Изучение курса Алгебра и начала анализа в 11 классе на профильном уровне. Методическая разработка.

Рабочая программа учебного предмета: Алгебра и начала анализа.

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 

Рабочая программа учебного предмета «Алгебра и начала анализа 10-11» (далее Рабочая программа) ориентирована на учащихся 11  классов  и составлена на основании:

·         Примерной программы среднего общего образования на профильном уровне по математике;

·         - Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра и начала математического анализа, М., Просвещение, 2010, (сост. Т.А.Бурмистрова).

·         Учебного плана ГБОУ;

·         Годового календарного учебного графика;

·         Положения о рабочей программе педагога ГБОУ

 

Данная рабочая программа конкретизирует содержание стандарта, даёт распределение учебных часов по разделам курса, последовательность изучения тем и разделов с логики учебного процесса, возрастных особенностей обучающихся.

В лицее обучение математики на старшей ступени ведется на профильном уровне.

Изучение математики на профильном уровне среднего (полного) общего образования направлено на достижение следующих целей:

·                формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;

·                овладение языком математики в устной и письменной форме, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных дисциплин, продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне;

·                развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, математического мышления и интуиции, творческих способностей, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;

·                воспитание средствами математики культуры личности через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей; понимания значимости математики для научно-технического прогресса.

 

В ходе изучения математики в профильном курсе старшей школы учащиеся продолжают овладение разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:

·         проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, использования различных языков математики для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;

·         решения широкого класса задач из различных разделов курса, поисковой и творческой деятельности при решении задач повышенной сложности и нетиповых задач;

·         планирования и осуществления алгоритмической деятельности: выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; использования и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и результатов эксперимента; выполнения расчетов практического характера;

 

·         построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач , задач из смежных дисциплин и реальной жизни; проверки и оценки результатов своей работы, соотнесения их с поставленной задачей, с личным жизненным опытом;

 

·         самостоятельной работы с источниками информации, анализа, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт.

 

            По учебному плану на изучение предмета Алгебра и начала анализа в 11 классе  отводится 5 ч в неделю, – всего 170 часов в год..

            Для организации обучения по курсу Алгебра и начала анализа  на профильном уровне предлагается  следующий учебный комплекс:

УМК:

1.              Колягин Ю.М., и др. Алгебра и начала анализа.(профильный уровень) Учебник для 11 классов общеобразовательных учреждений. М., «Просвещение», 2010.

2.              Шабунин М.И. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 11 класс. (профильный уровень) М: Просвещение 2010

Методическое обеспечение:

1.              Бурмистрова Т.А. Алгебра и начала математического анализа.  10 - 11 классы. Программы общеобразовательных учреждений. М., «Просвещение», 2011.

2.              Н.Е.Федорова, М.В.Ткачева Алгебра и начала математического анализа. Методические рекомендации.11 класс. М., «Просвещение», 2017

3.              Н.Е.Федорова, М.В.Ткачева Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы.11 класс. М., «Просвещение», 2017

4.              Б. Г. Зив.  Дидактические материалы. Алгебра и начала анализа. 11 класс

5.              Ивлев Б.И., Саакян С.И., Шварцбург С.И., Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса, М., 2012;

6.              Ершова А. П.  Самостоятельные и контрольные работы. Алгебра 10-11 класс./М. «Илекса»

 

Выбор УМК обусловлен следующим:

·      учебник  соответствует федеральным компонентам Государственного стандарта общего образования по математике.

·      В учебнике завершается развитие основных идей, заложенных авторами в курсе алгебры для 7—9 классов, осуществляется преемственность обучения

·      Начала анализа математического рассматриваются в 11 классе на доступном учащимся уровне.

·      Завершение изучения всех элементарных функций и связанных с ними уравнений и неравенств в 10 классе позволяет при повторении в 11 классе выработать у учащихся твердые навыки в решении основных задач курса алгебры и начал математического анализа.

·      Теоретический материал подкрепляется примерами и задачами, решение которых рассматривается в тексте параграфа, что позволяет учащимся самостоятельно усваивать методы решения задач.

