Изучение темы "Треугольники" в курсе геометрии 7-9 классов средней школы

Треугольник является важнейшей фигурой планиметрии, и потому в первую очередь изучают свойства этой фигуры. С ним связаны многие методы, используемые при решении различных геометрических задач. Любой многоугольник может быть разделён на треугольники, а изучение свойств этого многоугольника, сводится к изучению составляющих его треугольников. В каком-то смысле изучаемая в школьном курсе геометрия - это геометрия треугольника. Поэтому очень важно представлять себе методику изложения этой темы в различных учебных пособиях для правильного построения курса и избежания методических ошибок. Данная работа проведена с целью, проследить методику изложения темы "Треугольники" в курсе геометрии 7-9 класса средней школы, а также подготовить конспекты итоговых уроков по данной теме. Анализ проводится по 4 основным учебникам, наиболее часто встречаемым в школьной практике. Это учебники А.В. Погорелова Геометрия 7-11 (8 издание), Л.С. Атанасяна, Б.Ф. Бутузова и др. Геометрия 7-9, А.П. Киселёва Геометрия 7-9, И.Ф. Шарыгина Геометрия 7-9. Цель: Проанализировать подходы и особенности изложения данной темы. Проследить соответствие материала учебников содержанию обучения, принятого министерством образования Р.Ф. Выявить достоинства и недостатки изложения этой темы. Разработать 4 конспекта уроков итогового повторения. § 1 Анализ школьных учебников по теме: "Треугольники" в 7-9 классе п. 1 Содержание и порядок изложения материала Л.С. Атанасян и др. А.В. Погорелов Геометрия 7­9 Геометрия 7­11 А.П. Киселёв Геометрия 7­9 И.Ф. Шарыгин Геометрия 7­9 Начальные геометрические сведения Основные свойства  простейших геометрических фигур Прямая линия Углы Математические  Первые понятия  геометрии Основные свойства Треугольники Смежные и вертикальные предложения плоскости Треугольник и  окружность.  Начальные сведения Виды геометри­ческих  задач и методы их  решения Параллельные прямые  и углы Подобие Метрические  соотношения в  треугольнике и  окружности Задачи и теоремы  геометрии Параллельные прямые углы Соотношения между  сторонами и углами Признаки равенства  треугольников Четырёхугольники Сумма углов треугольника Площадь Геометрические построения Подобные треугольники Четырёхугольники Треугольники Основные задачи на построение Параллельные прямые Параллелограммы и трапеции Окружность Окружность Векторы Теорема Пифагора Декартовы координаты на  плоскости Подобные фигуры Движение Векторы Подобие фигур Решение треугольников Многоугольники Площади фигур Понятие об измерении  величин Подобие треугольников Подобие многоугольников Подобие фигур  произвольного вида Некоторые теоремы о  пропорциональных отрезков Метрические соотношения  между элементами  треугольника Пропорциональные линии в  круге тригонометрические функции острого угла Содержание рассмотренных выше учебников соответствует содержанию образования и даже по некоторым вопросам превосходит её. п. 2 Сравнительный анализ учебников по данной теме п. п. 1 Определение треугольника Существуют два подхода к определению треугольника: 1 подход. Понятие треугольника вводится конструктивно: как фигура, состоящая из трёх точек и трёх отрезков соединяющих эти точки. Такой подход реализован в учебнике Атанасяна и в учебнике Погорелова. При этом ничего не говорится о плоскости треугольника. Это делается с целью отступления от теоретико-множественной концепции и от определения равных геометрических фигур с помощью отображений, сохраняющих расстояния (перемещений и движений). Но и здесь есть существенные различия. В книге Погорелова даётся следующее определение треугольника: "Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки". Смысл выражения "отрезок соединяет точки" нигде не объяснён. Хотя об этом и легко догадаться; но смысл слова "попарно" совсем не очевиден для семиклассника. Кроме того, определение существенно зависит от обозначений, чего явно в формулировке не указано. В целом, формулировка воспринимается как тяжеловесная и трудная для понимания. У Атанасяна определение чисто конструктивное, оно наглядно и легче воспринимается школьниками. 2 подход. Понятие треугольника даётся как частный случай многоугольника, но в этом понятии говорится не только о фигуре образованной замкнутой линией, но и о части плоскости ограниченной этой замкнутой линией. Этот подход реализован в учебниках Киселёва и Шарыгина. Здесь определение треугольника отдельно не рассматривается. Впоследствии Атанасян и Погорелов всё же обращаются ко второму подходу в теме "Многоугольники" т.к это понятие им потребуется для определения понятия площади. Определение равенства треугольников во всех четырёх учебниках даётся через совмещение равных фигур путём наложения. Но в учебниках со вторым подходом подразумевается, что и плоскости треугольников также совмещаются наложением. п. п. 2 Равнобедренный треугольник Определение равнобедренного и равностороннего треугольника одинаковое во всех учебниках. Такое определение является общепринятым в математике. В учебниках Киселёва и Шарыгина свойства равнобедренного треугольника рассматриваются в одной теореме. Доказательства проводятся аналогично, с использованием осевой симметрии относительно биссектрисы треугольника и определения равных треугольников. В силу того, что ни Атанасян, ни Погорелов не используют движения плоскости в 7 классе, основой для доказательства свойств равнобедренных треугольников являются признаки равенства треугольников. Атанасян в доказательстве свойств равнобедренного треугольника пользуется первым признаком равенства треугольников. В книге Погорелова свойства равнобедренного треугольника доказываются с использованием определения треугольника как упорядоченной тройки точек, но ни где не поясняется, что ΔCAB и ΔCBA это разные треугольники, а не один и тот же по-разному обозначенный. Такое доказательство учениками 7 класса понимается довольно трудно. Автор, уклонившись от явной формулировки определения треугольника как ориентированного пути, ставит ученика лицом к лицу с рассуждениями, которые может понять только тот, кто совершенно чётко представляет себе треугольник как ориентированный путь (это хоть и не явное, но обращение к теоретико-множественному подходу, который так тщательно избегается). Поэтому такие доказательства воспринимаются учениками как цирковой фокус. Признаки равнобедренного треугольника в учебнике Атанасяна не рассматриваются, хотя эти теоремы очень полезные. В учебнике Погорелова приводится один признак (через равенство углов при основании). Полностью все признаки рассмотрены только у Шарыгина.