Министерство образования и науки Челябинской области

государственное бюджетное профессиональное образовательное         учреждение

«Каслинский промышленно - гуманитарный техникум»

Верхнеуфалейский филиал

 

 

 

 

 КОМПЛЕКТ КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ

 

 

по учебной дисциплине

   ОУДП.01. «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия »

По специальности 15.02.08 «Технология машиностроения»

 

 

 

 

Форма обучения: очная

Курс обучения: 1  курс (1-2 семестр)

 

 

 

 

 

 

 

 

2019 год

 

СОГЛАСОВАНО  на заседании предметно-цикловой комиссии Протокол № ____ от «___» ___________ 2019  г. Председатель ПЦК: _________

УТВЕРЖДАЮ: Зам.директора по учебной работе  ГБПОУ «КПГТ» _____________ Н.Н. Ефанова

 

 ОРГАНИЗАЦИЯ-РАЗРАБОТЧИК: Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Каслинский промышленно-гуманитарный техникум» Верхнеуфалейский филиал

 

 

Разработчик: Хусаинов В.Г., преподаватель ГБПОУ «Каслинский промышленно-гуманитарный техникум» Верхнеуфалейский филиал

 

 

 

 

 

  Содержание                                                                                     стр.                                                                                                     

 

     

1	ПАСПОРТ КОМПЛЕКТА КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНЫХ СРЕЗОВ.	4
2	РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ.	4
3	ОЦЕНКА ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ	7
3.1	ФОРМЫ КОНТРОЛЯ И ОЦЕНИВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ	7
3.2	ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ОЦЕНКИ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ	8
3.2.1	ВХОДНОЙ КОНТРОЛЬ	8
3.2.2	ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ТЕМАТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ (КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ).	11
3.2.3	ЗАДАНИЯ ДЛЯ ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ (ЭКЗАМЕН).	93
4	КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ.	93
5	УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ	97

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

            1.ПАСПОРТ КОМПЛЕКТА КОНТРОЛЬНО – ОЦЕНОЧНЫХ СРЕЗОВ

 

Контрольно-оценочные средства предназначены для контроля и оценки образовательных достижений обучающихся, освоивших программу учебной дисциплины  ОУДП.01. «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»

 

Косы включают контрольные материалы для проведения входного, текущего, промежуточного контроля и итоговой аттестации в форме экзамена.

Косы разработаны на основании:

основной профессиональной образовательной программы по направлению подготовки по специальности 15.02.08 «Технология машиностроения»

программы учебной дисциплины Математика.

         2.РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

 

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен обладать общими компетенциями, включающими в себя способность(для данной профессии или специальности)

 ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии,

проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, определять методы и способы

выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и

качество. 
ОК 3. Решать проблемы, оценивать риски и принимать решения в нестандартных

ситуациях.
ОК 4. Осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой для

постановки и решения профессиональных задач, профессионального и

личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии для

совершенствования профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, обеспечивать ее сплочение, эффективно

общаться с коллегами, руководством, клиентами.

ОК 7. Ставить цели, мотивировать деятельность подчиненных, организовывать и

контролировать их работу с принятием на себя ответственности за результат

выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного

развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать

повышение квалификации.

ОК 9. Быть готовым к смене технологий в профессиональной деятельности. 
ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

 

 

 

 

 

Результатом освоения дисциплины является получение (освоение) знаний и умений

Результаты обучения

(освоенные умения, усвоенные знания)

Показатели оценки результата

Умения:

решать линейные и квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним;

получение корней линейных и квадратных уравнений и уравнений, сводящихся к ним, обоснование выбора формул для решения квадратных уравнений и неполных квадратных уравнений;

выполнять действия с действительными числами, пользоваться калькулятором для вычислений, находить приближённые вычисления;

выполнение действий с действительными числами, демонстрация умений использования калькулятора для вычислений и нахождения приближённых вычислений;

решать линейные и квадратные неравенства, системы неравенства;

изложение основных этапов решения линейных и квадратных неравенств и их систем;

производить действия с векторами;

формулирование правил сложения и вычитания векторов, демонстрация умений выполнения действий над векторами;

использовать свойства элементарных функций при решении задач и упражнений;

изложение свойств функций и демонстрация понимания их использования при решении задач и упражнений;

выполнять тождественные преобразования со степенными, логарифмическими и тригонометрическими выражениями;

применение тождественных преобразований над степенными, логарифмическими и тригонометрическими выражениями; обоснование выбора формулы или свойства функций для преобразования;

строить графики показательных, логарифмических и тригонометрических функций, выполнять их преобразования;

создание графиков показательных, логарифмических и тригонометрических функций, демонстрация умений выполнения преобразований графиков таких функций;

вычислять производные и первообразные, определённые интегралы, применять определённый интеграл для нахождения площади криволинейной трапеции;

получение производных и первообразных некоторых функций, построение криволинейной трапеции, нахождение её площади с помощью определённого интеграла;

применять свойства прямых и плоскостей в пространстве при решении задач;

обоснование свойств прямых и плоскостей в пространстве при решении задач;

изображать геометрические тела на плоскости и в пространстве, строить их сечения плоскостью;

демонстрация умений построения геометрических тел и их сечений на плоскости и в пространстве;

решать задачи на вычисление площадей поверхностей и объёмов геометрических тел;

определение формулы для вычисления площадей и объёмов геометрических тел, применение их для решения задач;

уметь применять основные положения теории вероятностей и математической статистики в профессиональной деятельности.

выделение основных элементов теории вероятностей и математической статистики, решение практических задач.

