Исследовательская работа на тему "Геометрия масс"

Введение Актуальность темы: В школьном курсе математики тема «Геометрия масс» не  рассматривается. решения задач на отношение длин при решении обычными методами  получаются достаточно объёмными. Данный метод необходим для рационального решения  задач. Проблема: поиск рационального способа решения задач Объект исследования – геометрические задачи на нахождение отношения длин  отрезков Цели: познакомиться с теорией способа решения задач методом геометрии масс,  повысить уровень культуры решения геометрических задач, развитие навыков  исследовательской работы Задачи: 1. Дать понятие геометрии масс 2. Научиться решать задачи с применением этого метода 3. Подготовка к ЕГЭ(С4) и олимпиадам Гипотеза: Многие задачи на отношение длин отрезков рациональнее решать с  помощью геометрии масс Методы исследования: анализ и синтез, сравнение, индукция/дедукция ,  прогнозирование, наблюдение, ранжирование Этапы:  1. Изучение теоретического материала 2. Алгоритм решения  3. Подбор задач с преимуществом этого метода Родоначальником метода был великий  древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в. до н. э.  он обнаружил возможность доказывать новые  математические факты с помощью свойств центра масс. В частности, этим способом им была установлена  теорема о том, что три медианы треугольника  пересекаются в одной точке. Соображения Архимеда были позднее использованы и развиты многими геометрами (Папп, Чева, Гюльден, Люилье и др.). Несколько простых свойств центра масс позволяют решать различные задачи  геометрии и алгебры. В частности, таким путем удается ответить на вопросы о том,  пересекаются ли несколько прямых в одной точке, принадлежат ли несколько точек одной  прямой (или одной плоскости) и т. п. Эффективны барицентрические соображения при  доказательстве неравенств и решении разнообразных задач. Нередко приходится слышать, что рассуждения с использованием свойства центров  масс не могут дать математически строгих решений геометрических задач (хотя, может  быть, и полезны для угадывания правдоподобных ответов к этим задачам). Однако такое  мнение глубоко ошибочно. Понятия механики не только служат ценным эвристическим  средством; облеченные в строгую математическую форму, они позволяют получать  математически безупречные решения задач геометрии и алгебры. 1 Понятие центра масс Чтобы понять, что такое центр масс, рассмотрим детские качели (рис.1). Многие замечали, что более тяжелый ребёнок перевешивает. рис.1 Но стоит ему начать приближаться ближе к центру, как качели постепенно  приходят в равновесие. Насколько ближе он должен подвинуться ответит метод масс.  Переведём задачу на язык математики Пусть качели – отрезок AB, где m1, m2 – массы, расположенные на концах качелей  (m1 >m2). Рис.2 Центром масс данной системы двух точек будет  такая точка О данного отрезка АВ, что АО*m1 =  BO*m2, или   =  . Пример: Пусть масса, расположенная в точке A равна 400г, а масса в точке B равна  1400г (см. рис.2). Найти центр масс данного отрезка. Решение: из определения центра масс получаем, что точка O делит отрезок AB в  отношении   =   . Значит центр масс O делит отрезок так, что 7*АO = 2*BO. Принцип центра масс является ничем иным, как законом рычага, с помощью  которого Архимед собирался перевернуть Землю. 2 Центр масс системы точек Теперь найдём центр масс треугольника. В точках A, B, C расположены массы m1,  m2, m3 (рис.3). Если нам дана система из нескольких точек с  массой в каждой из них, то вместо любой пары точек  мы можем рассмотреть их центр масс, в котором  сосредоточена сумма масс этих точек. (точка D) будет совпадать с центром масс точек O (центр масс для точек A и B) и C  (рис.4). Таким образом центр масс нашего треугольника  Пример: Дан треугольник ABC с массами mA = mB = mC = 1 в вершинах. Найти  центр масс треугольника. Решение: Для начала найдём центр масс точек A и B. Это точка М, которая  расположена в середине отрезка AB, т.к. на его концах одинаковые массы. В точке М  сосредоточена масса 1+1=2.  Значит центр масс треугольника ABC совпадает с центром масс отрезка MC и  делит отрезок в отношении 2:1 . Мы  доказали, что в треугольнике с одинаковыми массами в вершинах его центр масс  расположен на медиане и делит её в  отношении 2:1. Аналогично можно найти  центр масс на медианах BN и AK. Однако у треугольника только один центр масс, а значит  мы все три раза попадали в одну точку. Так мы доказали, что медианы в треугольнике  пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1 . 