«…Я счел нужным написать тебе и… изложить особый метод, при помощи которого ты получишь возможность находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем».Архимед.
Послание к Эратосфену «О механических теоремах».
Введение
Актуальность темы: В школьном курсе математики тема «Геометрия масс» не
рассматривается. решения задач на отношение длин при решении обычными методами
получаются достаточно объёмными. Данный метод необходим для рационального решения
задач.
Проблема: поиск рационального способа решения задач
Объект исследования – геометрические задачи на нахождение отношения длин
отрезков
Цели: познакомиться с теорией способа решения задач методом геометрии масс,
повысить уровень культуры решения геометрических задач, развитие навыков
исследовательской работы
Задачи:
1. Дать понятие геометрии масс
2. Научиться решать задачи с применением этого метода
3. Подготовка к ЕГЭ(С4) и олимпиадам
Гипотеза: Многие задачи на отношение длин отрезков рациональнее решать с
помощью геометрии масс
Методы исследования: анализ и синтез, сравнение, индукция/дедукция ,
прогнозирование, наблюдение, ранжирование
Этапы:
1. Изучение теоретического материала
2. Алгоритм решения
3. Подбор задач с преимуществом этого методаРодоначальником метода был великий
древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в. до н. э.
он обнаружил возможность доказывать новые
математические факты с помощью свойств центра масс.
В частности, этим способом им была установлена
теорема о том, что три медианы треугольника
пересекаются в одной точке. Соображения Архимеда были
позднее использованы и развиты многими геометрами (Папп, Чева, Гюльден, Люилье и др.).
Несколько простых свойств центра масс позволяют решать различные задачи
геометрии и алгебры. В частности, таким путем удается ответить на вопросы о том,
пересекаются ли несколько прямых в одной точке, принадлежат ли несколько точек одной
прямой (или одной плоскости) и т. п. Эффективны барицентрические соображения при
доказательстве неравенств и решении разнообразных задач.
Нередко приходится слышать, что рассуждения с использованием свойства центров
масс не могут дать математически строгих решений геометрических задач (хотя, может
быть, и полезны для угадывания правдоподобных ответов к этим задачам). Однако такое
мнение глубоко ошибочно. Понятия механики не только служат ценным эвристическим
средством; облеченные в строгую математическую форму, они позволяют получать
математически безупречные решения задач геометрии и алгебры.
1 Понятие центра масс
Чтобы понять, что такое центр масс, рассмотрим детские качели (рис.1).Многие замечали, что более тяжелый ребёнок перевешивает.
рис.1
Но стоит ему начать приближаться ближе к центру, как качели постепенно
приходят в равновесие. Насколько ближе он должен подвинуться ответит метод масс.
Переведём задачу на язык математики
Пусть качели – отрезок AB, где m1, m2 – массы, расположенные на концах качелей
(m1 >m2).
Рис.2
Центром масс данной системы двух точек будет
такая точка О данного отрезка АВ, что АО*m1 =
BO*m2, или
=
.
Пример: Пусть масса, расположенная в точке A равна 400г, а масса в точке B равна
1400г (см. рис.2). Найти центр масс данного отрезка.
Решение: из определения центра масс получаем, что точка O делит отрезок AB в
отношении
=
. Значит центр масс O делит отрезок так, что 7*АO = 2*BO.
Принцип центра масс является ничем иным, как законом рычага, с помощью
которого Архимед собирался перевернуть Землю.
2 Центр масс системы точек
Теперь найдём центр масс треугольника. В точках A, B, C расположены массы m1,
m2, m3 (рис.3).Если нам дана система из нескольких точек с
массой в каждой из них, то вместо любой пары точек
мы можем рассмотреть их центр масс, в котором
сосредоточена сумма масс этих точек.
(точка D) будет совпадать с центром масс точек O (центр масс для точек A и B) и C
(рис.4).
Таким образом центр масс нашего треугольника
Пример: Дан треугольник ABC с массами mA = mB = mC = 1 в вершинах. Найти
центр масс треугольника.
Решение: Для начала найдём центр масс точек A и B. Это точка М, которая
расположена в середине отрезка AB, т.к. на его концах одинаковые массы. В точке М
сосредоточена масса 1+1=2.
Значит центр масс треугольника ABC
совпадает с центром масс отрезка MC и
делит отрезок в отношении 2:1 . Мы
доказали, что в треугольнике с одинаковыми
массами в вершинах его центр масс
расположен на медиане и делит её в
отношении 2:1. Аналогично можно найти
центр масс на медианах BN и AK. Однако у треугольника только один центр масс, а значит
мы все три раза попадали в одну точку. Так мы доказали, что медианы в треугольнике
пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1 .
