Исследовательская работа на тему "Геометрия - всему голова"

Муниципальное бюджетное  общеобразовательное учреждение  гимназия г. Зернограда Исследовательская работа на тему: «Геометрия всему голова » Выполнила: Черноштан Александра Ивановна, Обучающаяся 9 класса МБОУ гимназии г. Зернограда Руководитель: Криворучко Валентина Владимировна, Учитель математики МБОУ гимназии г. Зернограда г. Зерноград Содержание 1. Введение 2. Цели и задачи 3. Что такое симметрия?  4. Вид искусства – архитектура 5. Симметрия в искусстве 6. Тайны симметрии и асимметрии в искусстве 7. Золотое сечение в искусстве и архитектуре  8. Золотое сечение – асимметричная симметрия на примере египетских  пирамид 9. Геометрия и архитектурные образы зданий и сооружений 10. Заключение 11. Список литературы Введение “Окружающий нас мир – это мир геометрии”. Так сказал выдающийся российский  математик, физик и философ XX века Александр Данилович Александров,   намекая   на   тесные   и   многообразные   связи   геометрии   с окружающей   нас   действительностью.   По   его   словам,   практическое значение геометрии всегда имело огромный смысл. Действительно, с этим мы не можем не согласиться. В доказательство можно привести длинный перечень   простейших   фактов   из   истории,   например:   чтобы   построить хижину,   вырыть   пещеру,   раскинуть   шатёр,   необходимы,   хотя   бы, интуитивные   познания   в   геометрии.   А   роль   в   современном   мире   с   его чудесами   технических   сооружений   такой   области   математики,   как геометрия, вообще не должна вызывать сомнений.             Архитектура   современного   города   многообразна,   насыщена, интересна,   порой   город   напоминает   нечто   хаотичное   и   бесформенное, однако   это   не   так.   Архитектура   города,   как   музыка   увлекает   своей многогранностью и неповторимостью форм. Мне  далеко не безразлично, а напротив интересно и познавательно узнать больше об архитектуре наших городов.   Я пришла к выводу, что даже на первый взгляд, почти все в архитектуре подчинено гармонии соразмерности и четкости. Но геометрия – это не только школа логического  мышления, это еще и источник образов. В   чем   тайна   многих   великих   художников,   скульпторов,   архитекторов. Почему   одни   произведения   искусства   притягивают   человека   своей гармонией и совершенством, а другие отталкивают? Если назвать мою работу “Геометрия и искусство”, то на первый взгляд это  может показаться довольно неожиданным. В самом деле, что общего между  столь прозаичной (для непосвящённого) областью математики, как геометрия, и столь возвышенным предметом, как искусство?          Вопрос о роли математики в искусстве волновал ещё древних греков.  Место геометрии в раскрытии секретов искусства определило интерес к ней  многих творцов прекрасного, в том числе таких гигантов, как Леонардо да  Винчи или Альбрехт Дюрер, или Витрувий, или Томас Гоббс, пытавшихся  осуществить, так сказать, “личную унию” между искусством и геометрией.               Можно полагать, что математика и искусство возникли почти  одновременно, их происхождение было связано с религиозно – философскими исканиями человека. Существует взгляд на эти два предмета, как на основы,  которые  помогают понять законы природы, раскрыть гармонию и  совершенство Вселенной. И если математика и искусство первоначально были связаны с религией, то впоследствии, они выросли  в основные инструменты  всякого знания, и определили фундамент общего умственного и духовного  развития, которым считалось необходимым владеть всякому образованному  человеку.            Настоящая исследовательская работа в первую очередь  характеризуется стремлением взглянуть на геометрию, как на неотъемлемый  элемент общей культуры, чему, в частности, способствует попытка в какой –  то мере сопоставить геометрию с изобразительным искусством и  архитектурой и затронуть вопрос об их связи и взаимозависимости. Цели и задачи: Цель: изучить законы геометрии для восприятия красоты и гармонии в  искусстве и найти практическое значение геометрии в искусстве и  архитектуре. Задачи:  Определить, что называют симметрией.  Рассмотреть некоторые виды симметрии.  исследовать роль симметрии и ассиметрии в искусстве;  найти области применения в искусстве принципа пропорций – золотое  сечение.  изучить, что называют архитектурой.  Исследовать некоторые архитектурные сооружения, при  проектировании которых использовалась симметрия.  Исследовать архитектурные сооружения, состоящие из сложных  геометрических фигур, большинство из которых являются  многогранниками.  Анализ полученных данных Гипотеза Если я буду изучать выбранную мной тему, то я докажу существование в  живописи, архитектуре и скульптуре многих закономерностей математического порядка и удостоверюсь в том, что между геометрией и  искусством существуют весьма тесные и многообразные связи. Актуальность:         Эта тема актуальна тем, что искусство и наука сегодня живут в  различных сферах деятельности, и при этом стремятся разойтись всё дальше и дальше друг от друга. У представителей нынешних поколений  сформировалось мнение, что геометрия – это “сухой” предмет, который  развивает только логику и ум, а искусство воздействует лишь на духовную  сферу человека, в которой нет места логике, следовательно, геометрия и  искусство – это “лед и пламень”. Однако, в своей работе я докажу, что между  геометрией, искусством и архитектурой существуют довольно тесные точки  соприкосновения. Предмет исследования:          Геометрия в реальной жизни. Объект исследования: Тесная связь геометрии с архитектурой и искусством.  