Муниципальное бюджетное образовательное учреждение  «Тимирязевская средняя школа»

 

 

 

 

 

 

 

Исследовательский проект  

 «Тайны математических фокусов»

 

 

 

Выполнили:  учащиеся 5 класса  Руководитель: 

Аскарова Татьяна Саядовна

 

                                                                                

 

   2016 год

Содержание

 

 

 

 

 

1.  Актуальность проекта                                                                                      3

2.  Цель и задачи проекта                                                                                      4

3.  План реализации проекта                                                                                 5 

4.  Что такое фокус?                                                                                              6 

5.  История возникновения фокусов  6                                                                 7 

6.  Классификация фокусов                                                                                  8 

7.  Классификация математических фокусов  9                                                  11

8.  Жизнеспособность проекта                                                                            12

9.  Источники информации                                                                                 13

 

10.       Приложения                                                                          14 – 18

 

 

1.  Актуальность проекта.

 

 

Не считайте, что математика суха, трудна для ума и неприятна для трезвого рассудка. Наоборот, она только проясняет трезвый рассудок.

К. Д. Ушинский

 

В начале учебного года в нашей школе прошла конкурсная программа «Минута славы», где наш класс представлял творческий номер в номинации «Чудеса в решете», это было весёлое представление, фокус с окрашиванием воды в разные цвета. Участие, именно в этой номинации, было не случайным ведь большинство

детей и взрослых любят фокусы, воспринимают фокусы как чудо, как волшебство. Принято считать, что фокус – это обман. Люди не любят, когда их обманывают, но все равно восхищаются фокусами. 

На этом наше знакомство с фокусами не закончилось. В рамках недели математики один из дней был объявлен Днём математических фокусов, мы, конечно, слышали о различных фокусах с отгадыванием чисел, но даже не предполагали, что математических фокусов очень много, и они настолько

интересные. Миллионы людей во всех частях света увлекаются математическими фокусами. И это не удивительно, «Гимнастика ума» полезна в любом возрасте, фокусы тренируют память, обостряют сообразительность, вырабатывают настойчивость, способность логически мыслить, анализировать и  сопоставлять.

Магия  фокуса  способна  разбудить  сонных,  растормошить  ленивых,  заставить  думать тугодумов. Ведь не разгадав секрета фокуса, невозможно понять и оценить всей его прелести. А понять суть того или иного эксперимента – это значит понять пусть небольшую, но математическую закономерность.  А если вы узнаете секрет математических фокусов, то сможете не только их показывать, но и придумывать свои    новые фокусы. 

Для того чтобы узнать, что известно о математических фокусах ребятам начальной школы, мы провели опрос (Приложение 1), который показал, что только 4% опрашиваемых слышали о математических фокусах с отгадыванием чисел, но не знают их секрета.  

Мы  решили больше узнать о математических фокусах, выяснить их секрет для того, чтобы привлечь внимание обучающихся начальной школы к математическим фокусам, и тем самым заинтересовать их в изучении предмета математики, ведь это будет способствовать развитию навыков устного счета, памяти, сообразительности, способности мыслить логически, повысится их заинтересованность в предмете и успеваемость.

2.  Цель и задачи проекта.

Цель: 

- изучение сущности математических фокусов и их апробирование среди учащихся начальной школы.

 

 

Задачи:

1.     Изучить и проанализировать литературу, материалы в сети Интернет по проблеме исследования;

2.     Дать понятие термину «фокус»;

3.     Изучить историю возникновения фокусов;

4.     Представить классификацию фокусов;

5.     Создать копилку математических фокусов с их секретами;

6.     Овладеть математическими фокусам и провести мастер-класс «Тайны математических фокусов» для учащихся начальной школы.

 

 

3.        План реализации проекта.

