Изучение квадратичной функции в средней школе

Квадратичная функция в средней школе. Выступление на Городском методическом объединении Якимович Н.М. МБОУ «СОШ №78» План: Различные подходы к понятию функции. Виды функций изучаемых в школе. Введение понятия функция. Особенности изучения квадратичных функций. 1. Функцию можно определить самыми разными способами: a. Отношение   между   элементами   двух   множеств,   при   котором каждому элементу первого множества соответствует, не более одного элемента второго множества называется функцией. b. Функцией   называется   зависимость,   при   которой   каждому независимой   переменной   ставится   в   соответствии   значение зависимой переменной. c. Функцией называется закон, по которому значению аргумента ставится в соответствии значение функции. d. Функцией называется формула, по которой можно вычислить значение переменной. e. Функцией   называется   множество   пар   со   следующими, свойствами:  упорядоченность;  первые элементы пар из области определения функции;  вторые элементы из области значения функции. Функцией   называется   это   график   особого   вида,   т.е.   подмножество декартового произведения. В школьном курсе понятие функции определяется,    как зависимость одной переменной от другой.   Это определение вводится более коротким путем. Сокращение   учебного   материала,   имеющего   исключительно теоретическое   значение,   позволяет   больше   внимания   уделять   изучению конкретных функций. Cлишком раннее введение функции влечет за собой снижение уровня строгости в обосновании свойств функции. Определенное влияние   на   методику   изучения   функций,   оказывает   тенденция   к   более раннему завершению ознакомления учащихся к действительным числам. Компактность,   целостность   этой   системы   во   многом   определяются тем, насколько рано учащиеся знакомятся с такими общефункциональными понятиями,  как   убывающая,      возрастающая,  четная,  нечетная,  функции общего вида, промежутки знакопостоянства, нули функции, наибольшие, наименьшие   значения.   Очевидно,   что   позднее   введение   этих   понятий обесценивает   раннее   введение   общего   понятия   функции,   изучение конкретных   функций   делается   при   этом   менее   систематическим   и определенным. 2. В школьной программе вводятся следующие виды функций:  линейная;  квадратичная;  алгебраическая   (в   среднем   звене),   трансцидентная     (в   старших классах). 3.   Программа   одиннадцатилетней   школы   сохраняет   раннее   введение понятия функция – в первой теме 7 класса. Многие общефункциональные понятия вводятся в теме “Числовые функции” в 9 классе. На их основе y  , x дается   обзор   свойств   раннее   изученных   функций: y * bx  *  x k y k    и т. д. ,   Схема введения понятия функции. 1. Строится график функции. 2. Найти области определения и значения функции. 3. Определить   вид   функции   (возрастающая, постоянная). 4. Установить четность функции. 5. Найти характерные значения функции.   убывающая,   4. Функция не является постоянно возрастающей, убывающей, а имеет интервалы   монотонности   до   вершины   и   после.   Поэтому   удобно   сначала найти вершину и разбить область определения на интервалы. В общем алгоритме изучения квадратичной   функции   требуется от учащихся комплексных знаний и умений: 1. Решение  квадратного   уравнения. 2. Построение графика на координатной плоскости и чтение графика. 3. Суперпозиция функций. Изучение данной функции в школьном курсе проходит несколько раз. y  , в 8 – 9 классах y  ,  2ax 2x Как правило, в 7 классе изучение функции  y  2 ax Во–первых,   при   изучении   функции   bx   c . y    нет   серьезного математического аппарата, который убеждал бы детей, что получившиеся точки можно соединить плавной кривой. Отсюда у детей возникает страх при изучении графика этой функции (существует 2 выхода). 2x 1. до   аналитического   изучения   графика   этой   функции   учащиеся работают   специально   с   образом,   т.е.   с   геометрическим представлением параболы. 