Методы исследования:  Изучение литературы  Наблюдение   Индуктивные и дедуктивные методы   Теоретические методы Что такое симметрия? Симметрия   является   фундаментальным   свойством   природы, представление о котором, как отмечал академик В. И. Вернадский (1863 ­ 1945),  “слагалось в течении десятков, сотен, тысяч поколений.”         “Изучение археологических памятников показывает, что человечество на   заре   своей   культуры   уже   имело   представление   о   симметрии,   и осуществляло   ее   в   рисунке   и   в   предметах   быта.   Надо   полагать,   что применение   симметрии   в   первобытном   производстве   определялось   не только   эстетическими   мотивами,   но   в   известной   мере   и   уверенностью человека  в  большей  пригодности  для  практики  правильных  форм. ”Это слова   другого   нашего   замечательного   соотечественника,   посвятившего изучению симметрии всю свою долгую жизнь, академика А. В. Шубникова (1887­ 1970). ­  Первоначальное  понятие  о  геометрической  симметрии, как   о   гармонии   пропорций,   как   о   “соразмерности,”   что   и   означает   в переводе с греческого слово “симметрия,” с течением времени приобрело универсальный   характер   и   было   осознано   как   всеобщая   идея инвариантности (неизменности) относительно некоторых преобразований.        Давайте также заглянем в энциклопедический словарь. Симметрия, в геометрии   —   свойство   геометрических   фигур.   Две   точки,   лежащие   на одном   перпендикуляре   к   данной   плоскости   (или   прямой)   по   разные стороны и на одинаковом расстоянии от нее, называются симметричными относительно этой плоскости (или прямой).  Фигура   (плоская   или   пространственная)   симметрична   относительно прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости симметрии), если ее точки   попарно   обладают   указанным   свойством.   Но   это   только   один   из видов   симметрии,  которую   изучает   математика,   так   называемая  осевая симметрия.  Фигура симметрична относительно точки (центр симметрии), если ее точки попарно лежат на прямых, проходящих через центр симметрии, по разные стороны, и на равных расстояниях от него. Этот вид симметрии называется центральной симметрией.  Кроме того, существует более  общее понятие симметрии. Понятие симметрии происходит через всю историю человечества.            В “Кратком Оксфордском словаре” симметрия определяется как “красота,   обусловленная   пропорциональностью   частей   тела   или   любого целого, равновесием, подобием, гармонией, согласованностью.”         Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека. И употреблялось скульпторами еще с V века до н.э.        Слово “симметрия “ имеет двойственное толкование. В одном смысле симметричное   пропорциональное, сбалансированное; симметрия показывает тот способ согласования многих   означает весьма   нечто,   частей,  с   помощью   которого   они   объединяются   в   целое.   Второй   смысл этого  слова  – равновесие.  Еще  Аристотель  говорил  о  симметрии   как  о таком состоянии, которое характеризуется соотношением крайностей. Из этого высказывания следует, что Аристотель, пожалуй, был ближе всех к открытию одной из самых фундаментальных закономерностей природы – закономерности, о ее двойственности. организации   любых   систем,   в   которой   сохраняются    Общее  понятие   симметрии  характеризует   особую   структуру   определенные признаки   при   выполнении   определенных   преобразований.   Признаки, которые   будут   сохранятся,   могут   быть   геометрическими,   физическими, биологическими, информационными и т.д.              В   настоящее   время   в   естествознании   преобладают   определения категорий   симметрии   и   асимметрии   на   основании   перечисления определенных   признаков.   Например,   симметрия   определяется   как совокупность   свойств:   соразмерности, гармоничности.   Все   признаки   симметрии   во   многих   ее   определениях   однородности,   порядка, рассматриваются   равноправными,   одинаково   существенными,   и   в отдельных   конкретных   случаях,   при   установлении   симметрии   какого­то явления,   можно   пользоваться   любым   из   них.   Так,   в   одних   случаях симметрия ­ это однородность, а в других – соразмерность и т. д.              В   пространстве   аналогом   оси   симметрии   является   плоскость симметрии.   Например,   куб   симметричен   относительно   плоскости, проходящей  через  его   диагональ.  Имея  ввиду, оба  случая  (плоскости  и пространства), этот вид симметрии иногда называют зеркальной. Название это оправдано тем,  что обе части фигуры, находящиеся по разные стороны от оси симметрии или плоскости симметрии, похожи на некоторый объект и его отражение в зеркале.          