·      Система упражнений в учебнике представлена задачами трех уровней сложности как к каждому параграфу, так и к каждой главе и ко всему курсу алгебры и начал математического анализа. Задачи повышенной трудности в конце учебника содержат богатый материал для подготовки в вузы с повышенными требованиями по математике.

·       В соответствии со стандартом математического образования начиная с 2010 г. в учебник включены главы "Комбинаторика", "Элементы теории вероятностей" и "Статистика".

 

Содержание программы соответствует требованиям Федерального компонента государственного стандарта основного общего образования, утвержденного приказом Минобразования РФ от 05.03.2004 № 1089, составлено в соответствии с примерной программой среднего общего образования на профильном уровне по математике и авторской программе курса. Программа позволяет достичь обязательного уровня результатов обучения, подготовить учащихся к успешной сдаче итоговой аттестации и продолжение обучения на следующих ступенях.

Распределение учебных часов по темам соответствует принятой авторской программе и методическим рекомендациям изучения курса  кафедры физико-математического образования  АППО СПб. В соответствии с требованиями стандарта изучения курса на профильном уровне включены темы:  10 ч –Комплексные числа, 10ч – Системы уравнений и неравенств. Систематическое повторение курса Алгебра и начала анализа осуществляется при прохождении всех разделов учебной программы.

 

Программа изучения курса:

 

№	Темы разделов	Кол.часов
		авторская	раб.прог.	К.р.
1	Повторение	10	10
2	Тригонометрические функции	10	10	1
3	Производная и её геометрический смысл	31	31	1
4	Применение производной к исследованию функций	20	20	1
5	Первообразная и интеграл	13	13	1
6	Комбинаторика	6	6
7	Элементы теория вероятностей.	12	12	1
8	Статистика	3	3
9	Комплексные числа	10	10
10	Уравнения и неравенства с двумя переменными	10	10
11	Итоговое повторение	45	45
	Всего	170	170	5

 

Уроки заключительного повторения в конце курса планируется посвятить урокам обобщения и систематизации знаний, проведению ДКР, необходимой коррекции знаний, проведению тренировочных тестов по типовым КИМ с целью качественной подготовки учащихся к итоговой аттестации.  С этой же целью систематически проводятся ДКР в рамках проекта МИОО.

 

 

 

Содержание тем учебного курса:

Программа позволяет достичь обязательного уровня результатов обучения, подготовить учащихся к успешной сдаче итоговой аттестации и продолжение обучения на следующих ступенях.

 

ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

 

Делимость целых чисел. Деление с остатком. Сравнения. Решение задач с целочисленными неизвестными.

Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа.

 

Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.

 

Многочлены от одной переменной. Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Решение целых алгебраических уравнений. Схема Горнера. Теорема Безу. Число корней многочлена. Многочлены от двух переменных. Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона. Многочлены от нескольких переменных,симметрическиемногочлены.

 

Корень степени n>1 и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем.

Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы, число е.

Преобразования выражений, включающих арифметические операции, а также операции возведения в степень и логарифмирования.

 

ТРИГОНОМЕТРИЯ

 

Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества . Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функцийчерез тангенс половинного аргумента. Преобразования тригонометрических выражений.

 

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.

Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

 

ФУНКЦИИ

 

Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность , периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Выпуклость функции. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

 

Сложная функция (композиция функций). Взаимно обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Нахождение функции, обратной данной.

Степенная функция с натуральным показателем, её свойства и график. Вертикальныеи горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробно-линейных функций.

 

Тригонометрические функции, их свойства и графики, периодичность, основной период. Обратные тригонометрические функции,их свойства и графики.

 

Показательная функция (экспонента), её свойства и график. Логарифмическая функция, её свойства и график.

 

Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x , растяжение и сжатие вдоль осей координат.

 

 

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

 

Решение рациональных, показательных, логарифмических уравнений и неравенств. Решение иррациональных и тригонометрических уравнений и неравенств.Основные приемы решения систем уравнений : подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Равносильность уравнений, неравенств, систем. Решение систем уравнений с двумя неизвестными простейших типов. Решение систем неравенств с одной переменной.Доказательства неравенств. Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух чисел.

Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.

 

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

 

Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Длина окружности и площадь круга как пределы последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

Теоремы о пределах последовательностей. Переход к пределам в неравенствах.

Понятие о непрерывности функции. Основные теоремы о непрерывных функциях.

 

Понятие о пределе функции в точке. Поведение функций на бесконечности. Асимптоты.

 

Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения и частного. Производные основных элементарных функций. Производные сложной иобратной функций. Вторая производная.Применение производной к исследованию функцийи построению графиков. Использование производных при решении уравнений и неравенств, при решении текстовых, физических и геометрических задач, нахождении наибольших и наименьших значений.

 

Площадь криволинейной трапеции. Понятие об определенном интеграле. Первообразная. Первообразные элементарных функций. Правила вычисления первообразных. Формула Ньютона-Лейбница.

Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или

графиком. Примеры применения интеграла в физике и геометрии. Вторая производная и ее физический смысл.

 

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядовданных. Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Решение комбинаторных задач. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля. Элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события. Понятие о независимостисобытий. Вероятность и статистическая частота наступления события.

Логика и множества

Теоретико-множественные понятия. Множество, эле­мент множества. Задание множеств перечислением элементов, характеристическим свойством. Стандартные обозначения числовых множеств. Пустое множество и его обозначение. Подмножество. Объединение и пересечение множеств. Иллюстрация отношений между множествами с помощью диаграмм Эйлера — Венна.

Математика в историческом развитии

История формирования понятия действительного числа. Зарождение современной алгебры. Истоки интегрального исчисления. Зарождение теории вероятностей. ( Содержание раздела вводится по мере изучения других вопросов.)

.

Результаты обучения соответствуют  Требованиям к уровню подготовки и задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все выпускники, изучавшие курс математики по профильному уровню, и достижение которых является обязательным условием положительной аттестации ученика за курс средней (полной) школы.

В результате изучения математики на профильном уровне в старших классах ученик должен

знать/понимать

·                значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

·                значение практики и вопросов, возникающих в самой математике, для формирования и развития математической науки;

·                идеи расширения числовых множеств как способа построения нового математического аппарата для решения практических задач и внутренних задач математики;

 

·                значение идей, методов и результатов алгебры и математического анализа для построения моделей реальных процессов и ситуаций;

·                универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности;

·                различие требований, предъявляемых к доказательствам в математике, естественных, социально-экономических и гуманитарных науках, на практике;

·                вероятностных характер различных процессов и закономерностей окружающего мира.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для

·                исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;

 

Уметь:

Числовые и буквенные выражения

·                выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени,   степени с рациональным показателем,   логарифма,   используя принеобходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;

·                применять понятия, связанные с делимостью целых чисел, при решении математических задач;

·                находить корни многочленов с одной переменной, раскладывать многочлены на множители;

·                выполнять действия с комплексными числами, пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел, в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами;

·                проводить преобразования числовых и буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для

•       практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, при необходимости используя справочные материалы и простейшие вычислительные устройства.

 

Функции и графики

 

Уметь

• строить графики изученных функций, выполнять преобразования графиков; описывать по графику и по формуле поведение и свойства функций;
• решать уравнения, системы уравнений, неравенства, используя свойства функций и их графические представления;
• Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для описания и исследования с помощью функций реальных задач
• определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;
• зависимостей, представления их графически; интерпретации графиков реальных процессов.

 

Уравнения и неравенства

Уметь

 

·                решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;

·                доказывать несложные неравенства;

·                решать текстовые задачи с помощью составления уравнений, и неравенств, интерпретируя результат с учетом ограничений условия задачи;

·                изображать на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

·                находить приближенные решения уравнений и их систем, используя графический метод;

·                решать уравнения, неравенства и системы с применением графических представлений, свойств функций, производной;

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для

• построения и исследования простейших математических моделей.