 

№ п/п	Этапы реализации	Мероприятия	Срок
I	Организационный	1. Собеседование с учителем математики  Т.С. Аскаровой.  - Опрос обучающихся 2-4 классов - обозначение  актуальности проблемы; - выработка  направления деятельности. 2. Разработка проекта.	21-26 декабря 2015   г       11-23 января 2016   г
II	Активизация деятельности	1.                 Изучение информации о фокусах, истории возникновения математических фокусов   (работа с литературой, источниками интернета).   2.                 Изучение классификации фокусов.    3.                 Изучение классификации математических фокусов.   4.                 Овладение математическими фокусам.   5.                 Создание копилки математических фокусов и их секретов.   6.                 Проведение мастер-класса «Тайны математических фокусов».	25-30 января 2016 г       1-6 февраля 2016 г 8-13 февраля 2016 г   15-29 февраля 2016 г  март 2016 г     1-12 апреля 2016 г
III	Перспективы запроектной деятельности	1.                 Использование накопленных материалов на уроках математики, внеклассных занятиях, при проведении недели математики.      2.                 Пополнение копилки математических фокусов и их секретов.	2016 - 2017 г

 

 

 

4.        Что такое фокус?

Фокус – это многозначный термин:

ü Фокус – точка в оптической системе.

ü Фокус – номер иллюзиониста, демонстрирующий необъяснимый эффект, «чудо».

ü Фокус – центральная точка очага землетрясения.

Откуда появилось слово «фокус» никто не знает. Есть несколько версий. Наиболее популярная из них – все началось с латинской фразы «хок эст корпус меум». Эта фраза

переводится как «сие есть тело моё». Она произносилась священниками при вечерней трапезе и символизировала религиозный обряд превращение хлеба в тело бога. Позднее словосочетание превратилось в «хокус-покус» и стало употребляться для обозначения всех видов превращений.

В словаре русского языка (словарь Ожегова) написано: «Фокус - искусный трюк, основанный на обмане зрения, внимания при помощи ловкого  и быстрого приема, движения».

Математические  фокусы – очень своеобразная форма демонстрации математических закономерностей.

Математические фокусы, как правило, показывают не перед целым залом, со сцены, а перед небольшой группой людей. Математические фокусы  не требуют особенного реквизита, длительной тренировки, ловкости рук, они просты в исполнении. Главный их секрет – знание математических закономерностей, свойства фигур и чисел.

Математические фокусы, подобно  шахматам, имеют свою особую прелесть. В шахматах объединено изящество  математических построений с удовольствием, которое может доставить игра. В математических же фокусах изящество  математических построений соединяется с занимательностью. Неудивительно поэтому, что наибольшее наслаждение они приносят тому, кто одновременно знаком с обеими этими областями. 

 

5.        История возникновения фокусов.

С глубокой древности людей интересовали мистические и загадочные вещи, иллюзионизм и магические искусства. Великие Тайны этих искусств известны лишь избранным. Иллюзионисты и фокусники ревниво охраняют их, хорошо зная, что, чем не доступнее ключ к их таинствам, тем эти таинства более ценны.

Первый документ, в котором упоминается об иллюзионном искусстве, – древнеегипетский папирус. В нём содержатся предания относящиеся к 2900 году до н.э., эпохе царствования фараона Хуфу (Хеопса). В одном из преданий упоминается о выступлении фокусника и дрессировщика ДЖЕДИ, который умеет приставить на место и прирастить отрезанную голову гуся и может заставить льва следовать за собой без пут.

Изначально фокусы использовали колдуны и  знахари. Жрецы Вавилона и Египта создавали огромное количество уникальных трюков с помощью прекрасных знаний математики, физики, астрономии и химии. В перечень чудес исполняемых жрецами можно включить, например такие: раскаты грома, сверкание молний, сами собой раскрывающиеся двери храмов, появляющиеся вдруг из-под земли статуи богов, сами звучащие музыкальные инструменты, голос, раздававшийся ниоткуда, предвещающий будущее и т. д.

Фокусники того времени заставляли исчезать и появляться драгоценности, в толпе у народа пропадало множество вещей и оказывалось в наличии у фокусника, при этом он все время был на виду.

В Россию иллюзионное искусство пришло из Византии. При пышном византийском дворе оно было одним из любимых развлечений. После окончания придворной службы русские певцы и музыканты возвращались в родные места и там показывали, чему научились. Они называли себя скоморохами (от греческого слова «скоммархос» — потешники). Это название надолго закрепилось за народными артистами Древней Руси. Скоморохи исполняли былины и песни, акробатические номера, демонстрировали фокусы, которые в древних русских документах назывались «шутками», а скоморохи-фокусники — «шуткарями» и «морочниками». О них чаще говорится как о колдунах: «…скоморошничают и совершают разные чары». Царская грамота 1648 г. запретила скоморохам проводить «чародеяния, гадания, а также всякие игры, музыку, песни, пляски, переряживание, игры…». «Чародеяниями» именовались фокусы и непонятные явления. 