Еще одним видом симметрии является переносная симметрия. Этот вид симметрии состоит в том, что части целой формы организованы таким образом, что каждая следующая повторяет предыдущую и отстоит от нее на   определенный   интервал   в   определенном   направлении.   Этот   интервал называют шагом симметрии. Переносная симметрия обычно используется при построении бордюров. В произведениях архитектурного искусства ее можно увидеть в орнаментах или решетках, которые используются для их украшения. Переносная симметрия используются и в интерьерах зданий. Вид искусства ­ архитектура                    Из всех видов искусств ­ архитектура, пожалуй, ближе всех   к математике:   ведь   в   основе   конструкций   лежат   точнейшие   расчеты.   В древности,   кроме   известных   ныне   девяти   муз,   существовала   и   муза математики,   то   есть   математика   почиталась   искусством   наравне   с астрономией,   муза   которой   входит   в   состав   свиты   Аполлона   – предводителя всех муз. Так и представляешь   себе, что по одну сторону Математики стоит Архитектура, а по другую – Музыка, которая тоже не существует   без   ритма,   без   счета,   без   которых,   в   свою   очередь,   нет гармонии.          «Архитектура, что за вещь?»­ такой вопрос задал в конце XVIII века друг великого русского зодчего В.И.Баженова – Ф. В. Каржавин. И сам же на него ответил: «Она­ есть строение естественное и художественное», где под словом «естественное» подразумевал материальную основу постройки. Ведь любое сооружение создано из дерева, камня, кирпича, металла, бетона с применением определенных конструкций. Но если в этом сооружении не заложено,   не   запроектировано,   и   не   воплощено   некоей   художественной идеи, оно не имеет отношения к искусству, а тем самым – к архитектуре.       Архитектура – удивительная область человеческой деятельности. В ней тесно   переплетены,   и   строго   уравновешены   наука,   техника,   искусство. Только соразмерное, гармоничное сочетание этих начал делает возводимое человеком   сооружение памятником архитектуры. Архитектурный облик здания архитектор создает с помощью строительного материала, образ же его   созидается   творческим   мышлением.   Одним   из   художественных средств, которые он использует, является композиция здания. От нее в первую   очередь   зависит   впечатление,   которое   оставляет   архитектурное сооружение.          Например, египтяне прошли долгий, трудный путь познания. Много тысяч   лет   назад   начертили   на   плоскости   –   на   земле   –   прямой   угол   и поняли,   что   природа   такого   не   создала;   затем   поняли,   что   этот   угол обладает   некоторыми   неизменными   свойствами.   Наконец   узнали,   что прямоугольный треугольник, у которого катеты соответственно равняются 3­м и 4­м, имеет гипотенузу, равную 5­ти, и что такой треугольник несет в себе   таинственные   для   них   закономерности.   Сюда,   в   Египет,   приезжал учиться Пифагор, а именно от этих закономерностей до теоремы Пифагора один только шаг.  Симметрия в искусстве Симметрия пронизывает буквально все вокруг, захватывая, казалось бы,  совершенно неожиданные области и объекты. Например, симметрично  устроены фигура человека, бабочка, снежинка и многое – многое другое.  Значение симметрии, играющей одну из ведущих ролей в современной науке,  искусстве, технике и окружающей нас  жизни велико и неоспоримо. Симметрия в  своих простых формах понятна любому человеку и часто мы выделяем ее как элемент прекрасного и совершенного. В известной мере симметрия отражает степень  упорядоченности системы.                                                               Например,  окружность, ограничивающая каплю на плоскости, более упорядочена, чем  размытое пятно на этой же площади, и, следовательно, более симметрична.  Симметрия в геометрии – свойство геометрических фигур. Две точки,  лежащие на одном перпендикуляре к данной плоскости (или прямой) по  разные стороны и на одинаковом расстоянии от нее, называются  симметричными относительно этой плоскости (или прямой).                               Леонардо да Винчи.                                                                           “Витрувианский  человек”.  Одно из определений понятия симметрии дал В. Готт: симметрия – понятие,  отражающее существующий в природе порядок, пропорциональность и  соразмерность между элементами какой­либо системы или объекта природы,  упорядоченность, равновесие системы, устойчивость, т.е. если хотите, некий  элемент гармонии. Это определение принимает свою форму в каждой сфере  человеческой деятельности.            Симметрия в искусстве основана на реальной действительности,  изобилующей симметрично устроенными формами, и проявляется в  соразмерности и взаимосвязанности, гармонизации отдельных частей в целой  композиции. Симметричные произведения – статичные (устойчивые), левая и  правая половины одинаковы.             В архитектуре использование принципов симметрии зависит от  функционального содержания объекта. Она применима для сооружений с  центричной схемой и главного объекта большого архитектурного комплекса.  