"Измерение площадей плоских фигур"

МБОУ   «Черемушкинская средняя школа№1» Вычисление площадей плоских  Вычисление площадей плоских  фигурфигур Выполнила: Терехова Лера 6 «б» класс Руководитель:  Жукова Галина Анатольевна учитель математики

Цель исследования  1. Рассмотреть исторические сведения о возникновении понятия площади 2. Расширение знаний о приёмах и методах решения задач на вычисление  площадей плоских фигур. Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих  задач: Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную  информацию Проанализировать и систематизировать полученную информацию Найти различные методы и приёмы решения задач Создать электронную презентацию работы для представления собранного  материала одноклассникам Сделать выводы по результатам работы. Подобрать наиболее интересные, наглядные примеры. Подобрать наиболее интересные, наглядные примеры.

. Гипотеза: Если в задаче требуется  найти площадь, то это можно  сделать различными способами,  для этого необходимо иметь  геометрическое воображение и  знать достаточно простые   геометрические сведения, которые  известны всем. Объект исследования: задачи на вычисление  площадей

В древности человеку приходилось постепенно постигать не только  искусство счета, но и измерений. Когда древний человек, уже мыслящий,  попытался найти для себя пещеру, он вынужден был соразмерить длину,  ширину и высоту своего будущего жилища с собственным ростом. А ведь  это и есть измерение. Изготовляя простейшие орудия труда, строя дома,  добывая пищу, возникает необходимость измерять расстояния, а затем  площади, емкости, массу, время.

Для того, чтобы взимать налоги с земли,  необходимо было знать их площадь.  Гончару необходимо было знать, какую  форму следует придать сосуду, чтобы в  него входило то или иное количество  жидкости. Так практическая деятельность людей  привела к дальнейшему углублению  знаний о формах фигур, развитию  геометрии. Люди стали учиться  измерять и площади, и объемы, и длины  и т. д.

В обычной жизни на каждом шагу мы встречаемся с  понятием “площадь”. Что такое “площадь”, знает  каждый. Каждый понимает смысл слов: площадь  комнаты, площадь садового участка. Подумайте и  самостоятельно ответьте на вопрос? что такое  “площадь”? И вы увидите, что не так­то это просто.  Даже математики смогли создать соответствующую  математическую теорию сравнительно недавно.  Правда, это никому не мешало успешно использовать  понятие площади и в науке, и на практике с  незапамятных времен. Измерение площадей считают  одним из самых древних разделов геометрии Итак, площадь — это некая величина, характеризующая геометрическую  фигуру, расположенную на плоскости или на иной поверхности. Мы пока  будем рассматривать лишь плоские фигуры, поэтому площадь — это  положительное число, которое ставится в соответствие ограниченной  плоской фигуре. Обычно площадь обозначается буквой S.

Я выделила следующие способы  нахождения площади фигуры  : 1. Измерение при  помощи мерки. 2. Используя формулы . 3. Используя свойства площадей 4.Формула Пика.

Как измерить площадь фигуры? Сначала нужно выбрать единицу  площади, т.е. указать единичный квадрат, т.е. квадрат, сторона  которого служит единицей длины. При выбранной единице измерения площадей  площадь каждого многоугольника показывает  сколько раз единица измерения и ее части  укладываются в данном многоугольнике. Рассмотрим фигуру ниже: Вся фигура состоит из 8 квадратов со стороной 1 см  каждый. Площадь одного такого квадрата называют квадратным  сантиметром и записывают: 1 см2. Площадь всей фигуры 8 см2.

Площадь измеряется только в квадратных единицах длины. Единицей площади служит площадь единичного квадрата. Например,  если длина стороны квадрата, равна 1 м, то его площадь равна 1  квадратному метру (1 м2); если длина его стороны равна 1 см, то его  площадь равна 1 квадратному сантиметру (1 см2). Для нахождения площади какой­либо фигуры её сравнивают с  единичным квадратом. Нельзя вычислять периметр или площадь, если длина и ширина  выражены в разных единицах длины.

В математике для нахождения площади геометрических фигур  используют специальные формулы, в которых площадь  обозначается заглавной латинской буквой S. Площадь фигуры с прямыми углами Все мы узнать можем запросто сами. Для этого способ есть очень простой,  Умножить  длину со своей  высотой.

