Исследовательская работа «Решение неравенств второй степени с одной переменной»

XV Малая академия наук юных исследователей «Математика» Исследовательская работа «Решение неравенств второй степени с одной переменной» Автор работы:  _________________________, 9 класс, МБОУ Позднеевская СОШ Руководитель: Кривопустова Мария Николаевна, учитель математики, МБОУ Позднеевская СОШ 2018 год ОГЛАВЛЕНИЕ Историческая справка Неравенства второй степени с одной переменной и их решение Введение 1 2 2.1 Основные понятия 2.2 Метод интервалов Графический метод 2.3 Квадратные неравенства в окружающей жизни 3 4 Решение неравенств онлайн Заключение Литература Приложение 1 – «Варианты решения квадратных неравенств в зависимости от  расположения параболы» Приложение 2 – «Квадратные неравенства в окружающей жизни» Приложение 3 – «Решение неравенств онлайн» Приложение 4 – Раздаточный материал ВВЕДЕНИЕ Уравнения   и   неравенства   –   это   фундамент   алгебры.   Умение   решать уравнения не только имеет теоретическое значение для понимания естественных законов, но и служит практическим целям. Общаясь с одноклассниками, я замечаю, что многие из них не понимают значение того или иного раздела математики в нашей жизни, важности умения решать   математические   задачи.   Поэтому   мною   было   принято   решение продемонстрировать на примерах ошибочность мнения о скучности математики и   ее   законов,   о   малой   практической   применимости   на   таком,   казалось   бы, отдалённом от реальной жизни разделе математики как «Решение неравенств второй степени с одной переменной». Показать, что без математики не обойтись ни в одном деле, что она окружает нас везде. В   результате   привлечения   внимания   учащихся   к   математике   должна возрасти их заинтересованность в данном предмете, что должно способствовать повышению успеваемости учащихся. Цели   работы:   продемонстрировать,   что   математика   окружает   нас   в различных   сферах   жизни   и   является   важным   и   интересным   предметом   в школьном курсе. Задачи: ­ ­ рассмотреть аспекты истории неравенств; описать   методы   решения   неравенств   второй   степени   с   одной переменной;  отследить применение неравенств второй степени в жизни. ­ Методы исследования: ­ ­ ­ ­ анализ и сравнение полученных данных; анализ учебной литературы; систематизация материала; наблюдение. 1 ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Важность умения решать уравнения и неравенства, в том числе второй степени,   доказывает   то,   что   их   умели   решать   еще   в   древности.   Рассмотрим некоторые   аспекты   из   истории   о   тех   временах,   когда   ещё   не   существовала символическая алгебра.  Необходимость решать уравнения и неравенства не только первой, но и второй   степени   еще   в   древности   была   вызвана   потребностью   решать   задачи, связанные   с   нахождением   площадей   земельных   участков   и   с   земляными работами   военного   характера,   а   также   с   развитием   астрономии   и   самой математики. Квадратные   уравнения   и   неравенства   решали   еще   в   Индии. Древнеиндийский   математик   Баудхаяма   впервые   использовал   квадратные уравнения   в   форме   ax2=c   и   ax2+bx=c   и   привел   методы   их   решения. Формулы решения квадратных уравнений и неравенств в Европе были впервые изложены   в   1202   г.   в   «Книге   абака»   итальянским   математиком   Леонардом Фибоначчи. [2,6] Понятиями   неравенства   пользовались   уже   древние   греки.   Например, Архимед   (III   в.   до   н.  э.),  занимаясь   вычислением   длины   окружности,   указал границы   числа   «пи».   Ряд   неравенств   приводит   в   своём   трактате   «Начала» Евклид. Он, например, доказывает, что среднее геометрическое двух чисел не больше их среднего арифметического и не меньше их среднего гармонического. [2] Современные знаки неравенств появились лишь в XVII— XVIII вв. В 1631 году   английский   математик   Томас   Гарриот   ввел   для   отношений   «больше»  и «меньше» знаки неравенства < и >, употребляемые и поныне. Символы ≤ и ≥ были введены в 1734 году французским математиком Пьером Буг ром. [2] ее Квадратные   уравнения   и   неравенства   изучали   и   другие   выдающиеся математики – Штифель Кардано, Франсуа Виет, Рене Декарт, Ньютон. Решение   неравенств  второй  степени  находило  применение  в  древности. Так как подобные неравенства с тех времен активно развивались, можно сделать вывод, что их применение значительно увеличилось к сегодняшнему дню. Как в современной   жизни   решаются   и   применяются   неравенства   второй   степени рассмотрим в следующих главах данной работы. 