Симметрия создает парадную торжественность, благодаря  чему часто использовалась  архитекторами при  строительстве многих  крупнейших объектов  прошлого. Но в настоящее  время все более широкое  распространение получают  сооружения из сложных  функциональных элементов,  которые трудно решить целиком по симметричной схеме; применяется асимметричная композиция, которая обеспечивает более экономичные решения при более удобной  функциональной взаимосвязи между элементами, лучшем использовании  рельефа, более гармоничном взаимодействии с окружающим пространством.        В симметричной композиции живописи люди или предметы расположены  почти зеркально по отношению к центральной оси картины.  Зеркальная симметрия широко встречается в произведениях искусства  примитивных цивилизаций и в древней живописи. Средневековые религиозные картины также характеризуются этим видом симметрии.            Виктор Михайлович Васнецов. "Три богатыря".          Художники разных эпох использовали симметричное построение  картины. Симметричными были многие древние мозаики. Живописцы эпохи  Возрождения часто строили свои композиции по законам симметрии. Такое  построение позволяет достигнуть впечатления покоя, величественности,  особой торжественности и значимости событий.           В асимметричной композиции расположение объектов может быть  самым разнообразным в зависимости от сюжета и замысла произведения,  левая и правая половины неуравновешенны. Композицию натюрморта или пейзажа легко представить в виде схемы, на  которой ясно видно, симметрично или асимметрично построена композиция.  Симметричные композиции в живописи. Асимметричная композиция в живописи. Тайны симметрии и асимметрии в искусстве         Асимметрия – понятие, противоположное симметрии, отражающее  разупорядочение системы, нарушение равновесия и это связано с изменением,  развитием и динамичностью системы. Таким образом, из соображений  симметрии – асимметрии мы приходим к выводу, что развивающаяся  динамическая система должна быть неравновесной и несимметричной. В ряде  случаев симметрия является достаточно очевидным фактом. Например, для  определенных геометрических фигур нетрудно увидеть эту симметрию и  показать ее путем соответствующих преобразований, в результате которых  фигура не изменит своего вида. Следование принципу зеркальной симметрии в искусстве иногда приводило к  парадоксальным результатам. Так, на мозаике Киевского собора св. Софии  под знаменитой Орантой изображены два зеркально – симметричных Христа,  обращенных лицом к ученикам. Правда, при ближайшем рассмотрении мы  увидим, что симметрия здесь лишь приблизительная, так как один Христос  преломляет хлеб, а другой разливает вино. Этот прием, позволяющий  одновременно изобразить два важнейших момента тайного причастия,  безусловно, является слишком  "математичным" и со временем  был вытеснен более  реалистическим изображением  тайной вечери.  Фрагмент мозаики Киевского собора св. Софии.                                                                             Собор Василия Блаженного.           Примером удивительного сочетания симметрии и асимметрии является  Покровский собор (храм Василия Блаженного) на Красной площади в Москве. Эта причудливая композиция из десяти храмов, каждый из которых обладает  центральной симметрией, в целом не имеет ни зеркальной, ни поворотной  симметрии. Симметричные архитектурные детали собора кружатся в своем  асимметричном, беспорядочном танце вокруг его центрального шатра: они то  поднимаются, то опускаются, то как бы набегают друг на друга, то отстают,  создавая впечатление радости и праздника. Без своей удивительной  асимметрии храм Василия Блаженного просто немыслим! Асимметричная композиция архитектуры подобно симметричной  гармонична, подчинена закономерностям, но создана не по законам  геометрического равенства, а по принципу гармонического единства архитек­ турных форм, несимметрично расположенных в пространстве. Основной  принцип ее построения — поиск зрительного равновесия всех частей.  Равновесие данной композиции, созданной в соответствии с законами  гармонии, обеспечивает и асимметричной композиции совершенство, от  которого нельзя ничего ни отнять, ни прибавить и которое свойственно в  основном симметричной композиции.         Как и в любом деле, абсолютизация одной идеи не могла привести ни к  чему хорошему. Симметрия в искусстве не составила исключения. "Красота  неправильная" – асимметрия стала пробивать себе дорогу в искусстве, так как сведение красоты только к симметрии ограничивало богатство ее внутреннего содержания, лишало красоту жизни. Истинную красоту можно постичь только в единстве противоположностей. Вот почему именно единство симметрии и асимметрии определяет сегодня внутреннее содержание прекрасного в искусстве. Симметрия воспринимается нами, как покой, скованность, закономерность, тогда как асимметрия означает движение, свободу, случайность. Итак, "сфера влияния" симметрии (а значит, ее антипода – асимметрии), поистине безгранична, но в искусстве она занимает почётнейшее место. Природа – наука – искусство. Всюду мы видим противоборство, а часто и единство двух великих начал – симметрии и асимметрии, которые во многом и  определяют гармонию природы, мудрость науки и красоту искусства. Золотое сечение в искусстве и архитектуре          Иоганн Kеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами –  теоремой Пифагора и золотым сечением. И если первое из этих двух  сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе – с  драгоценным камнем. Теорему Пифагора знает каждый школьник, а что такое золотое сечение –  далеко не все. Человек различает окружающие его предметы по форме.  