Исследовательская работа по математике

Городская научно­практическая конференция молодых исследователей «Шаг в будущее» Секция: Математика и информационные технологии. Физика. Исследовательская работа по математике   на тему: «Золотое сечение» вокруг нас                                              Работу выполнил ученик 7Б кл                                          Ориничев Борис Евгеньевич                                                                                                                           Руководитель: Бельтюкова Назира Фаттаховна                                            учитель физики и математики                            МБОУ «СОШ № 14» 2 г. Нефтеюганск, 2016 г. Оглавление аннотация ………………………………………………..………... 2 актуальность, гипотеза  …….………………………………..3 план исследования           …………………………….............4 научная статья                   ……………………………………5     1.1.золотое сечение в математике…………………………..5 1.2. золотые фигуры ………………………………………....7 1.3. золотое сечение в архитектуре……………………….…7­8 глава 2.исследовательская часть. 2.1.золотое сечение в природе и в комнатных растениях ….9 2.2.золотое сечение в пропорциях человеческого тела….9­10 2.3.золотое сечение в живописи      …………………………....10 2.4.золотое сечение в архитектуре моего города ………10­11 заключение, вывод                        .………………………11­12  литература     …………………………………………………..13 3 Тема  «Золотое сечение» вокруг нас » Автор: Ориничев Борис Евгеньевич,  Ханты­Мансийский Автономный Округ – Югра г. Нефтеюганск Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение: «Средняя общеобразовательная школа № 14», 7Б класс ________________________________________________________________________ Аннотация        Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким­либо математическим расчётам. Можно ли “проверить алгеброй гармонию?” – как сказал А.С. Пушкин.     Великий Пифагор создал тайную школу,   где   изучалась   мистическая   суть   «золотого   сечения».   Евклид   применил   его, создавая   свою   геометрию,   а   Фидий   —   свои   бессмертные   скульптуры.   Платон рассказывал,   что   Вселенная   устроена   согласно   «золотому   сечению».   А   Аристотель нашел   соответствие   «золотого   сечения»   этическому   закону.   Высшую   гармонию «золотого сечения» или «божественной пропорции» будут проповедовать Леонардо да Винчи  и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же.            Цель работы:   1.Доказательство присутствия золотого сечения в окружающем нас мире:   в   растениях,   в   человеческом   теле,   в   архитектуре   города,   в   живописи   и   в скульптурах.         Методы   исследования:  Анализ   изученной   литературы   и   интернет­источников   по изучаемой   теме;   анкетирование;   наблюдение;   сравнительный   анализ   (сравнение исторических   скульптур,   живописи   ),   эксперимент   по   замеру   пропорциональности частей у растений, у учащихся,   экскурсия по достопримечательным местам города с 4 целью   изучения   архитектурных   строений,   фотосъемки   и   исследование   полученных съемок на пропорциональное соотношение.             Выводы:       1.   «Золотое   сечение»   в   окружающем   нас   мире:   в   растениях,   в человеческом теле, в архитектуре, в живописи и в скульптурах. 2. Человеческое представление о «красивом» явно сформировалось под влиянием того, какой   порядок   и   гармонию   человек   видит   в   природе.   Человек   –   венец   творения природы… Можно проверить гармонию алгеброй! Актуальность:          Окружающий нас мир многообразен… Все, наверное, обращали внимание, что мы неодинаково   относимся   к   предметам   и   явлениям   окружающей   действительности. Беспорядочность,   бесформенность,   несоразмерность   воспринимаются   нами   как безобразное и производят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойственна   мера,   целесообразность   и   гармония   воспринимаются   как   красивое   и вызывают у нас чувство восхищения, радости, поднимают настроение.        Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким­либо математическим расчётам. Можно ли «проверить алгеброй гармонию?» – как сказал А.С. Пушкин.  Конечно, все  законы  красоты  невозможно вместить в  несколько  формул,  но,  изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые  прекрасного.         Сведения о «золотом сечении» впервые встречаются в учебнике 6 класса. Изучив дополнительную литературу, наблюдая вокруг себя  природу, растения, животный мир и строения которые нас окружают,   видишь   эту пропорцию золотого сечения   во всех областях   окружающей   нас   жизни.   