 

История возникновения математических фокусов.

Математические игры и фокусы появились вместе с возникновением математики, как науки. Первое упоминание о математических фокусах мы встречаем в книге русского математика Леонтия Филипповича Магницкого, опубликованной в 1703 году. Одна глава книги содержала математические игры и фокусы. Сам Магницкий пишет, что поместил эту главу в книгу для «утехи и особенно для изощрения ума учащихся». Все мы знаем великого русского поэта М.Ю. Лермонтова, но не каждому известно, что он был большим любителем математики, особенно его привлекали математические фокусы, которых он знал великое множество, причем некоторые из них он придумывал сам. (Приложение

5).

Математические фокусы интересны именно тем, что каждый фокус основан на математических законах. Смысл их состоит в отгадывании чисел, задуманных зрителями, или в каких-нибудь операциях над ними. Главное — это то, что фокусник знает секрет: особые свойства чисел.  

На их огромную  познавательную и воспитательную ценность неоднократно указывали К.Д. Ушинский, А.С. Макаренко, А.В. Луначарский. Среди тех, кто увлекался ими, были К.Э. Циолковский, К.С. Станиславский, И.Г. Эренбург и многие другие выдающиеся люди.

6.        Классификация фокусов.

Все современные фокусы можно разделить на несколько групп: 

 

Микромагия – фокусы с некрупными предметами (монеты, денежные купюры, банкноты), которые показывают небольшому количеству зрителей от одного до 25 -30 человек.

Манипуляции – фокусы, основанные исключительно на ловкости рук (для этих фокусов также используются деньги, бильярдные шары, мячи, платки, карты  и т.д.) 

Иллюзианизм  или аппаратные иллюзии - фокусы, трюки, которые демонстрируются с помощью иллюзионных аппаратов (коробки, ящики, мешки, сосуды, которые могут быть сделаны в виде сундука,) и специальных приспособлений, которые могут иметь вид меча, шпаги, сабли, стрелы, пики, копья, пистолета или пушки, и спецэффектов.

Ментальная магия или ментализм - эффект достигается с помощью силы мысли. В ментальную магию входят: телепатия (чтении и передача мыслей), телекинез (передвижение предметов силой мысли), телеметрия (получение информации о предметах, живых объектах на расстоянии), телепортация (мгновенное перемещение в пространстве), увеличение и уменьшение собственного веса – левитация, внушение и гипноз, ясновидение (предсказание будущего), поиск скрытых, спрятанных предметов и людей, быстрый счет, феноменальная память и т.д.

Мнемотехника – передача информации на расстоянии от фокусника к ассистенту (фокусник просто шифрует информацию с помощью тех или иных кодов).

Чревовещание или вентрология – создания иллюзии того, что говорят куклы или животные.

Трансформация – мгновенная смена одежды или всего внешнего облика.

Факирские трюки – глотание огня, хождение по битому стеклу, раскаленным углям, лежание на гвоздях и т.д. 

Оптические иллюзии – иллюзии, основанные на явлениях преломления, отражения, интерференции, дифракции и т. п. световых лучей и особом расположении световых линз, зеркал, стекол и других оптических приборов.

Физические иллюзии - фокусы, связанные с демонстрацией эффектов, основанных на действии различных физических закономерностей.

Химические иллюзии – основаны на достижении иллюзионных эффектов путем использования  свойств химических веществ и реакций между ними.

Математические фокусы – трюки, основанные на использовании математических закономерностей.

На этих фокусах мы остановимся по подробнее.

 

 

 

7.        Классификация математических фокусов.

 

           Существуют разнообразные математические фокусы: с магическими таблицами для угадывания чисел, фокусы с настенным календарем, фокусы с прикосновениями, фокусы на нахождение числа, фокусы с мелкими предметами (домино и игральные кости, монеты), фокусы с уравнениями, фокусы с предопределенным выбором и т.д. В этой классификации, наряду с фокусами, выполняемые   мелкими предметами,  можно заметить, выделенные в отдельные группы фокусы с натуральными числами. Фокусов с натуральными числами очень много, назовем их числовыми. Среди них мы выделили следующие виды:

ü фокусы, начинающиеся с задуманного числа, операций над ним и требующие в итоге выйти на задуманное число; 

ü фокусы с таблицами, которые требуют от нас внимания, сообразительности и  знаний быстрого счета; 

ü фокусы, представляющие  некоторое подобие пирамид, составленных из чисел.