2. НЕРАВЕНСТВА ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ РЕШЕНИЕ 2.1 Основные понятия Прежде   чем   приступить   к   рассмотрению   неравенств   второй   степени   с одной   переменной,   необходимо   вспомнить   что   называют   квадратным уравнением и повторить формулы для его решения.  Квадратное уравнение – это уравнение вида: ax2+bx+c=0 , где x – переменная, a, b и с – некоторые числа (коэффициенты), при чём a≠0. [1] −b±√D   x1,2= используют   следующие   формулы: Для нахождения корней   x1   и   x2   квадратного уравнения чаще всего 2a ,   где   D=b2−4ac   – дискриминант. При этом: 1) если D > 0, то уравнение имеет два корня; 2) если D = 0, то уравнение имеет один корень; 3) если  D < 0, то уравнение не имеет действительных корней. [1] Итак, неравенство второй степени с одной переменной – это неравенство ax2+bx+c>0(либо<,≥,≤) ,     (1) где x – переменная, a, b и с – некоторые числа (коэффициенты), при чём вида: a≠0. Неравенства   второй   степени   с   одной   переменной   часто   называют квадратным неравенством. Таким образом, если взять любое квадратное уравнение и заменить знак равенства на один из указанных выше, то получится квадратное неравенство и наоборот.   Решить   квадратное   неравенство   –   значит   ответить   на   вопрос,   при каких значениях х данное неравенство будет верно. Знаки  неравенства  называют  строгими ( ¿,>¿ )  и нестрогими ( ≤,≥ ). Это   влияет   на   результат   решения.   При   строгих   знаках   неравенства   границы интервала не входят в решение, при этом в ответе сам интервал записывается в виде   (x1;  x2)   –   скобки   круглые.   При   нестрогих   знаках   неравенства   границы интервала   входят   в   решение,   и   ответ   записывается   в   виде   [x1;  x2]   –   скобки квадратные. Квадратная скобка означает, что сама граница интервала включена в решение, круглая – не включена. [1] Примеры квадратных неравенств: 12x2– 6x+10 > 0, 2x2+ 5x –50 ≤ 0, 15x2– 12x+13 < 0, – 8x2– 17x+5 ≠ 0. Квадратное неравенство может быть задано в неявном виде: 10x2 – 6x + 4x2 – 5x + 7 ≤ 50, 2x2 > 36, 8x2 < – 15x2 – 12x + 3, 0 > – 5x2 – 2x + 13. Такие   неравенства   необходимо   привести   к   стандартному   виду   (1), выполнив алгебраические преобразования. Известны   и   применяются   два   основных   метода   решения   квадратных неравенств – метод интервалов и графический метод. 2.2 Метод интервалов Метод интервалов подходит для решения неравенств вида: f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0 и f(x) ≤ 0. Для   применения   данного   метода   используется   формула   разложения квадратного трёхчлена на множители: ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2) .     (2) Рассмотрим этот подход на примерах. Пример 1. Решить  x2−60x+500≤0 . [4] Решаем квадратное уравнение  x2−60x+500=0 . D=b2−4ac=(−60)2−4∙1∙500=3600−2000=1600 x1= x2= = 100 2 =50 −(−60)+√1600 Находим корни: −b+√D 2a = −b−√D 2a = Подставляем коэффициент a и корни в формулу (2), получаем: −(−60)−√1600 = 20 2 =10 2∙1 2∙1 x2−60x+500=(x−50)(x−10) . Записываем неравенство в виде  Корни делят числовую ось на три интервала: (x−50)(x−10)≤0 . Неравенство нестрогое, поэтому обозначения корней закрашены. Определим   знаки   на   интервалах   путём   подстановки   в   выражение (x−50)(x−10)   произвольного   значения   из   крайнего   справа   промежутка: (51−50)(51−10)>0 . Далее применим свойство чередования знаков и укажем, двигаясь справа налево, знаки в остальных промежутках: Решением будет являться интервал [10;50]. При всех значениях х из этого интервала неравенство будет верным. неравенство также будет верно, то есть границы интервала входят в решение. Мы заключили интервал именно в квадратные скобки. При х = 10 и х = 50 Ответ: x∊[10;50]. Пример 2. Решить  x2+4x−21>0 . [4] Решаем квадратное уравнение  x2+4x−21=0 . D=b2−4ac=42−4∙1∙(−21)=16+84=100 x1= x2= Находим корни: −4+√100 −b+√D 2∙1 =6 2a = −4−√100 −b−√D 2a = 2∙1 = Подставляем коэффициент a и корни в формулу (2), получаем: 2=3 −14 2 =−7 x2+4x−21=(x−3)(x+7) . (x−3)(x+7)>0 . Записываем неравенство в виде  Корни делят числовую ось на три интервала: Неравенство строгое, поэтому обозначения корней не закрашены.  