Богатая   и   увлекательная   история   исследуемого материала. Гипотеза:   Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре и в других сферах окружающей   нас   жизни   означает   соблюдение   определённых   соотношений   между отдельными частями и является непременным условием гармонии и красоты; 5 Цель работы:  Доказательство присутствия золотого сечения в окружающем нас мире: в растениях, в человеческом теле, в архитектуре города, в живописи и в скульптурах. Задачи: 1. Изучить понятия «пропорция»; «золотое сечение».    2. Исследовать присутствие золотого сечения в окружающей жизни.       3.   Изучить     практическое   применение   этого   понятия,   провести   эксперименты   с элементами золотого сечения.    4. Научиться анализировать и делать выводы.  Тема  «Золотое сечение» вокруг нас» Автор: Ориничев Борис Евгеньевич,  Ханты­Мансийский Автономный Округ – Югра г. Нефтеюганск Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение: «Средняя общеобразовательная школа № 14», 7Б класс ________________________________________________________________________ План исследования. 1. Изучить теоретические сведения по теме «Золотое сечение»; 2. Исследовать присутствие золотого сечения в окружающей жизни; 3. Исследовать размеры комнатных растений и определить  пропорции золотого сечения; 4.Исследование учащихся 7Б класса по методу Цейзинга на выявление золотого сечения в пропорциях части человеческого тела; 5.Экскурсия по городу с целью изучения  архитектуры города  и определить  пропорции. 6 Тема  «Золотое сечение» вокруг нас» Автор: Ориничев Борис Евгеньевич,  Ханты­Мансийский Автономный Округ – Югра г. Нефтеюганск Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение: «Средняя общеобразовательная школа № 14», 7Б класс ________________________________________________________________________ Научная статья   Да, путь познания не гладок,    Но знаем мы со школьных лет:   Загадок больше, чем разгадок,   И поискам предела нет!               Татьяничева Л.  Золотые руки, золотое сердце, золотое сечение…Если первые два понятия  понимают все, то понимание третьего – «Золотого сечения» ­ вызывает у большинства из нас огромные затруднения. А ведь этот термин употребляется в самом обыкновенном  учебнике математики за 6 класс! 7 Когда  знакомишься более подробно с дополнительной литературой по этому вопросу,  то убеждаешься, что «Золотое сечение» присутствует всюду: в природе, в технике, в  архитектуре, в живописи, в пропорциях человеческого тела и так далее. Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые    вещи как красота и гармония, каким­либо математическим расчётам. Можно ли  “проверить алгеброй гармонию?” – как сказал А.С. Пушкин.  Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая  математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного.  Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор,  древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что  Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И  действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и  украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера  пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого  сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий — свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую  гармонию «золотого сечения» или «божественной пропорции» будут проповедовать  Леонардо да Винчи (сам термин был введен им в 15 веке) и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же.               Слово пропорция означает «соразмерность», «определенное соотношение частей  между собой».  Глава 1.  Золотое сечение в математике. 1.1.Определение   золотого   сечения.  Золотым   сечением   и   даже   «божественной пропорцией» называли математики древности и средневековья  такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Это отношение обозначим буквой  =0,618=5/8.  φ 8                               а : b = b : c или с : b = b : а Деление отрезка в среднем и крайнем отношении часто использовалось в искусстве, что дало повод математику 16в., другу известного художника Леонардо да Винчи, монаху Луке Пачоли назвать такое деление отрезка божественной, великолепной пропорцией. По   поводу   этой   пропорции   он   употреблял   много   хвалебных   слов,   но   в   истории утвердилось два варианта: золотая пропорция, или золотое сечение. Древние греки считали, что прямоугольники, у которых стороны относятся как 5 : 8 (стороны   образуют   "золотое   сечение")   имеют   наиболее   приятную   форму.   