Для своего  исследования  мы определили следующие группы числовых фокусов и дали им название:

1) задуманное число; 2) волшебный календарь;

3) числовые пирамиды.

 

Секрет фокуса «Задуманное число».

 

Фокус. Напишите на бумаге (секретно) любое трехзначное число. Припишите к нему еще раз то же самое число. Получится шестизначное число, состоящее из трех повторяющихся цифр.   Разделите (секретно)  это число на 7;  результат  разделите  на 11; полученный результат разделите на 13.  Результат третьего деления  и есть задуманное число.  Какова разгадка фокуса?

Разгадка: Этот красивый  арифметический фокус, производящий для непосвященных впечатление волшебства, объясняется очень просто: если приписать к трехзначному числу его само – значит, умножить его на 1001, т.е. на произведение 7·11·13. Шестизначное число, полученное после того, как к задуманному числу приписали его само, должно   делиться без остатка и на 7, и на 11, и на 13. А в результате деления последовательно на эти три числа (т.е. на их произведение - 1001) оно должно, конечно, снова дать задуманное число.

 В  литературе мы нашли, что число 1001 называют Числом Шехерезады. Чем же замечательно число 1001? С виду оно кажется весьма обыкновенным. Оно даже не принадлежит к избранному ряду так называемых

«простых» чисел. Оно делится без остатка на 7, и на11, и на13 – на три последовательных простых чисел, произведением которых оно и является. Но не в том диковинка, что число 1001=7·11·13, - здесь нет еще ничего волшебного. Замечательнее то, что при умножении на него трехзначного числа получается результат, состоящий из самого умноженного числа, только написанного дважды. Например:

654·1001=654654,   309·1001=309309  и т.д.

                И         хотя         этого         и         следовало         ожидать,         так         как      

654·1001=654·1000+654=654000+654,

 Выполнение фокуса можно при желании видоизменить, т.е. составить другие фокусы, пользуясь свойством числа Шехерезады. Вы знаете, что шестизначное число, над которым начинают проделывать вычисления, равно произведению:

(задуманное число) ·7·11·13.

Поэтому, если разделить шестизначное число сначала на 7, потом на 11, потом на задуманное число, то конечный итог всех делений - 13. Повторяя фокус, производите деление в ином порядке: сначала на 11, потом на задуманное число и на 13. Последнее деление должно дать в частном 7. Или сначала на 13, потом на задуманное число и на 7; конечный итог – 11. (Приложение 2). 

 

 Секрет фокуса «Волшебный календарь»

 

Фокусы с настенным календарем.  Вычисления вслепую.

 

 Не смотрим на календарь и стоим, повернувшись спиной к зрителям, а один из них по нашему распоряжению выбирает на настенном календаре любой месяц и обводит на нем какойнибудь квадрат, содержащий 9 чисел.  Далее просим назвать наименьшее из чисел, попавших в этот квадрат, чтобы через пару мгновений назвать сумму этих девяти чисел. 

 

                                                                                                      Секрет    фокуса:    Нужно    прибавить    к

названному числу 8 и результат умножить на 9.                                     

х	х +1	х +2
х +7	х +8	х +9
х +14	х +15	х +16

Если – х наименьшее число в указанном квадрате, то весь квадрат имеет вид

И сумма всех чисел квадрата равна 9·х +72=9·(х+8).  

Мы предлагаем вашему вниманию еще два

фокуса  с настенным календарем (Приложение 3)

 

Числовые пирамиды.

 

Фокус. Задумайте любое число, где первая цифра 1, а каждая следующая цифра больше предыдущей на 1.  Умножьте его на 9 и прибавьте к нему следующую за последней цифру.  В результате получится число, состоящее  из одних единиц.  

Разгадка. Покажем всё это на пирамиде.

Чтобы понять эту странную закономерность, возьмем для примера какоенибудь число из средних рядов нашей числовой пирамиды:  12345·9+6. Вместо умножения на 9 можно умножить на (10-1), т.е. надо приписать 0 и вычесть множимое:

12345·9+6=12345·(10-1)+6=

123450- 12345+6=123456-12345=111111.

