Исследовательская работа«Посчитаем мы в уме, будем умными вдвойне»

Научно-практическая конференция «Шаг в будущее»«Посчитаем мы в уме, будем умными вдвойне»Забайкальский крайДульдургинский районС БальзиноАвтор :Пылёва Ольга ЕвгеньевнаМБОУ « Бальзинская средняя общеобразовательная школа»9 классНаучный руководитель: Калякина Марина Михайловна

В связи с введением обязательного ЕГЭ и ГИА по математике возникает необходимость научиться решать быстро и качественно задачи базового уровня.
При этом необыкновенно возрастает роль устных вычислений и вычислений вообще, так как на экзамене не разрешается использовать калькулятор и таблицы.

Проблема исследования: найти и рассмотреть нестандартные приёмы устного быстрого счёта, не рассматриваемые непосредственно в школьном курсе математики.
 Объект исследования – вычислительные навыки и быстрый счёт на уроках предметов естественно – математического цикла.
 Предмет исследования – нестандартные приёмы и навыки устного счёта при умножении натуральных чисел. 

Цель исследования: быстрый счёт с использованием нестандартных приёмов устного счёта, знание упрощённых приёмов устных вычислений, когда вычисляющий не имеет в своём распоряжении таблиц и калькулятора .

Умножение двузначного числа на 11.

Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.
Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр.

Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10.
Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

86 х 11= 8 (8+6) 6 = 8 (14) 6 = (8+1) 46 = 946.

Есть ещё один способ умножения на 11 больших чисел: чтобы умножить число на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число.
 Например:
345 х 11 = 3450 + 345 = 3795;
4215 х 11 = 42150 + 4215 = 46365.

Умножение чисел на 22, 33,… ,99.
Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, 44, …, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 33 = 3 х 11; 44 = 4 х 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.
Примеры:
18 х 44 = 18 х 4 х 11 = 72 х 11 = 792;
42 х 22 = 42 х 2 х 11 = 84 х 11 = 924;
13 х 55 = 13 х 5 х 11 = 65 х 11 = 715.
Кроме того, можно применить закон об одновременном увеличении в равное число раз одного сомножителя и уменьшении другого:
28 х 33 = (28 х 3) х (33:3) = 84 х 11 = 924,
48 х 22 = (48 х 2) х (22:2) = 96 х 11 = 1056.

Умножение числа на 111, 1111, 11111 и т.д., зная правила умножения двузначного числа на 11
Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1.
Пример:

24

= 2 (2 + 4) (2+4) 4 = 2664 (количество шагов – 2)

111

24

1111 = 2 (2 +4) (2 +4) (2+4) 4 = 26664 (количество шагов – 3)

Немного сложнее выполнить устное умножение, если сумма цифр первого множителя равна 10 или более 10.
Пример:

48

111 = 4 (4+8) (4+8) 8 = 4 (12) (12) 8 = (4 +1) (2+1) 28 = 5328.

Чтобы двузначное число умножить на 111, 1111 и т.д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми числами.
42 х 111 111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662.
Раздвинуть 4 и 2 на 5 шагов. Если единиц 6, то шагов будет на 1 меньше, то есть 5. Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д.
Немного сложнее, если сумма цифр равна 10 или более 10.
Примеры:
57 х 111 = 5 (5+7) (5+7) 7 = 5 (12) (12) 7 = (5+1) (2+1) 27 = 6327;
86 х 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546.
В этом случае надо к первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а последние цифры 4 и 6 оставляем без изменения. Получаем ответ 9546.