Интерес к форме какого – либо предмета, может быть продиктован  жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения,  способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения  красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины  находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип  золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального  совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.           Золотое сечение пронизывает всю историю искусства. Пирамида  Хеопса, самая известная из Египетских пирамид, знаменитый греческий храм  Парфенон, большинство греческих скульптурных памятников,  непревзойденная "Джоконда" Леонардо да Винчи, картины Рафаэля – вот  далеко не полный перечень выдающихся произведений искусства,  наполненных чудесной гармонией, основанной на золотом сечении.           Древнейшим литературным памятником, в котором встречается деление отрезка в отношении золотого сечения, являются “Начала” Евклида (III в. до  н.э.). Уже во второй книге “Начал” Евклид строит золотое сечение, а в  дальнейшем применяет его для построения некоторых правильных  многоугольников и многогранников. Но золотое сечение было известно и до  Евклида. В частности, знали о нём Пифагор и его ученики (VI в. до н. э.).          Термин "золотое сечение" ввёл Леонардо да Винчи (1452 – 1519) –  гениальный живописец, ученый и инженер эпохи Возрождения. Современное определение понятия золотое сечение  выглядит следующим образом: золотое  сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть  относится к меньшей; или, другими словами, меньший отрезок так относится  к большему, как больший ко всему. a : b = b : c или с : b = b : а Геометрическое изображение золотой пропорции. Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры  является храм Парфенон (V век до н.э.). Парфенон — главный храм в древних Афинах, посвященный  покровительнице этого города и всей Аттики, богине Афине –  Девственнице. Строительство этого храма длилось около десяти лет (с 448  по 438 г. до н. э.).   Отношение длины здания Парфенона в Афинах к его высоте равно Ф (фи). Архитектор Фидий. Храм Парфенон. КВ: АВ = СВ :АС= АВ:ВС = Ф. Известный   русский   архитектор   Казаков   Матвей Федорович в своем творчестве широко использовал золотое сечение. Его талант был многогранным, но в большей  степени   он   раскрылся   в  многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например,   золотое   сечение   можно   обнаружить   в архитектуре  здания  сената в Кремле.  По проекту Казакова   построена   в   Москве   Голицынская больница,   которая   в   настоящее   время   называется   “Первая   клиническая” больница имени Пирогова.  Петровский дворец в Москве построен по проекту М.Ф. Казакова. Петровский дворец в Москве 1776 – 1796 гг.       Еще один архитектурный шедевр Москвы – дом Пашкова (1786 г.)  является одним из наиболее совершенным произведением архитектуры  Василия Ивановича Баженова.      Прекрасное творение прочно вошло в ансамбль центра современной  Москвы. Наружный вид сохранился почти без изменения до наших дней,  ныне Российская государственная библиотека.      Многие высказывания зодчего заслуживают внимания и в наши дни. О  своем любимом искусстве В. Баженов говорил: “Архитектура – главнейшие  имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания … к  достижению сего служит руководством знание пропорции, перспективы,  механики или вообще физики ,а всем им общим вождем является рассудок” Дом – Пашкова. В.И. Баженов. Внимание людей издавна привлекала совершенство формы пятиконечная звезда.   АD:АС = АС:СD=АВ:ВС=Ф. Пятиконечной звезде – около 3000 лет. Ее первые изображения донесли  до нас вавилонские глиняные таблички. Из древней Вавилонии в  Средиземноморье, как полагают, звездчатый пятиугольник перевез Пифагор и сделал его символом жизни и здоровья, а также тайным опознавательным  знаком.  Сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран  мира. Чем же объясняется такая популярность? Тем, что совершенная форма этой фигуры радует глаз. Звездчатый пятиугольник буквально  соткан из пропорций, и прежде всего золотой пропорции.  В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а концы звезды являются  золотыми треугольниками. Золотое сечение – ассиметричная симметрия на примере египетских пирамид           Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи  с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863 – 1925)  считал золотое сечение одним из проявлений симметрии.           Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего – то  противоположного симметрии. Согласно современным представлениям  золотое деление – это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая  симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая – движение,  рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением  кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность.  Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение,  развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии  свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии  свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в  величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.                  Золотое   сечение   представляется   тем   моментом   истины,   без выполнения которого не возможно, вообще, что – либо сущее. Что бы мы ни взяли элементом исследования, “золотое сечение” будет везде; если даже нет   видимого   его   соблюдения,   то   оно   обязательно   имеет   место   на энергетическом, молекулярном или клеточном уровнях. Всё на свете страшится времени, А время страшится пирамид. Арабская пословица. Египетские пирамиды – это величайшие творения древнего  архитектурного искусства. О египетских пирамидах с восхищением писал  греческий историк Геродот.  Первым европейцем, спустившимся в глубь пирамиды, был римский  ученый Плиний Старший. Согласно многим описаниям, эти гигантские  монолиты имели совсем иной вид, чем в наше время. Они сияли на солнце  белой глазурью отполированных известняковых плит на фоне многоколонных  прилегающих храмов. Рядом с царскими пирамидами стояли малые пирамиды  жен и членов семьи фараонов.          Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая  пирамида фараона Хеопса. Она самая крупная и наиболее хорошо изученная.  Чего только не находили в ее пропорциях! Число “Пи” и золотую пропорцию,  число дней в году, расстояние до Солнца, диаметр Земли и т.п. Однако при  расчете этих величин получались неточности, возникали недоразумения, в  результате чего подвергались сомнению, даже простейшие пропорции в  размерах пирамиды и все сообщения о скрытых в геометрии пирамиды  математических сведениях объявлялись выдумкой.        Правильная четырехгранная пирамида является одной из хорошо  изученных геометрических фигур, символизирующих простоту и гармонию  формы, олицетворяющую устойчивость, надежность, устремление вверх.          Размеры пирамиды: площадь ее основания и высота – не были выбраны  случайно, а несут какие – то геометрические, математические идеи,  информацию об уровне знаний египетских жрецов. Причем следует  напомнить, что эти знания составляли тайну и были доступны лишь  ограниченному числу лиц, поэтому и в геометрии пирамиды они должны быть  воплощены не в явной, а в скрытой форме. Методической ошибкой многих исследователей является то, что они  использовали размеры пирамид, выраженные в метрической системе мер. Но  ведь египтяне пользовались другой системой мер! Из этой системы и следует  исходить при анализе размерных отношений в пирамидах       Прежде чем приступить к анализу формы и размеров пирамиды Хеопса,  следует учесть уровень знаний тех времен, психологию создателей пирамиды.  У египтян было три единицы длины: локоть (466 мм), равнявшийся семи ладоням (66,5 мм),  которая, в свою очередь, равнялась четырем пальцам (16,6 мм).            Трудно допустить, что строители пирамиды пользовались исходными  размерами, выраженными в долях локтя; более очевидно, что основные  исходные размеры были определены в целых единицах длины – локтях. Рассмотрим размеры пирамиды Хеопса. Длина стороны основания пирамиды  (2SR) принята равной 233,16 м. Эта величина отвечает почти точно 500  локтям. Очевидно, размер основания пирамиды при ее строительстве и был  определен в 500 локтей. Высота  пирамиды (OP) оценивается   исследователями различно: от 146,6 до  148,2 м. И в зависимости от принятой  высоты пирамиды изменяются и все  отношения ее геометрических элементов.  Поэтому на этой величине следует  остановиться особо. Одним из чудес  великой пирамиды является очень точная подгонка ее каменных блоков и  плит; между ними буквально нигде не просунешь лезвия бритвы (0,1 мм). Но  никакого чуда здесь не оказалось. В процессе строительства каменные блоки  не могли быть изготовлены столь точно: для этого у древних египтян просто  не было средств – ни обрабатывающих, ни измерительных. Но за длительное  время под воздействием колоссального давления (достигающего 500 тонн на 1 м2 нижней поверхности) произошла “усадка” конструкции, пластическая  деформация строительных блоков, вследствие чего они и оказались так тесно  подогнанными. В результате усадки высота пирамиды стала меньше, чем она  была в период завершения строительства. Какой же она была первоначально?  Ее можно воссоздать, если найти основную “геометрическую идею”,  положенную в основу сооружения. Угол наклона граней пирамиды еще в 1837 году определил английский  полковник Г. Вайз: он равен 51° 14´. Указанному значению угла отвечает  тангенс, равный 1,272. Эта величина, отвечающая отношению высоты  пирамиды (OP) к половине длины её основания (РR), очень близка к корню  квадратному из золотой пропорции, равному 1,27202 и является  иррациональной величиной. Итак, примем отношение катетов, т.е. высоты пирамиды (ОР)  к половине  длины ее основания (РR), равным 1,272. При этом высота пирамиды Хеопса  будет равна точно 318 локтей, или 148,28 м. Такую высоту, очевидно, имела  пирамида Хеопса при завершении ее сооружения (или должна была иметь по  проекту).           Таким образом, основные элементы конструкции пирамиды имели  следующие размеры: сторона основания – 500 локтей, высота – 318 локтей.  