Достаточно взглянуть на последнее вычитание, чтобы понять, почему тут получается результат, состоящий только из единиц.

                                                                                                                     А    как    в    результате    умножения

получить число, состоящее из одних двоек, троек и т.д., интересно? Вы сможете об этом узнать в приложении. (Приложение 4)

 

 

Фокусы с уравнениями.

 

 Очень занимательны и интересны математические фокусы, в основе которых лежат уравнения. Фокусы такого рода, мы распределила на две группы. В первую группу входят фокусы, где фокусник предлагает вам выполнить программу действий, затем он просит вас сообщить окончательный результат и, получив его, моментально называет задуманное число. Во вторую  - фокусы, где, не зная задуманного числа, фокусник может назвать результат действий с числами. Как он это делает? Чтобы понять это, достаточно все команды перевести на язык алгебры.

 Фокус 1 . Задумайте число, умножьте его на 7 и к произведению прибавьте 4. Сообщите результат (пусть это будет число 102). Каково задуманное число?

Разгадка: Фокусник мысленно решает простое уравнение: 7·х+4=102; от результата вычитает 4 и делит полученное число на 7. После сообщает вам, что вы задумали 14.

 ( х=(102-4):7=14). 

Как видно все очень просто: фокусник заранее знает, что надо сделать с результатом, чтобы получить задуманное число. 

Фокус 2.  Задумайте число. Затем число умножается на 3. К произведению прибавьте 9. Сумму разделите на 3 и от результата отнимите задуманное число. В результате получится 3.

Разгадка: В этом фокусе фокусник заранее знает, что задуманное  число в процессе выполнения действий   исключается (х·3+9):3-х=х+3-х=3).

Вам предлагается несколько вариантов этих фокусов. (Приложение  5)

 

8.        Жизнеспособность проекта.

 

Математический фокус – это катализатор математической мысли! Изучая фокусы, можно научиться рационально мыслить и глядеть в «корень»!  

Мы слышали о фокусах многое. Их показывают фокусники и иллюзионисты в виде концертных номеров, спектаклей, шоу.  Оказывается,   фокусами   занимаются поэты, ученые, философы и обычные люди. Наша  работа помогла нам, понять, что математика играет немаловажную роль в фокусах, а  математические фокусы имеют свою особую прелесть. В них существует определенная закономерность. В математических фокусах изящество математики соединяется с занимательностью.

В ходе нашей работы мы постарались выполнить поставленные перед собой цели и задачи. А именно, дали понятие термину «фокус», изучили историю возникновения фокусов, предоставили возможную их классификацию, начали создавать копилку математических фокусов, продемонстрировали перед учащимися начальной школы изученные фокусы. Выдвинутая  нами в начале исследования гипотеза подтвердилась. Раньше мы не понимали значимость математических фокусов,  потому что мало в них разбирались. Занимаясь исследованием, убедились, что математические фокусы интересны школьникам.

Мы считаем, что результаты нашей работы могут быть использованы как дополнительный материал на уроках математики, так как  они развивают навыки устного счета, так и на школьных вечерах, неделе математики, так как фокусы интригуют. В 6 классе мы продолжим изучение математических фокусов. 

Устраивайте маленькие представления дома, в школе и в кругу друзей, и жизнь ваша станет интереснее и ярче! Пятиминутная интеллектуальная зарядка в виде математического фокуса может сделать математику любимым предметом!

9.        Источники информации.

 

1.     Гарднер М. Математические чудеса и тайны: математические фокусы и головоломки/ пер. с англ. В.С.Бермана. – М.: Наука, 1978. 

2.     Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1984. 

3.     Ожегов С.И., Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка. – М.:Азъ, 1992.

4.     Перельман Я.И. Живая математика. Математические рассказы и головоломки.- М.: АСТ, 2007.

5.     Перельман Я.И. Научные фокусы и загадки.- М.: АСТ, 2009.

6.     Престо Ф. Удивительные фокусы для детей. / Пер. с англ.  И. Перегудовой.- М.: Эгмонт Россия Лтд., 2011.

7.     Питер Элдин. Детская энциклопедия. Фокусы. М.:Астрель, 2001. 