Они приписывали "золотому сечению" магические свойства и использовали при расчетах. Правильное   соотношение   размеров  возводимых  древними  греками  дворцов   и  храмов придавало этим зданиям ту необыкновенную красоту, которая и сегодня восхищает нас. "Пропорция"   с   древнегреческого   означает  соизмеримый,   имеющий   правильное соотношение частей. С   историей   золотого   сечения   связано   имя   итальянского   математика   Леонардо Фибоначчи. Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Каждый   член   последовательности,   начиная   с   третьего,   равен   сумме   двух предыдущих, а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления.    Все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, искусстве, неизменно   приходили   к   ряду   Фибоначчи   как   арифметическому   выражению   закона золотого деления 1.2. Золотое сечение в природе. Оказывается, в природе встречаются и золотое сечение и золотая спираль. Интерес человека к природе привёл к открытию её физических и математических   закономерностей.   Красота   природных   форм   рождается   во взаимодействии двух физических сил – тяготении и инерции. Золотая пропорция – это математический символ этого взаимодействия, поскольку выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт юных побегов сменяется замедленным ростом «по инерции» до момента цветения.  Рассматривая расположение листьев на общем стебле многих растений, можно заметить, что   между   каждыми   двумя   парами   листьев   третья   расположена   в   месте   золотого сечения. Точка С делит отрезок АВ в золотом отношении, точка Е делит отрезок DA в золотом отношении и так далее.  9                                                  1.3."Золотые" фигуры. 1.3.1.Золотой треугольник: «Золотым треугольником» называется   равнобедренный  треугольник, где отношение основания к                                                                      его боковой стороне дает число  АВ : АС = 0,618                                 А .                                            В                         С                                                                                                             1.3.2.   Золотой прямоугольник. В «Золотом прямоугольнике» отношение длины к его ширине   дает   число   0,618.   Отрезав   квадрат   от   прямоугольника,   построенного   по принципу золотого сечения, мы получаем  новый, уменьшенный прямоугольник с тем же отношением сторон.  1.3.3. Золотой пятиугольник; построение Евклида.              Замечательный   пример   «золотого   сечения»   представляет   собой   правильный пятиугольник   –   выпуклый   и   звездчатый.   Звездчатый   пятиугольник   называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком. В настоящее время существует   гипотеза,   что   пентаграмма   –   первичное   понятие,   а   «золотое   сечение» вторично.   Пентаграмму   никто   не   изобретал,   ее   только   скопировали   с   натуры.   Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому   естественно   предположить,   что   геометрический   образ   этих   объектов   – пентаграмма – стала известна раньше, чем «золотая» пропорция. 10 1.3.4. Золотая спираль. Золотой прямоугольник, у которого отношение ширины к длине равно   0,618,   обладает   многими   интересными   свойствами.   Если   от   золотого прямоугольника   АВСD   отрезать   квадрат   со   стороной,   равной   меньшей   стороне прямоугольника,   то   снова   получится   золотой   прямоугольник.   Если   этот   процесс продолжить,   то   получатся   «вращающиеся   квадраты».   Когда   соединим   их   вершины плавной кривой, то получим золотую спираль.    1.3.5. «Золотое сечение» в архитектуре. Человек сам является творцом, создаёт  замечательные произведения искусства, в которых просматривается золотая пропорция.  Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах.                              Парфенон – это одно из красивейших произведений древнегреческой архитектуры. Он и сейчас, несмотря на то, что со времени его постройки прошло более 2,5 тысячелетий, производит   огромное   впечатление.   Некогда   белоснежный   мрамор   стал   от   времени золотисто­розовым.   Величественное   здание,   стоящее   на   холме   из   известняка, возвышается над Афинами и их окрестностями. Но поражает оно не своими размерами, а гармоническим совершенством пропорций. Здание не вдавливается своей тяжестью в землю, а как бы парит над нею, кажется очень лёгким. 