2. при   построении   параболы   объясниться   с   учащимися   и предъявить параболу после некоторой предварительной работы. Пример: построим таблицу значений  y  2x x ­3 ­2 ­1 0 y 0 9 4 1 1 1 2 4 3 9                                                                            Чем   мы   больше   возьмем   промежуточных   точек,   тем   точнее   будет график. Функция  y  2ax Если мы посмотрим на струи фонтана, понаблюдаем за траекторией движения   волейбольного   мяча,   за   полетом   дельфина,   то   функция   его движения в зависимости от времени будет равна   , т.е. для описания всех этих  процессов нужна функция  y  . 2ax 2gt Методическая проблема – график функции. Из определения трудно увидеть, что будет графиком функции  y Прежде всего, изучим функцию  y  . 2ax (2   ax )1 yD )( 1. 2. если  x  =   0,  y  =   0   =>   график   функции   проходит   через   начало  ­ одночлен R координат 3. функция четная, т.к. х и –х принадлежит  D(y) и  f(­x) =  f(x) => график симметричен относительно оси  yO 4. для   любых   х  y>0,   т.е.   график   расположен   выше   оси   абсцисс, 5. строим строем таблицу значений и график   y   возрастает на промежутке [0;+∞), убывает на промежутке  2x (­∞;0]. Методика изучения такова: учащихся просят построить в одной и той ,   затем   дописываются   свойства же   системе   координат   y    и   y  2x x 2 1 2 y  2 x . Учащихся просят построить  y  2x  и  y  1 2 свойства. После этого желательно обосновать свойства функции   для a>0 и a<0. 1 2 2 x , и записывают их 2ax y  Функция  y  2 ax  m Постройте в одной системе координат  y   и  22x y  x 2 2  2 . 1. можно   построить   y  ,   выбрать   точку   и   каждую   из   них 22x перенести на 2 единицы вверх 2. можно заготовить шаблоны 3. выполним лабораторную работу  постройте в системе координат   возьмите прозрачную пленку  перенесите на нее вместе с системой координат параболу y   и  2 2   x 22x 2 y y  22x  выполните параллельный перенос пленки по листу бумаги . на 2 единицы вверх вдоль оси   yO  совпадает с  2 2   x 2 y Можно переносить не параболу, а систему координат, отсюда вытекает алгоритм построения графика функции  y  22 x  m . 1. постройте начало новой системы координат y  . 2. в  построенной системе координат строим график  2ax   mxa y Аналогично   изучаются   графики   функций mxa ( Выполните построения: 2)   n   . ( y  2)   и 22x y  1. изобразите параболу  2. перенесите ее на 2 единицы вправо параллельно оси ординат 3. полученную параболу перенесите параллельно оси абсцисс на 4 единицы   вверх.   Какую   параболу   получили,   записать   ее уравнение:   x 2  )2 (2 4 y . Могли   ли   вы   получить   эту   же   параболу   одним   параллельным переносом? Где будет находиться ее вершина? (в точке (2;4))  Функция  y  2 ax  bx  c Для того, чтобы построить график квадратичной функции, достаточно   а   это совершить   параллельный   перенос   системы   координат, непосредственно   связанно   с   нахождением   вершины   параболы,   поэтому учащиеся должны овладеть способами нахождения вершины параболы: 1. связан   с   операцией   выделения   квадрата   двучлена   от   функции xO ( ,  y  bx , 0 y 0 )  c  2 ax ( 0 xy 2. связан с тем, что если  D>0, то можем найти   y  0 пересечения с осью  xO . Тогда  ,    y  0  x 2 x 1 ,  x 0 ,  ) x 0 b a 2  2 1x   и   2x   ­ точка ( 0 xy ) Если первый факт получен выделением квадрата двучлена, то второй факт учащиеся должны увидеть, а значит, нужна соответствующая система упражнений. 1. Найдите координаты вершины и точки пересечения с осью   xO параболы:  y  x 2 6 x  1 ,  y   2 x  1 . 1 2 x 2 2. верно   ли,   что   на   числовой   оси   абсцисс   вершины   параболы является серединой отрезка [ 1x , 2x ].  Изучение свойств квадратичной функции Одним из важных моментов изучения свойств квадратичной функции в средней   школе   является   установление   связи   между   аналитическим   и графическом   способами   установления   этих   свойств.   Поэтому   полезны задания   на   перевод   свойств   функции   с   алгебраического   языка   на геометрический. Пример:  Пример: постройте график квадратичной функции, если известно, что: x  функция не имеет нулей и ее график получен из графика  y  2 1 5 некоторым перемещением  функция имеет нулями числа ­2 и 6, а ее график проходит через точку с координатами (0,6)  функция   принимает   отрицательные   значения   только   на промежутке [2,6].