   расчеты   своего   отца. Однажды в школе (Гауссу в то время было 10 лет) учитель предложил классу сложить все числа от 1 до 100.  Пока он диктовал задание, у Гаусса уже был готов ответ. На грифельной доске у него было написано 101∙50 = 5050. Посчитать сумму чисел от и до  Чисел Пар Сумма крайних Результат От 1 до 20 От 1 до 100 От 1 до 50 От 1 до 30 От 1 до n От 101 до 300 От 51 до 450 20 100 50 30 n 10 50 25 15 21 101 51 31 210 5050 1275 465 n/2 n +1 n ( n+1)/2 200 100 400 200 401 501 40100 100200 Мы   автоматически   вывели   формулу   для   вычисления   суммы  n  чисел. (Формула верна для любого n). Заключение В   процессе   работы   над   темой   «Быстрый   счет   ­   легко   и   быстро!»,   я познакомилась с историей возникновения счета, его развития у разных народов, в   различных   частях   света,   увидела   красоту   особенностей,   некоторых 25 закономерностей последовательности натуральных чисел, училась обобщать и делать выводы, рассматривая конкретные примеры. В   данной   работе   собраны   различные   приемы   упрощенных   вычислений, основанные на использовании  свойств и закономерностей  натуральных чисел. Освоение   описанных   приемов   позволит   учащимся   быстро   выполнять арифметические   действия,   что   будет   способствовать   развитию   памяти школьников,   интереса   к   изучению   математики   и   повышению   уровня математической культуры мышления. Значение упрощенных приемов устных вычислений особенно велико в тех случаях,   когда   вычисляющий   не   имеет   в   своем   распоряжении   таблиц   или счетной машины. Список литературы 26 1 История математики с древнейших времен до начала ХIХ столетия: В 3  т. / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. 1. 2 Кольман Э. История математики в древности.— М., 1961. 3 Шустеф Ф.М. Материал для внеклассной работы по математике / 2­е  изд., перераб. – Мн.: 1984.­224с. 3 Наука и жизнь №10, 2007 год 4 Математика Приложение к газете « Первое сентября» №2 2001  5 Математика Приложение к газете « Первое сентября» №3 2000  6 Златко Шпорер  Ох, эта математика!  М, 1981 7  Подашов А.П. Вопросы внеклассной работы по математике в школе.  Учпедгиз 1962.