11 Тема  «Золотое сечение» вокруг нас» Автор: Ориничев Борис Евгеньевич,  Ханты­Мансийский Автономный Округ – Югра г. Нефтеюганск Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение: «Средняя общеобразовательная школа № 14», 7Б класс ________________________________________________________________________ Исследовательская часть Глава 2.  2.1.   Исследование   №   1.     Золотое   сечение   в   природе   и   в   комнатных   растениях Рассматривая расположение листьев на общем стебле многих растений, можно заметить, 12 что   между   каждыми   двумя   парами   листьев   третья   расположена   в   месте   золотого сечения.              Изучая комнатные растения, измерили  расстояния между отростками,  и  нашли отношение,     оно     приближённо   равно     0,618,   т.е.   подчиняется   золотой   пропорции. Данные   измерений   и   вычислений   занесены   в     таблицу.     Золотую   пропорцию   можно увидеть и в ветках березы (Приложение 1).                    Золотую спираль также можно заметить в созданиях природы.    Спиральное расположение наблюдается у подсолнуха и чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса (Приложение 2).               Если измерить длину и ширину куриного яйца и найти соотношение: 3,4 см : 5,2 см = 0,653. Не все исследуемые яйца дают такое соотношение, а только некоторые из них (Приложение  3). 2.2. Исследование № 2 «Золотое сечение» в пропорциях человеческого тела              На следующем этапе нашего исследования, мы решили выяснить, каким образом золотое   сечение   выражается   в   пропорциях   человеческого   тела.(Приложение   3,4) Произвели измерения у учащихся 7Б класса  и пришли к выводу, что человеческое тело делится в пропорции золотого сечения линией пояса, т.е. деление тела точкой пупа – важнейший   показатель   золотого   сечения.(Приложение   4)   Если   принять   центром человеческого тела   точку пупа  и найти отношение расстояния от макушки до пупа на расстояние от пупа до ступней,  то рост человека  эквивалентен    числу 1, 618.  () А также  каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг. Сумма двух первых фаланг пальца   в   соотношении   со   всей   длиной   пальца   и   дает   число   золотого   сечения   (за исключением большого пальца)      Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения. (Приложение 5)             2.3. Золотое сечение в живописи.   Эти соотношения мы нашли в тех картинах, которые имеются в наших домах. 13 На   живописном   полотне   существуют  четыре   точки   повышенного   внимания. Зрительные центры расположены на расстоянии 3/8 и 5/8 от краев любой картины и фотографии. В первой картине две березы расположены в одной из этих точек, а во второй картине – парус.  Скульпторы,  архитекторы,  художники  использовали  и  используют  золотое  сечение  в своих   произведениях,   так   как   пропорции   золотого   сечения   создают   впечатление гармонии и красоты.  В настоящем этапе провели   психологический опыт.   Было роздано одноклассникам альбомный лист,   чтобы они   нарисовали одиноко растущее дерево.   У большинства дерево заняло место 5/8 от края листа. Из этого простого эксперимента следует, что не нужно быть великим художником, чтоб создавать красивое, гармоничное. 2.4. «Золотое сечение» в архитектуре моего города               Принято   считать,   что   объекты,   содержащие   в   себе   «золотое   сечение», воспринимаются   людьми   как   наиболее   гармоничные.   Пропорции   пирамиды   Хеопса, храмов,   барельефов,   предметов   быта   и   украшений   из   гробницы   Тутанхамона свидетельствуют,   что   египетские   мастера   пользовались   соотношениями   золотого деления при их создании.  Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании Собора Парижской Богоматери.           В поисках «Золотого сечения»  мы совершили экскурсию по нашему городу. Среди архитектурных   объектов   нашли   скульптуры,   которые   вписываются   в   «золотой прямоугольник» 1.«Ротонда».   Установлена   на   территории   историко­архитектурного   комплекса   в микрорайоне   2А   на   месте   высадки   первопроходцев.     В   центре   ротонды   установлен чугунный   барельеф   «Роза   ветров»   с   нанесённым   на   него   названием   города   и географическими координатами г.Нефтеюганска. (Приложение 6) 2.«Пергола» представляет   собой   металлическую   кованую   ажурную   конструкцию   из нескольких арок, соединённых между собой, украшенную коваными ветвями и листьями   В   верхней   части   установлены   флюгеры   в   виде   амуров.  лозы. Габаритные размеры:  высота ­ 4,0 метра; длина ­ 6,5 метров. (Приложение 6) 3.«Медведь», являющаяся символом города, изображённым на гербе г.