8.     Самойленко И. Удивительные фокусы и трюки. Секреты мастерства. Фокусы и трюки для начинающих. Настольная книга волшебника. – Ростов на Дону:

Владис: М.:РИПОЛ классик, 2008. 

9.     Интернет ресурсы:

 www.math.ru  zagadki.pp.ru    ru.wikipedia.org    

http://trick.fome.ru/ras-5-26.html http://vmeste.opredelim.com/docs/95700/index-6669.html?page=4 http://www.funtoo.ru/main/magic/103-12-matematicheskikh-fokusov.html Приложение 1.

 

Вопросы: 

1.     Знаете ли вы, что такое «фокус»? 

2.     Какие фокусы вы знаете?

3.     Какие математические фокусы вы знаете?

 

 В опросе приняли участие:

                •        Учащиеся начальной школы – 48 чел.

 

Результаты исследования таковы: 

 

Приложение 2

 

Видоизмененный фокус «Задуманное число»

Чтобы иметь возможность объявить загадчику число, которое получается у него в итоге выкладок. Вы знаете, что шестизначное число, над которым начинают проделывать вычисления, равно произведению:      (задуманное число)·7·11·13.

Поэтому, если вы попросите разделить шестизначное число сначала на 7, потом на 11, потом на задуманное число, то с уверенностью можно объявить конечный итог всех делений: 13. Повторяя фокус, вы попросите производить деление в ином порядке: сначала на 11, потом на задуманное число и на 13. Последнее деление должно дать в частном 7. Или сначала на 13, потом на задуманное число и на 7; конечный итог – 11.

Число 10101

Фокус. Задумайте какое-нибудь двузначное число,  припишите к нему тоже число, еще 2 раза.  Разделите получившееся шестизначное число на 7;   разделите полученное частное на3;   делите то, что получилось на 37; и наконец, разделите этот результат на 13. Результат последнего деления - есть задуманное число.

Разгадка. Оно, как и число1001, дает удивительный результат при умножении, но не трехзначных чисел, а двухзначных. Каждое двухзначное число, умноженное на 10101, дает в результате само себя, написанное трижды. Например:

46·10101=464646;               72·10101=727272.

Причина: 46·10101=46·(10000+100+1)=460000+4600+46=464646.

Можно ли проделывать с помощью этого числа фокусы необычайного отгадывания, как с помощью числа 1001? Да, можно. Здесь возможно даже обставить фокус разнообразнее, если иметь в виду, что 10101 есть произведение четырех простых чисел: 10101=3·7·13·37.

Фокус. Задумайте какое-нибудь двузначное число, к нему припишите   то же число, еще 2 раза. Разделите получившееся шестизначное число на 7; разделите полученное частное на 3; получившееся число разделите  на 37; и наконец, результат разделите на13. Результат последнего деления - это и есть задуманное число.

Фокус «Угадай задуманное число, не спрашивая» Фокусник предлагает учащимся следующие действия:  Первый ученик задумывает какое-нибудь двузначное число, второй – приписывает к нему справа и слева такое же число, третий – делит полученное шестизначное число на 7, четвертый – на 3, пятый – на 13, шестой – на 37 и передает свой ответ задумавшему, который видит, что к нему вернулось его число. 

Секрет фокуса: если к любому двузначному числу приписать справа и слева такое же число, то двузначное число при этом увеличится в 10101 раз. Число 10101 равно произведению чисел 3, 7, 13 и 37, поэтому после деления мы и получаем задуманное число.

Приложение 3

 

Фокус с нахождением суммы. 

 

В этом фокусе фокусник очень быстро может отгадать сумму чисел, входящих в обведенный квадрат на календаре. Для этого снова просите зрителя обвести на настенном календаре в любом месяце квадрат, содержащий 16 чисел. 

Взглянув на него ровно секунду, отворачиваетесь и через мгновение, необходимое для умножения суммы двух чисел, стоящих на противоположных концах любой диагонали,

обведенного квадрата, на восемь.

Например, из выделенного квадрата сложим 4 и 28 и умножим сумму на 8. 

(4+28)·8=256. Сложив числа, получим тот же результат.  

4+5+6+7+11+12+13+14+18+19+20+21+25+26+27+28=256.