1.Для вычисления площади квадрата нужно умножить его длину  на саму себя. S = a • a Пример: SEKFM = EK • EK       SEKFM = 3 • 3 = 9 см2 2.Для вычисления площади прямоугольника  нужно умножить его  длину на ширину. S = a • b Пример: SABCD = AB • BC        SABCD = 3 • 7 = 21 см2

Площадь многоугольника — положительная величина, численное  значение которой обладает такими свойствами •1.Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна  квадратной единице  2.Равные многоугольники имеют равные площади.  •3.Если многоугольник составлен из нескольких  многоугольников, то его площадь равна сумме  площадей этих многоугольников.

Задача: найти площадь огородного участка. Так как фигура на рисунке не является  ни квадратом, ни прямоугольником,  рассчитать её площадь можно  используя правило выше. Разделим фигуру на два  прямоугольника, чьи площади мы  можем легко рассчитать по известной  формуле.   SABCG = AB • BC SABCG = 10 • 3 = 30 м2 SCDEF = FC • CD SCDEF = 7 • 5 = 35 м2 Чтобы найти площадь всей фигуры,  сложим площади найденных  прямоугольников. S = SABCG + SCDEF S = 30 + 35 = 65 м2                                         Ответ: S = 65 м2 ­ площадь  огородного участка.

Диагональ прямоугольника делит прямоугольник на два равных треугольника. Площадь любого из этих треугольников равна половине площади  прямоугольника. Рассмотрим прямоугольник: АС ­ диагональ прямоугольника ABCD.  Найдём площадь треугольников   ABC и   ACD. Вначале найдём площадь  прямоугольника по формуле. SABCD = AB • BC SABCD = 5 • 4 = 20 см2 S  ABC = SABCD : 2  S  ABC = 20 : 2 = 10 см2 S  ABC = S  ACD = 10 см2.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге  с размером клетки 1  см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.  Не существует формулы для вычисления площади  произвольного четырехугольника.. Поэтому используем  прием, который мы уже применяли при вычислении  площади произвольного треугольника. Данный четырехугольник заключен в квадрат со  стороной 5 см. Его площадь можно найти как разность  площади квадрата и суммарной площади четырех  прямоугольных треугольников, которые остаются, если  из квадрата вырезать данный четырехугольник. Можно применить и другой способ: разбить  четырехугольник на четыре  треугольника .Затем  вычислить площади этих треугольников и сложить.

аа   10 августа 1859 — 13 июля 1942) —  Георг Алекс ндр Пик австрийский математик Георга, который был одарённым  ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16  лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В  20 лет получил право преподавать физику и математику.  Шестнадцатого апреля 1880 года  Пик защитил докторскую  диссертацию «О классе абелевых интегралов»  В Немецком  университете в Праге в 1888 году Пик получил место  экстраординарного профессора математики, затем в 1892­м стал  ординарным профессором. В 1900—1901 годах занимал пост  декана философского факультета. В 1910 году Георг Пик был в комитете, созданном Немецким  университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии  Альберта Эйнштейна профессором в университет. Пик и  физик Антон Лампа были главными инициаторами этого  назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик  впоследствии сдружился, в 1911 году возглавил кафедру  теоретической физики в Немецком университете в Праге. Пик и Эйнштейн не только имели общие научные интересы, но и  страстно увлекались музыкой. Пик, игравший в квартете,  который состоял из университетских профессоров, ввёл  Эйнштейна в научное и музыкальное общества Праги. Широкую  известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для  расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема  включена в школьные учебники.

Формула Пика. вычисления геометриче клетчатый ской лист , площади на её формулой : Для фигуры и S  a поместим мся воспользуе b  ,1 где 1 2 a b   количество количество внутренних узлов на ; узлов границе .                Узел – пересечение двух прямых. Узел – пересечение двух прямых.  – внутренние узлы. внутренние узлы.  –   – узлы на границе. узлы на границе.  –

Задание из ЕГЭ • Решение. Воспользуемся формулой Пика: • В = 12, Г = 17 S = 12 + 17/2 – 1 = 19,5 (см²) • Ответ: 19,5 На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Я решила изобразить несколько фигур, произвести необходимые  измерения и найти их площади с помощью разных способов.