Отсюда следует, что апофема боковой грани равна 404,5 локтя. Рассмотрим теперь поверхность пирамиды. Она состоит из четырех  треугольников и квадрата основания. Основание треугольника равно 500  локтям, высота его равна 404,5 локтя. По теореме Пифагора можно  рассчитать длину боковых ребер. Они равны 475,5 локтя. Площадь основания пирамиды равна 250000 кв. локтей, площадь боковой  грани 101125 кв. локтей, а площадь четырех граней пирамиды равна 404500  кв. локтей. Отношение поверхности граней к площади основания также равно  золотой пропорции. Многие исследователи указывают, что отношение удвоенной стороны  основания (2*2SR) к высоте пирамиды OP отвечает числу “Пи”. Однако в  связи с тем, что высота пирамиды принималась равной современной и не  всегда однозначной, число “Пи” получалось разным: 3,16 – 3,18. На почве  этого возникали сомнения, предпринимались различные подгонки, стали  говорить даже о некоем “египетском Пи”, равном 3,16. Если принять высоту  пирамиды равной 318 локтям, то отношение 2*2SR/OP=1000/318 будет равно  3,144. Эта величина очень близка к современному значению числа “Пи”  (3,14159…). Интересно сравнить два основных отношения, установленных нами при  изучении геометрических пропорций пирамиды: 2OP/2SR = и 2*2SR/OP =  “Пи”.  Гениальные создатели пирамиды Хеопса стремились поразить далеких  потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого. Следует лишь  удивляться высокому знанию и искусству древних математиков и  архитекторов Египта, которые смогли воплотить в пирамиде две  иррациональную (т.е. неизмеримую) величину – “Пи” со столь поразительной точностью, оперируя исходными отношениями целых чисел – стороной  основания и высотой пирамиды, выраженных в локтях. Геометрия и архитектурные образы зданий и сооружений. В современном мире нас окружает множество построек состоящих из  сложных геометрических фигур, большинство из которых являются  многогранниками. Примеров тому очень много, достаточно посмотреть по  сторонам и мы заметим что здания, в которых мы живём, магазины, в которые  ходим, школы и детские сады и т.д. представлены в виде многогранников. Многогранник – это пространственная фигура, ограниченная замкнутой  поверхностью, составленной из частей плоскостей – многоугольников. Многогранники подразделяются на правильные и неправильные.  Правильный многогранник – это многогранник, у которого все грани  ­ равные правильные многоугольники и все многогранные углы равны. Всего правильных многогранников пять:  Тетраэдр символизирует огонь.  Октаэдр символизирует воздух.  Икосаэдр символизирует воду.  Гексаэдр символизирует землю.  Додекаэдр символизирует вселенную (мир). Призма. В основном все здания «собранны» из различных видов призм и  параллелепипедов.  Призма – это многогранник, две грани которого равные n – угольники,  лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n – грани ­  параллелограммы. Элементы:  Вершины: А; В; С; К; А1; В1; С1; К1;  Боковые рёбра: АА1; ВВ1; СС1; DD1; ЕЕ1; КК1;  Стороны основания: АВ; ВС; СD; DЕ; ЕК; КА; АВ1; ВС1; СD1; DЕ1;  ЕК1; КА1;  Основание верхнее и нижнее: АВСDЕК; А1В1С1D1Е1К1; ­ грани  Боковые грани АА1В1В; ВВ1С1С; СС1D1D; DD1Е1Е; ЕЕ1К1К;  КК1А1А; Призмы подразделяются по основанию и по расположению бокового ребра. Наклонная призма – боковое ребро наклонено к основанию под углом  отличны от 90º. Прямая призма – боковое ребро расположено перпендикулярно к основанию. Правильная призма – призма в основании которой правильный n­угольник  и  боковое ребро перпендикулярно основанию. Параллелепипед ­ призма, в основании которой находится параллелограмм. Параллелепипед. Виды параллелепипедов: Наклонный – боковое ребро наклонено к основанию под углом отличным от  90°. В основании может быть:   Параллелограмм  Прямоугольник  Ромб  Квадрат   Прямой – боковое ребро перпендикулярно основанию.    В основании может быть:  параллелограмм  ромб Прямоугольный – это прямой параллелепипед, в основании которого  прямоугольник. Правильный – это прямой параллелепипед, в основании которого квадрат. Куб – это прямой параллелепипед, все грани которого квадраты. Сооружения пирамидальных форм выделяются особой важностью их  Пирамида. значения среди других построек, также для кого­то они имеют некое  мистическое значение. Таких свойств у этих сооружений много, чем и  пользовались зодчие в древние века. По тем же причинам нередко и сегодня  можно увидеть и услышать о том что где­то возводится здание в форме  пирамиды, для того или иного назначения. Пирамида – это многогранник, одна из граней  которого – произвольный n­угольник, а остальные “n” граней – треугольники, имеющие общую  вершину. Пирамида – это многогранник, ограниченный  многогранным углом и плоскостью,  пересекающий этот многогранный угол. Элементы: Вершина S Боковые ребра AS, DS, CS, BS Стороны основания: AB, BC, CD, DA Основание пирамиды – ABCDEF Боковые грани – ASB, ASD, DSC, CSB Высота пирамиды SO – это перпендикуляр, опушенный из вершины на  основание. Высота боковой грани – SK  Плоские углы при вершине –ASD, DSC,CSB, BSA  Двугранный угол при основании – SDCO   Диагональное сечение пирамиды – это сечение, проведённое через диагональ  основания и вершину (ограничивающие два боковых ребра) – BSD  Виды пирамид. 1.  