 

Обведите на настенном календаре в любом месте любой квадрат из 16 чисел. Бегло взглянув на обведенную фигуру, продолжаете. Выберите любое число в этом квадрате, обведите его кружком и вычеркните все числа, находящиеся в этой строчке и в этом столбце, что и обведенное число.  В качестве второго числа обведите кружком любое число, оставшееся не зачеркнутым. После этого  вычеркните все числа,

стоящие в одной строчке и в одном столбике со вторым обведенным числом. Так же выберите третье число, а соответствующий столбик и строчку вычеркните. В результате этих операций останется не зачеркнутым одно единственное число. Его тоже обведите кружком и подсчитайте сумму четырех чисел, выбранных абсолютно случайным образом. Результат суммы есть число, заранее предсказанное фокусником.

 Разгадка: Чтоб найти эту сумму, нужно было сложить два числа, расположенные на двух   противоположных углах квадрата (безразлично какая пара из двух возможных берется) и удвоить найденную сумму. Сумма четырех чисел на диагонали равна, удвоенной суммы первого и последнего членов.

Например, на рисунке после вычеркивания и обведения трех чисел осталось число 7. Найдем сумму:

11+19+27+7=64. Также, если мы (4+28)·2=(7+25) ·2=64.

Приложение 4

 

Девять одинаковых цифр

Скажите, у кого какая любимая цифра (например, 7). Выполните умножение числа на 12345679 на 63 (любимая цифра, умноженная на 9). Получится произведение, записанное только любимой цифрой.

12345679·9=111111111

12345679·18=222222222

12345679·27=333333333

12345679·36=444444444

12345679·45=555555555

12345679·54=666666666

12345679·63=777777777

12345679·72=888888888

12345679·81=999999999 Откуда такая закономерность?

Примем во внимание, что  12345678·9+9=(12345678+1)·9=12345679·9. Поэтому  12345679·9=111111111. 

А отсюда прямо следует, что

12345679·9·2=222222222,

12345679·9·3=333333333, 12345679·9·4=444444444.

 

Числовая пирамида.

1·8+1=9

12·8+2=98

123·8+3=987

1234·8+4=9876

12345·8+5=98765

123456·8+6=987654

1234567·8+7=9876543

12345678·8+8=98765432

123456789·8+9=987654321

Особенно интересна в пирамиде последняя строка, где в результате умножения на 8 и прибавления 9 происходит превращение полного натурального ряда цифр в такой же ряд, но с обратным расположением. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 5

 

Фокус. Задумать число. Затем число умножается на 7. К произведению прибавьте 21. Сумму разделите на 7 и от результата отнимите задуманное число. В результате получилось число 3. 

 

Фокус. Задумать число. Прибавить к нему 8. Затем сумма умножается на 2. Из результата вычитается удвоенное задуманное число.  В результате получилось число 16. 

 

Фокус «Математическая забава М. Ю. Лермонтова» 

 

Все мы знакомы с творчеством великого русского поэта М.Ю. Лермонтова, но не каждому известно, что он был большим любителем и математики. Особенно, его привлекали математические фокусы, которых он знал великое множество, причем некоторые из них он придумывал сам.

Из статьи в анапской газете:  «… Зимой офицеры анапского гарнизона, проходя службу в захолустном местечке, собирались по вечерам у кого-либо из друзей и развлекались от скуки как могли. Однажды, находясь в такой компании, Лермонтов предложил: «Задумайте, 

какую угодно цифру, и я с помощью простых арифметических действий, которые вы будете проводить со мною, определю эту цифру». В итоге Лермонтов всегда безошибочно называл ее. Батальонный был изумлен: «Фу ты... Да вы уж не колдун ли?!» Поэт улыбнулся: «Колдун - не колдун, а математике учился», и раскрыл секрет фокуса…»

Вот один из фокусов М.Ю. Лермонтова: задумать любое число, прибавить к нему 25, прибавить еще 125, отнять 36, вычесть задуманное число, остаток умножить на 5, полученное число разделить на 2. Получится 285   

Секрет фокуса:  (а + 25 + 125 – 36 - а) · 5 : 2 = 114 · 5 : 2 = 285. 

Как видно, в процессе выполнения действий, задуманное число, а исключается, и собеседник выполняет остальные действия только над теми числами, которые дает сам отгадчик. Вместо чисел 25, 125, 36, 5 и 2 можно брать, конечно, и другие числа, но тогда и ответ будет иной.