3 Задачи на применение центра массЗадача 1: Дан треугольник ABC (рис.6). BM – медиана, а AN делит сторону BC в
отношении 1:2 от вершины B и пересекается
с BM в точке O. Найти отношение BO:OM.
Решение: Расположим в вершинах A и
C массы, равные 1, а в вершину B – массу,
равную 2. Тогда точка M – центр масс для
точек A и C, и концентрирует массу, равную
2. Точка N – центр масс отрезка BC, т.к.
BN:NC=1:2 (из условия), а mB:mC=2:1.
Предположим, что точка O – центр масс для отрезка BM. Тогда она является и
центром масс для всего треугольника ABC и концентрирует в себе массу 2+2=4. Если O –
центр масс треугольника, то здесь же и центр масс отрезка AN. Проверим это. В точке A
сконцентрирована масса 1, в точке N – 3, а в точке O – 4.
1+3=4 , следовательно, O – центр масс отрезка AN и всего треугольника. Тогда
отношение BO:OM = 2:2 = 1.
Ответ: BO = OM.
Задача 2: Дан треугольник ABC (рис.7). BM – медиана. Отрезок KP точкой K делит
AB в отношении 2:1 от точки А, а точкой P делит отрезок BC в отношении 2:1 от вершины
В. Отрезки KP и BM пересекаются в точке O. В каком отношении точка О делит отрезок
KP?
Решение: Расположим в вершинах А и С массы, равные 2. Рассмотрим отрезок BC.
Предположим, что точка Р – центр масс данного отрезка. Определим, какая масса
сконцентрирована в точке В.Пусть она равна х, тогда:
=
.
Получаем, что х = 1, а значит в точке
Р масса, равная 3.
Теперь рассмотрим отрезок АВ.
Масса в точке А равна 2. Пусть точка К – центр масс данного отрезка, тогда масса,
заключенная в точке В равна 4, а в точке К – 6. Значит для всей системы точек в точке В
сконцентрирована масса 5.
Допустим, что точка О – центр масс всего треугольника. В точке М
сконцентрирована масса 4 (mA = mC = 2, AM = CM, М – центр масс). Значит точка O –
центр масс и для отрезка ВМ, а значит в точке О сосредоточена масса 4+5=9. А т.к. точка
О принадлежит и отрезку КР, то из предположения о том, что О – центр масс
треугольника, получаем, что эта точка – центр масс и для отрезка КР (в точке О
сконцентрирована масса, равная сумме масс , расположенных в точках К и Р). А значит,
что КО:ОР = 3:6 =1:2.
Ответ: 1:2.
Задача 3 (С4 ЕГЭ): Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ и ВС (АВ =
5, ВС = 12). Пусть точка J – центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Прямая,
проходящая через точку J, параллельна одной из сторон треугольника АВС и пересекает
две другие стороны в точках К и Р.
Найдите длину отрезка КР.
Решение:
Треугольник ABC подобен
треугольнику KBP, значит
=
,
=
. ТогдаКР =
.
2й случай: КР =
3й случай: КР =
.
.
Задачи для самостоятельного решения:
Задача 1. В треугольнике ABC точка к делит сторону BC в отношении 1:4, считая от
вершины B. В каком отношении отрезок AK делит медиану BM?
Ответ: 1:2
Задача 2. B треугольнике ABC точки M, N, K расположены соответственно на
сторонах AB, AC, BC так, что AM:MB = 1:4, AN:NC = 2:3, CK:KB = 3:2. Отрезки AK и
MN пересекаются в точке L. Во сколько раз LK больше AL?
Ответ: 3
Заключение
Изучив немногочисленные источники по теме «Геометрия масс», я научился решать
пока еще не сложные задачи на отношение длин отрезков .
При выполнении задач уровня С4 пришел к убеждению, что указанный метод
позволяет найти решение задач быстрее и рациональнее.
Изучая источники по этой теме убедился в тесной связи двух предметов
математики и физики.
Думаю, что решать задачи по физике станет легче, приобретая навык решения
методом геометрии масс.
В процессе исследования данной проблемы усовершенствовались умения и навыки
работы с научнопопулярной литературой, интернетисточниками, программами для
построения геометрических фигур.Работа над темой «Геометрия масс» мною не закончена, впереди поиск многих
интересных задач, быстро решаемых с помощью этого метода.
Цель следующего этапа работысоздание методички по решению геометрических и
физических задач, используя геометрию масс.
Список литературы
1. ЕГЭ: шаг за шагом, А.А. Черняк, Ж.А. Черняк, Москва, Дрофа, 2011.
2. Геометрия масс, М.Б. Балк, В.Г. Болтянский: Наука. Гл. ред. физ.мат. лит., 1987
(Библиотечка «Квант», Выпуск 61).
3. Интернет ресурс : /watch?v=F7xKbuXAlEE