Нефтеюганска. Скульптура,   установлена   на   территории   историко­архитектурного   комплекса   в микрорайоне 2А. (Приложение  6) 14 В   следующих   архитектурных   сооружениях   пропорциональное   соотношение   высоты стелы на высоту таблички «Воину­освободителю», в скульптуре «Царь» соотношение высоты трона на высоту фигуры (Приложение 7) Здание   культурного   центра   «Обь»   содержит   ряд   пропорциональных   соотношений,   а забор вписывается в «золотой прямоугольник» (Приложение 7) Многие   искусствоведы   изучая   храмы   и   церкви   стремились   раскрыть   секрет   того могучего   эмоционального   воздействия,   которое   это   здание   оказывает   на   зрителя. Разгадку они увидели в том, что в соотношениях многих частей храма присутствует золотая пропорция. Так, отношение высоты здания к его длине равно 0,62 . Отношения целого ряда частей храма  дают число 0,62. (Приложение 8)  Конечно же,  красоту и гармонию мы искали и в своей родной школе, так как  большее время дня мы     проводим там. И выяснили что, срез   крыльца МБОУ СОШ  № 14 представляет «золотой прямоугольник».              Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил – тяготении   и   инерции.   Золотая   пропорция   –   это   математический   символ   этого взаимодействия, поскольку выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт юных побегов сменяется замедленным ростом «по инерции» до момента цветения. Скульптурные   сооружения,   чтобы   увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их   памятники   воздвигаются, подвиги и деяния. Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций.   Пропорции   «золотого   сечения»   создают   впечатление   гармонии   красоты, поэтому скульпторы пользуются им в своих произведениях. Заключение. Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого­либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого   сечения,   способствует   наилучшему   зрительному   восприятию   и   появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся   в   определенном   отношении   друг   к   другу   и   к   целому.   Принцип   золотого сечения   –   высшее   проявление   структурного   совершенства   целого   и   его   частей   в 15 искусстве, науке, технике и природе.  Вывод:  во­первых,   золотое   сечение   –   это   один   из   основных   основополагающих   принципов природы;  во­вторых,   человеческое   представление   о   «красивом»   явно   сформировалось   под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе. Человек – венец творения природы… В результате исследовательской работы убедились, что золотые отношения можно найти и в пропорциях человеческого тела. Кроме того, человек сам является   творцом,   создаёт   замечательные   произведения   искусства,   в   которых просматривается золотая пропорция.  Мы     взяли   за   основу   своей   работы   материал   школьного   учебника   и   постарались проверить на практике те примеры золотого сечения, которые в нём приводятся. Нас очень заинтересовала эта тема, и мы сейчас непринужденно своим взглядом везде ищем эту «божественную пропорцию». Поэтому эту работу мы   будем продолжать. В ходе работы над этим проектом мы  приобрели не только много новых знаний, но и научились проводить простейшие исследования, наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать гипотезы и делать выводы. Думаем, что нам это пригодится не только при дальнейшем изучении математики и при изучении других наук, но и в жизни: при строении дома, при разбивке газонов. 1.Азевич   А.И.   Двадцать   уроков   гармонии:   гуманитарно­математический   курс.   ­   М.: Литература Школа­пресс, 1998 2. Виленкин Н.Я, В.И.Жохов и др) Математика, 6 класс 3. Волошинов А.В. Математика и искусство. М., 1992. 4.  Мурадова   Р.   Обобщающий   урок   по   теме   «Золотое   сечение».   //   Математика (Приложение к газете «Первое сентября»). ­ 1999. № 1.  5. Пидоу Д. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1989.  16 6. Самохвалова В.И. Красота против энтропии. М., 1990.  7. Энциклопедический словарь юного математика –М.,1989 г  8. Журнал “Квант”, 1973, № 8 9.  Журнал “Математика в школе”, 1994, № 2, № 3 Тема  «Золотое сечение» вокруг нас» Автор: Ориничев Борис Евгеньевич,  Ханты­Мансийский Автономный Округ – Югра г. Нефтеюганск Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение: «Средняя общеобразовательная школа № 14», 7Б класс 17 ПРИЛОЖЕНИЕ Приложение I Приложение II 18 19 Приложение III 20 Приложение IV 21 Приложение Y 22 23 Приложение YI 24 Приложение YII 25 26 Приложение YIII