Задача 1. По формуле геометрии Sпр=7*6=42 Sтр=1/2*6*6=18 Sтр=1/2*2*2=2 Sтр=1/2*4*1=2 S=42­(18+2+2)=20 По формуле Пика Г=14  В=14 S=14+14/2 – 1=20

Задача 2. По формуле геометрии S 1 5,371 1 2 1 2 S 1 5 12 S 241 3 S 7 2 72 1 2 S 4 5,251 1 2 Sкв.= a²=7²=49 S = 49­(3,5+7+2+2,5+1) =33 см² По формуле Пика  Г=4; В=32 S  32 1 33 2 см 4 2

2 1 2 1 2 1 3 2  9 S S S  66 18  936 Задача 3. По формуле геометрии S 1  936 18  9 36 см² По формуле Пика Г=18;В=28. S=28+18/2 ­1=36см²

S1 Задача 4. S2 S3 S4 S5 S6 1 способ.  Спомощью свойств  и формул. Разобьем наш кораблик на  треугольники и прямоугольники.  Сложим площади данных  фигур. S1=2*1=2(cм²) S2=(4*4):2=8(см²) S3=(4*6):2=12(см²) S4=(2*2):2=2(см²) S5=(5*2)=10(см²) S6=(3*2):2=3(см²) S=2+8+12+2+10+3=37(см²)

S2 S1 S4 S3 S7 S8 S5 S6 2 способ. С помощью  свойств и формул. Достроим фигуру до прямоугольника со  сторонами 10 и 8.  Оставшуюся часть разобьем на  треугольники и прямоугольники.  Найдем площадь прямоугольника и  отнимем от нее площади данных  фигур. S1=(5*4):2=10(см²) S2=(4*1)=4(см²) S3=(5*6):2=15(см²) S4=(4*1)=4(см²) S5=(2*2):2=2(см²) S6=(3*2):2=3(см²) S7=(4*1):2=2(см²) S8=(6*1):2=3(см²) Sпр=(10*8)=80(см²) S=S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S8=10+4+15+4+2+3+2+3=43 (см²) Sкорабля=80­43=37(см²) 3.По формуле Пика. Флаг: Г=6, В=0     0+6:2­1=2(см²)     Паруса: Г=6, В=4   6+6:2­1=8(см²) Г=6,  В=10  10+6:2­1=12(см²) Лодка:  Г=18, В=7   7+18:2­1=15(см²)    S=2+8+12+15=37(см²)           Ответ: 3 7см²

Задача 5. 1 способ. Свойства и формулы. Разобьем фигуру на 4 равных треугольника  и квадрат. Найдем сумму полученных фигур.  S   =(3*2):2=3(см²)                                 4*S  =4*3=12(см²),  S   =2*2=4(см²) S=12+4=16(cм²) 2 способ. Свойства и формулы. Достроим фигуру до квадрата со стороной  8и 8. Отнимем от площади квадрата  площади четырех равных квадратиков и  восьми равных треугольников. 3.Формула Пика.  .  Г=8, В=13,  S=13+8:2­1=16(см²) Ответ:  16 см².

Заключение  В процессе исследования изучила справочную, научно-популярную литературу. Познакомилась с новой формулой (Пика)  В результате нашей работы я расширила свои знания о решении задач, убедились в многообразии различных способов решения задач на нахождение площади.  Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке и пришла к выводу, что тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, методы и приёмы их решения задач разнообразны.

Вывод : в результате проделанной гипотеза подтвердилась: «если работы: требуется найти площадь фигуры, то ее можно найти разными способами, причем результаты будут одинаковыми.» Практическая значимость: результаты можно  использовать на уроках геометрии, для  подготовке к ГИА и ЕГЭ, в архитектуре и  строительстве. При измерении земельных  участков, ремонте помещения и т.д..

1.Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25. 2.Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – 2011 3.В.В.Вавилов, А.В.Устинов .Многоугольники на решетках.М.МЦНМО,2006. 4.Математические этюды. etudes.ru 5.Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.Геометрия .7-9 классы.М. Просвещение ,2010 6. http://math-prosto.ru/?page=pages/area/area.php 7.http://www.stihi.ru/2012/12/05/7966