69 х 1111 = 6 (15) (15) (15) 9 = (6+1) (5+1) (5+1) 59 = 76659
76 х 1 111 111 = 7 (13)(13)(13)(13)(13)(13) 6 =
= (7+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1) 36= 84444436

Умножение чисел на 37.
Прежде чем научиться устно умножать на 37, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 3. Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111,
Примеры:
24 х 37 = (24:3) х 37 х 3 = 8 х 111 = 888; 18 х 37 = 18 : 3 х 111 = 6 х 111 = 666

Алгоритм перемножения двузначных чисел, близких к 100.
Например: 98 х 97 = 9506
Здесь я пользуюсь таким алгоритмом: если хочешь перемножить два двузначных числа, близких к 100, то поступай так:
1) найди недостатки сомножителей до сотни; 2 и 3
2) вычти из одного сомножителя недостаток второго до сотни;
3) к результату припиши двумя цифрами произведение недостатков сомножителей до сотни.
Вот ещё примеры:
92 х 85 = 7720 = 7820; 88 х 89 = 7732 = 7832
8 и 15 12 и 11

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6), на число десятков увеличенное на 1 (на 6+1 = 7), и к полученному числу приписывают 25 (6 х 7=42. Ответ: 4225).

Возведение в квадрат чисел, состоящих только из 1.
Вот несколько интересных образцов умножения, которые легко запоминаются и могут быть использованы на ОГЭ и ЕГЭ.

11

11 =121

111 = 12321

1111 = 1234321

11111 =123454321

111111 = 12345654321

111111 = 1234567654321

11111111 = 123456787654321

111111111 = 12345678987654321

111

1111

11111

111111

1111111 1

11111111

111111111

Алгоритм возведения в квадрат чисел, близких к 50.
Если хочешь возвести в квадрат число, близкое к 50, но больше 50, то поступай так:
1) вычти из этого числа 25;
2) припиши к результату двумя цифрами квадрат избытка этого числа над 50.
Примеры:
582 = 3364
Пояснение. 58 – 25 = 33, 82 = 64, 582 = 3364.
642 = 4096 1
Пояснение. 64 – 25 = 39, 64 – 50 = 14, 142 = 196, 642 = 3996 = 4096.

Число Шахерезады.
« Сказки 1001-й ночи…» Чем замечательно это число? Оно является произведением простых чисел 7, 11, 13. При умножении числа 1001 на любое трёхзначное число, записанное дважды данным трёхзначным числом. Например, 1001 х 347 = 347 347. На этом свойстве числа 1001 основаны некоторые «фокусы». Этот принцип умножения используется для угадывания чисел. Мы знаем, что приписывание такого числа равносильно умножению трёхзначного числа на 1001. Например, предлагаю записать любое трёхзначное число к нему приписать такое же число. Затем разделим полученное шестизначное число на 11, затем на 13 и наконец на 7.
( Мы знаем, что 11 х 13 х 7 = 1001, т.е. мы просили учеников разделить число на 1001.) О последнем частном вы сможете сказать: «Это число вы задумали».

 Интересные цифры: Возьмите числа, кратные трём,- от 3 до 2, умножьте их на 3 . Посмотрите, как занятно! Произведения трёхзначные . В каждом из них три раза повторяется то число, которое получится, если множимое разделить на 3 :
Или ещё так: 3 х 37 = 111 33 х 3367 = 111111
6 х 37 = 222 66 х 3367 = 222222
9 х 37 = 333 99 х 3367 = 333333
12 х 37 = 444 132 х 3367 = 444444
15 х 37 = 555 165 х 3367 = 555555
18 х 37 = 666 198 х 3367 = 666666
21 х 37 = 777 231 х 3367 = 777777
24 х 37 = 888 264 х 3367 = 888888
27 х 37 = 999 297 х 3367 = 999999

Математика – наука интересная и сложная, поэтому нельзя упускать ни одной возможности, чтобы сделать ее более доступной, так как ее роль в наши дни возрастает. Быстрый счет – это уже научно разработанная система, значит ее нужно изучать и каждый может ей овладеть. Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный в работе. Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки устного счета. В заключение хочется сказать, что изучив некоторые рациональные приемы вычислений и научившись применять их, можно более успешно подготовиться к сдаче ОГЭ и ЕГЭ по математике, а также это необходимо и в повседневной жизни.

Спасибо за внимание!