Вид пирамида зависит от того, какой многоугольник расположен в  основании пирамиды: 3х­угольная пирамида: в основании – треугольник; 4­х угольная пирамида: в основании – четырехугольник; 5­ти угольная пирамида: в основании –пятиугольник;                6­ти угольная пирамида: в основании –шестиугольник; И т.д. 2. Правильная пирамида – пирамида, в основании которой лежит  правильный многоугольник и высота пирамиды попадает в центр  основания. Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды. В правильной пирамиде все боковые грани – равные равнобедренные  треугольники, наклоненные к основанию под одинаковыми углами. В настоящее время публичные здания цилиндрической формы получили не  Цилиндр. большее распространение, чем пирамидальные. В отличие от сооружений  технической направленности. Например, такие как нефтехранилища или  водонапорные башни. Они были построены таким, в силу некоторых причин,  таких как, равномерное распределение нагрузки по всей несущей  конструкции. Цилиндр – это тело, ограниченное частью замкнутой  цилиндрической поверхности и частью двух  плоскостей, параллельных между собой Прямой круговой цилиндр – это цилиндр, у  которого направляющая – окружность,  образующая перпендикуляр к плоскости круга 2 основания: Верхнее и нижнее – круг; AB – образующая.  – высота – это расстояние между плоскостями оснований AB = Боковая поверхность цилиндра – это часть цилиндрической поверхности,  которая является границей цилиндра. Осевое сечение – прямого кругового цилиндра – это прямоугольник ABCD,  угол А= Равносторонний цилиндр – это такой цилиндр, в осевом сечении которого –  квадрат Площадь поверхности прямого кругового цилиндра.    Как самостоятельные сооружения конусы в строительстве не  Конус используются. Практически всегда они составляют какую­то часть здания,  например крыши и архитектурные украшающие детали. Также в строительстве используют конические сваи. Конус ­ это геометрическое тело, ограниченное частью конической поверхности, расположенной по одну  сторону от вершины и частью пересекающей её  плоскости.  L – образующая S – вершина  R – радиус Прямой круговой конус – это конус, у которого направляющая – окружность;  а высота, опущенная из вершины на основание, попадает в центр окружности  или круга. Коническая поверхность – это поверхность,  образованная при перемещении прямой, которая  называется образующей, по линии, которая  называется направляющей, так, что одна точка  остается на своём месте. В – вершина АВ – образующая АС – направляющая Коническая поверхность может быть замкнутой,  если направляющая замкнута. Сфера и шар. В настоящее время проектировщики не пренебрегают такими форм­ факторами зданий выполненных в виде шара или полусферы, это течение  развивается всё больше и можно заметить что градостроительных комитетах  всё больше появляется таких проектов. В строительстве шаровидные формы используются чаще в качестве пристроек примыкающих к сооружениям с какой­либо из сторон здания, чем как  самостоятельные сооружения Сфера – это множество всех точек  пространства, находящихся на  положительном расстоянии R от данной  точки О, называемой центром сферы. Шар – это множество всех точек  пространства, расстояние которых от  данной точки не превосходит заданного  положительного числа R. Шар получается при вращении полукруга относительно  диаметра. Внутренними точками шара называются все точки шара, не принадлежащие  его поверхности. Касательная плоскость – это плоскость имеющая одну  общую точку со сферой. Прямая имеющая одну общую точку со сферой,  называется касательной к сфере. Части шара Шаровой слой – это часть шара, заключенная  между двумя параллельными плоскостями. Шаровой пояс – поверхность шарового слоя.     Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая от него   плоскостью. Основанием шарового сегмента – будет круг радиуса r. Н – высота шарового сегмента. Шаровой сектор Шаровой сектор получают при вращении  кругового сектора относительно какой­либо  оси; если ось проходит через плоскость  сектора или его ограничения, то получают  простой шаровой сектор, если ось проходит  через ось, не принадлежащую плоскости  шарового сектора, то получим полый шаровой сектор. Заключение:  Исследования   показали,   что   все   виды симметрии   используются   при   проектировании   и   конструировании архитектурных   сооружений   и   оформлении   фасадов   зданий.   Симметрия является основой гармонии в градостроении. Проведенное мною исследование с представлением и объяснением значительного количества фактов участия математических закономерностей в искусстве даёт основание признать выдвинутую мною гипотезу полностью подтверждённой. В ходе исследовательской работы мы взглянули на геометрию, как на неотъемлемый элемент изобразительного искусства и архитектуры, увидели их практическую связь и взаимозависимость.   Да, между геометрией, архитектурой и искусством существуют тесные и  многообразные связи, т.е. тесные точки соприкосновения. Список литературы 1. М.К. Эсхер. “Проблемы симметрии в периодических рисунках”. 1938 г. 2. Д. Пидоу. “Геометрия и искусство”. 1976 г. 3. Е. Л. Фейнберг “Искусство и познание”. 1976 г. 4. Н.   А.   Горяева   «Искусство   вокруг   нас».   АО   Московский   учебник. Москва. Москва 1999г.  5. Интернет – ресурсы.