Комбинаторика ГИА 9 класс

математика

Комбинаторные мотивы можно уже заметить в символике китайской «Книги Перемен» (V век до н. э.). По мнению её авторов, всё в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а также восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо.

Магический
квадрат на
гравюре
Дюрера
«Меланхолия»

Блез Паскаль много занимался биномиальными коэффициентами и открыл простой способ их вычисления: «треугольник Паскаля». Хотя этот способ был уже известен на Востоке (примерно с X века), Паскаль, в отличие от предшественников, строго изложил и доказал свойства этого треугольника. Наряду с Лейбницем, он считается основоположником современной комбинаторики.

1. 2) Выписаны в порядке возрастания все трехзначные числа, в записи которых используются только цифры 1, 3, 5, 7. Какое число следует за числом 537?
Решение.
1. 2) Самый младший разряд числа 537 (т, е. разряд единиц) увеличить нельзя — там стоит цифра 7. Разряд десятков увеличить можно — нужно цифру 3 заменить на следующую за ней цифру 5. После этого в разряд единиц нужно поставнть минимальную цифру — 1. Ответ. 551.

Решение.
2. 2) Выпишем все возможные пары шаров: бб, бк, бз, кз. Из четырех возможных вариантов условию задачи удовлетворяют 3.
Ответ. 3.

Решение.
3. 2) Применим правило умножения: девочку можно выбрать 10 способами, мальчика — 13 способами, пару мамльчик—девочка — 13 • 10 = 130 способами.
Ответ. 130.

Решение.
4. 2) На первое место можно поставить любую из 7 команд, на второе — любую из 6 оставшихся, на третье — любую из 5 оставшихся. По правилу умножения общее число способов, которыми можно распределить три места, равно 7• 6 •5 =210.
Ответ. 210.

Решение.
5. 2) Урок математики можно поставить на любой из четырех уроков, урок чтения — на любой из трех оставшихся. После этого для двух уроков физкультуры останется единственный вариант поставить их в расписание. По правилу умножения общее число способов составить расписание на среду paвно 4 • 3 = 12.
Ответ. 12.

Решение.
1. 2) Каждое рукопожатие — это пара (неупорядоченная), которую можно составить из 10 человек. На первое место в паре можно поставить любого из 10 человек, на второе — любого из 9 оставшихся. Всего таких пар по правилу умножения будет 10 • 9= 90. Но при этом будет учитываться порядок людей в паpe (например, Иванов—Петров и Петров—Иванов будут считаться разными парами). Поскольку в рукопожатиях порядок людей учитывать не надо, то полученный результат нужно поделить на 2: получим 90/2= 45.
Ответ. 45.

Решение.
2. 1) Урок биологии сразу поставим на первое место и ужe не будем учитывать.
Два соседних места для уроков алгебры и геометрии можно выбрать тремя способами. Поставить их на эти выбранные места можно двумя способами. После этого урок физики можно поставить на любое из двух оставшихся мест, а урок географии — на единственное оставшееся. По правилу умноже­ния получаем 3 • 2 • 2 • 1 = 12.
Ответ. 12.

Решение.
2) Четных цифр пять: 0, 2, 4, 6, 8. Очевидно, однозначных чисел можно составить 5. Количество двузначных, трехзначных и четырехзначных чисел можно найти по правилу умножения двузначных — 4 • 5 = 20; трехзначных — 4• 5 •5= 100, четырехзначных — 4 • 5 • 5 • 5 = 500; (на первое место можно ставить любую из цифр, кроме 0, значит, всего 4 варианта). Всего можно составить 5 + 20 + 100 + 500 = 625 (чисел).
Ответ. 625.

Решение.
4. 2) Пусть в первой команде было m игроков, а во второй - n игроков. Тогда всего было совершено по правилу умножения m • n рукопожатий. Получаем уравнение с двумя неизвестными, которое нужно решить в целых числах: m • n = 221. Поскольку m и n не могут равняться 1 (в команде не может быть один игрок), то уравнение имеет всего два решения (других способов разложить 221 на два множителя нет): m = 17, n = 13 или m = 13, n= 17. В любом случае их сумма равна 30.
Ответ. 30.