Определим   знаки   на   интервалах   путём   подстановки   в   выражение (x−3)(x+7)   произвольного   значения   из   крайнего   справа   промежутка: (4−3)(4+7)>0 . Далее снова применим свойство чередования знаков и укажем, двигаясь справа налево, знаки в остальных промежутках: Решением   будут   являться   два   интервала   (–∞;–7)   и   (3;+∞).   При   всех значениях х из этих интервалов неравенство будет верным. неравенство не будет верным, то есть границы интервала не входят в решение. Мы заключили интервал именно в круглые скобки. При  х  = 3 и  х  = – 7 Ответ: x∊(–∞;–7) U (3;+∞). Подытожив,   можно   сказать,   что   алгоритм   решения   квадратного неравенства методом интервалов следующий. [1] 1. Записываем квадратное уравнение, соответствующее неравенству и решаем его. 2. Полученные   корни   подставляем   в   формулу   (2)   и   записываем неравенство в виде: a(x−x1)(x−x2)>0(либо<,≥,≤) . 3. Отмечаем   корни   x1   и   x2   на   числовой   прямой   в   порядке возрастания, корни уравнения делят числовую ось на интервалы. 4. Определяем знаки на интервалах («+» или «–») путём подстановки произвольного значения х из интервала в выражение, полученное на втором шаге, и отмечаем их. 5. Выбираем интересующие нас интервалы. Они отмечены знаком «+», если в неравенстве стояло «>0» или «≥0», знаком «–», если в неравенстве было «<0» или «≤0». Далее записываем ответ. При решении квадратного уравнения у нас может получиться один корень или   корней   не   будет   вовсе,   тогда   при   использовании   данного   метода   могут возникнуть затруднения в определении решения. 2.3 Графический метод Как   было   отмечено   ранее,   любому   квадратному   неравенству   можно поставить   в   соответствие   квадратное   уравнение,   а   описывать   его   будет квадратичная это функция. Напомним, что это функция вида: y=ax2+bx+c .     (3) Её графиком является парабола, ветви параболы могут быть направлены вверх или вниз. График может быть расположен следующим образом: может пересекать ось OX в двух точках, может касаться её в одной точке (вершиной), может   не   пересекать  OX.   [1]   Подробнее   вернемся   к   этому   вопросу   в дальнейшем. Теперь   рассмотрим   этот   подход   на   примере.   Весь   процесс   решения состоит из трёх этапов.  Пример 3. Решить неравенство  x2+2x−8>0 . [4] Для начала решаем уравнение  x2+2x−8=0 . D=b2−4ac=22−4∙1∙(−8)=4+32=36 . Находим корни: −2+√36 −b+√D 2∙1 = 4 2a = 2=2 x1= x2= −8 2 =−4 −2−√36 2∙1 = −b−√D 2a = Получили х1 = 2 и х2 = – 4 – это точки пересечения параболы и оси OX. Далее строим параболу  y=x2+2x−8  схематически. В данном случае корни не заштрихованы (выколоты), так как неравенство у нас строгое – «>». Теперь назовем значениях х при которых выражение  x2+2x−8  больше и меньше нуля. На графике это отлично видно: При  х  < – 4 ветвь параболы лежит выше оси  OX, то есть трёхчлен При   –   4   <  х  <   2   график   ниже   оси  OX,   при   этих  х  трёхчлен 1. 2. x2+2x−8  будет положительным. x2+2x−8  будет отрицательным. 3. При  х  > 2 ветвь параболы лежит выше оси  OX. При указанных  х трёхчлен  x2+2x−8  будет положительным. Сопоставляем   полученный   результат   с   исходным   неравенством   и записываем ответ. В нашем примере необходимо определить все значения х при которых выражение  x2+2x−8  строго больше нуля. Это промежутки (–∞;–4) и (2;+∞). Ответ: x∊(–∞;–4) U (2;+∞). Итак, кратко алгоритм решения неравенства второй степени графическим способом следующий: 1. 2. 3. Найти корни квадратного трехчлена  ax2+bx+c . Отметить найденные корни на оси OX. Определить   куда   (вверх   или   вниз)   направлены   ветви   параболы, служащей графиком функции  y=ax2+bx+c . 4. 5. Построить схематический график функции. С   помощью   полученной   геометрической   модели   определить промежутки, на которых функция принимает положительные или отрицательные значения. [1] Возможные варианты решения квадратных неравенств в зависимости от расположения параболы относительно оси OX приведены в Приложении № 1. 