3 Задачи на применение центра масс Задача 1: Дан треугольник ABC (рис.6). BM – медиана, а AN делит сторону BC в  отношении 1:2 от вершины B и пересекается  с BM в точке O. Найти отношение BO:OM. Решение: Расположим в вершинах A и C массы, равные 1, а в вершину B – массу,  равную 2. Тогда точка M – центр масс для  точек A и C, и концентрирует массу, равную 2. Точка N – центр масс отрезка BC, т.к.  BN:NC=1:2 (из условия), а mB:mC=2:1.  Предположим, что точка O – центр масс для отрезка BM. Тогда она является и  центром масс для всего треугольника ABC и концентрирует в себе массу 2+2=4. Если O –  центр масс треугольника, то здесь же и центр масс отрезка AN. Проверим это. В точке A  сконцентрирована масса 1, в точке N – 3, а в точке O – 4. 1+3=4 , следовательно, O – центр масс отрезка AN и всего треугольника. Тогда  отношение BO:OM = 2:2 = 1. Ответ: BO = OM. Задача 2: Дан треугольник ABC (рис.7). BM – медиана. Отрезок KP точкой K делит  AB в отношении 2:1 от точки А, а точкой P делит отрезок BC в отношении 2:1 от вершины  В. Отрезки KP и BM пересекаются в точке O. В каком отношении точка О делит отрезок  KP? Решение: Расположим в вершинах А и С массы, равные 2. Рассмотрим отрезок BC.  Предположим, что точка Р – центр масс данного отрезка. Определим, какая масса  сконцентрирована в точке В. Пусть она равна х, тогда:  =  . Получаем, что х = 1, а значит в точке  Р масса, равная 3.  Теперь рассмотрим отрезок АВ.  Масса в точке А равна 2. Пусть точка К – центр масс данного отрезка, тогда масса,  заключенная в точке В равна 4, а в точке К – 6. Значит для всей системы точек в точке В  сконцентрирована масса 5. Допустим, что точка О – центр масс всего треугольника. В точке М  сконцентрирована масса 4 (mA = mC = 2, AM = CM, М – центр масс). Значит точка O –  центр масс и для отрезка ВМ, а значит в точке О сосредоточена масса 4+5=9. А т.к. точка  О принадлежит и отрезку КР, то из предположения о том, что О – центр масс  треугольника, получаем, что эта точка – центр масс и для отрезка КР (в точке О  сконцентрирована масса, равная сумме масс , расположенных в точках К и Р). А значит,  что КО:ОР = 3:6 =1:2. Ответ: 1:2. Задача 3 (С4 ЕГЭ): Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ и ВС (АВ = 5, ВС = 12). Пусть точка J – центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Прямая,  проходящая через точку J, параллельна одной из сторон треугольника АВС и пересекает  две другие стороны в точках К и Р.  Найдите длину отрезка КР. Решение: Треугольник ABC подобен  треугольнику KBP, значит   =  ,   =  . Тогда КР =  . 2­й случай: КР =  3­й случай: КР =  . . Задачи для самостоятельного решения: Задача 1. В треугольнике ABC точка к делит сторону BC в отношении 1:4, считая от вершины B. В каком отношении отрезок AK делит медиану BM? Ответ: 1:2 Задача 2. B треугольнике ABC точки M, N, K расположены соответственно на  сторонах AB, AC, BC так, что AM:MB = 1:4, AN:NC = 2:3, CK:KB = 3:2. Отрезки AK и  MN пересекаются в точке L. Во сколько раз LK больше AL? Ответ: 3 Заключение Изучив немногочисленные источники по теме «Геометрия масс», я научился решать  пока еще не сложные задачи на отношение длин отрезков . При выполнении задач уровня С4 пришел к убеждению, что указанный метод  позволяет найти решение задач быстрее и рациональнее. Изучая источники по этой теме убедился в тесной связи двух предметов ­  математики и физики. Думаю, что решать задачи по физике станет легче, приобретая навык решения  методом геометрии масс. В процессе исследования данной проблемы усовершенствовались умения и навыки  работы с научно­популярной литературой, интернет­источниками, программами для  построения геометрических фигур. Работа над темой «Геометрия масс» мною не закончена, впереди поиск многих  интересных задач, быстро решаемых с помощью этого метода. Цель следующего этапа работы­создание методички по решению геометрических и  физических задач, используя геометрию масс. Список литературы 1. ЕГЭ: шаг за шагом, А.А. Черняк, Ж.А. Черняк, Москва, Дрофа, 2011. 2. Геометрия масс, М.Б. Балк, В.Г. Болтянский: Наука. Гл. ред. физ.­мат. лит., 1987  (Библиотечка «Квант», Выпуск 61). 3. Интернет ресурс : /watch?v=F7xKbuXAlEE