3 КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА В ОКРУЖАЮЩЕЙ ЖИЗНИ Большинство школьников испытывают страх и неуверенность при решении задач. Я хочу показать, что это не так уж и сложно. Нужно лишь правильно понять   условие   и   вопрос   задачи.   Далее   следует   довольно   интересная   часть решения  –  составление   математической   модели   задачи.  А   после   необходимо решить привычный пример, в нашем случае – квадратное неравенство. Далее   приведены   некоторые   примеры   задач,   для   решения   которых необходимо найти корни квадратного неравенства с одной переменной. Задачи, подобные задачам 7 и 8, встречаются в заданиях ЕГЭ. Для задач 1 и 2 приведены решения.  Задача 1. На   реке,   скорость   течения   которой   равна   4   км/ч,   по направлению её течения расположены пристани А, В, С. При чём расстояние от пристани А до пристани В вдвое меньше, чем расстояние от пристани В до пристани С. От пристани В в один и тот же момент по направлению к пристани С   отправились   плот   и   катер.   Плот   движется   относительно   берегов   реки   со скоростью течения, собственной скорости не имеет. Катер, дойдя до пристани С, разворачивается и движется к пристани А. Необходимо найти все возможные значения собственной скорости катера, при которых катер приходит к пристани А не раньше, чем плот приходит к пристани С. [5] Для решения вспомним формулу  S=vt , откуда  t=S v . Пусть  x  –   скорость   катера   (км/ч),  y  –   расстояние   от   пристани   А   до пристани В (км). Значит, 2y  – расстояние от пристани В до пристани С (км). Тогда   2y 4   – время движения плота (ч), а   x+4+ 3y 2y x−4   – время движения катера от пристани В до пристани С и обратно до пристани А (ч). По   условию   соотношение   между   временем   движения   плота   и   катера следующее:  4 . Преобразуем получившееся неравенство. ≥2y 2y x+4+ 3y x−4 2 x+4 + 3 ≥2 x−4 4 x−4−1 x+4+ 3 2 2 2∗(2(x−4)+3(x+4))−(x+4)(x−4) ≥0 (x+4)(x−4) 4x−16+6x+24−x2+16 (x+4)(x−4) ≥0 ≥0 −x2+10x+24 (x+4)(x−4) x2−10x−24 (x+4)(x−4) ≥0 ≤0 Далее решим неравенство методом интервалов, для этого числитель дроби разложим   на   множители   по   формуле   (2).   Найдём   корни   уравнения x2−10x−24=0 .   Используя   теорему   Виета   ( x1+x2=10 ,   x1∙x2=−24 ), получим:  x1=−2  и  x2=12 .  Подставляем   корни  в  формулу (2):   x2−10x−24=(x+2)(x−12) .  Далее вернёмся к неравенству. ≤0 (x+2)(x−12) (x+4)(x−4) Данное неравенство имеет четыре корня: – 2, 12, – 4 и 4. Отметим эти корни   на   числовой   оси   в   порядке   возрастания   и   определим   знаки   на получившихся промежутках. При этом необходимо помнить, что мы решаем не простой пример, а задачу, в которой есть определённые условия. Так, скорость катера x будет не менее 4 км/ч (по условию скорость течения равна 4 км/ч), т.е. x>4 . Получим, что условию задачи удовлетворяет промежуток  4 0, ветви параболы направлены вверх II. Коэффициент а < 0, ветви параболы направлены вниз КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА В ОКРУЖАЮЩЕЙ ЖИЗНИ Рисунок 25 Приложение 2 Приложение 3 РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ ОНЛАЙН Рисунок 26 Рисунок 27 Рисунок 28 Рисунок 29 Рисунок 30 Приложение 4 Верите ли вы, что… Все квадратные неравенства могут быть приведены к одному из следующих видов:    ах2 + bx + c > 0;    ах2 + bx + c < 0;    ах2 ДА + bx + c ≥ 0;    ах2 + bx + c ≤ 0 Все неравенства 3x2 – 2x + 7 ≥ 0; 8x + 19 < x2; (8 + x)(x – 3) > 7 ДА – квадратные Множество решений квадратного неравенства легко найти, ДА используя график функции у = ах2+bх + с – параболу Для решения неравенства достаточно схематического рисунка ДА параболы Для решения неравенства нет необходимости выяснять положение графика относительно оси ОХ Решить неравенство невозможно не зная о наличии либо отсутствии точек пересечения графика с осью ОХ НЕТ ДА Для решения квадратного неравенства не важно направление НЕТ ветвей параболы Координаты вершины параболы при решении квадратных неравенств нужно обязательно находить Решить неравенство невозможно, не нарисовав (хотя бы НЕТ НЕТ схематически) график  Компьютер и интернет легко решают квадратные неравенства ДА