 

Знания:

 

основные функции, их графики и свойства;

перечисление основных функций, формулирование их свойств, описание процесса построения графиков;

основы дифференциального и интегрального исчислений;

формулирование правил и формул дифференциального и интегрального исчислений;

алгоритмы решения тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений и неравенств;

изложение алгоритмов решения тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений и неравенств;

основные свойства элементарных функций;

определение основных свойств элементарных функций;

основные понятия векторной алгебры;

формулирование определений и выделение основных понятий векторной алгебры;

основы линейной алгебры;

обоснование основных понятий линейной алгебры;

основные понятия и определения стереометрии;

узнавание геометрических тел, формулирование основных понятий и определений стереометрии;

свойства геометрических тел и поверхностей;

перечисление свойств геометрических тел и их поверхностей;

формулы площадей поверхностей и объёмов;

выделение формул площадей поверхностей и объёмов;

основные понятия комбинаторики; статистики, теории вероятностей.

изложение основных понятий комбинаторики, статистики и теории вероятностей.

 

 

3.ОЦЕНКА ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

3.1.ФОРМЫ КОНТРОЛЯ И ОЦЕНИВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

ТИПЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ

 

Предметом оценки освоения дисциплины являются умения, знания, общие компетенции, способность применять их в практической деятельности и повседневной жизни.

 

Знание основ

математики

«5» - 100 – 90% правильных ответов

«4» - 89 - 80% правильных ответов

«3» - 79 – 70% правильных ответов

«2» - 69% и менее правильных ответов 2

 

Контрольная работа

Знание основ математики в соответствии с пройденной темой и умения применения знаний на практике

«5» - 100 – 90% правильных ответов

«4» - 89 - 80% правильных ответов

«3» - 79 – 70% правильных ответов

«2» - 69% и менее правильных ответов 4

 

Практические занятия

Умение применять полученные знания на практике.

«5» - 100 – 90% правильных ответов

«4» - 89 - 80% правильных ответов

«3» - 79 – 70% правильных ответов

«2» - 69% и менее правильных ответов 5

 

Составление конспектов, рефератов, творческих работ.

Умение ориентироваться в информационном пространстве, составлять конспект.

Знание правил оформления рефератов, творческих работ.

Соответствие содержания работы, заявленной теме, правилам оформления работы.

3.2.ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ОЦЕНКИ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ.

3. 2. 1. ВХОДНОЙ КОНТРОЛЬ ПРОВЕРКИ ПОДГОТОВКИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ШКОЛЬНОМУ КУРСУ МАТЕМАТИКИ

 

Входная контрольная работа проводится с целью проверки освоения обучающимися содержания образования по математике. Форма работы обеспечивает полноту проверки за счет включения заданий, составленных на материале основных разделов предмета «Математика»: уравнения, неравенства, степени, действия с действительными числами, проценты, графики элементарных функций, теорема Пифагора. Контрольная работа включает задания двух уровней: базового и повышенного, которые представлены в виде тестов, что позволяет контролировать результат.

Результаты обучения

(освоенные умения, усвоенные знания)

Показатели оценки результата

Умения и знания:   

В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:

·                     значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

·                     значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;

·                     универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;

·                     вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь:

 

АЛГЕБРА

·                     выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения;

·                     находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах;

·                     выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

·                     использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

·                     для практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства.

 

Функции и графики

уметь:

·                     вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции;

·                     определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках;

·                     строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

·                     использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин;

·                     использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

     для описания с помощью функций различных зависимостей

представления их графически, интерпретации графиков.

Начала математического анализа

уметь:

·                   находить производные элементарных функций;

·                   использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;

·                   применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения;

·                   вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

·                   использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

·                   решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения.

Уравнения и неравенства

уметь:

·              решать рациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным, а также аналогичные неравенства и системы;

·              использовать графический метод решения уравнений и неравенств;

·              изображать на координатной плоскости решения уравнений, неравенств и систем с двумя неизвестными;

·              составлять и решать уравнения и неравенства, связывающие неизвестные величины в текстовых (в том числе прикладных) задачах.

·              использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

·              для построения и исследования простейших математических моделей.

 

ГЕОМЕТРИЯ

уметь:

·                     распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;

·                     описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;

·                     анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;

·                     изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;

·                     строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;

·                     решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

·                     использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

·                     проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

·                     использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

·                     для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;

·                     вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.

Владеть компетенциями:

-учебно-познавательной;

- ценностно-ориентационной;

-рефлексивной;

-коммуникативной;

-информационной;

-социально-трудовой.

 

 

 

Критерии оценки контрольной работы

Контроль  за результатами обучения осуществляется через проведение специальных уроков оценки знаний, практических занятий, использование в практической деятельности критериев оценки интеллектуальных особенностей обучающихся. Применяются следующие виды контроля: вводный, текущий, тематический, итоговый, первичной проверки знаний, обучающий. Формы контроля: устный опрос; устный фронтальный опрос; составление опорного конспекта; работа с карточками; диктант; кроссворд;  самостоятельное решение упражнений с последующей самопроверкой по готовым ответам и указаниям к решению; самостоятельная работа; тест; домашняя практическая работа; контрольный тест; контрольная работа

 

 

3.2.2. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ТЕМАТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ (КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ)

 ВХОДНОЙ КОНТРОЛЬ

Контрольная работа №0 (нулевой срез)

 

Вариант 1

1.                 Решить уравнение: 2х² + 3х – 5 = 0.

2.                 Решить систему уравнений:     3х – у = 3,

                                                   3х – 2 у = 0.

3.         Решить неравенство: 6х – 5(2х + 8)14 + 2х.

4.                 Найти 15% от числа 80.

5.                 Выполните действие, и результат запишите в виде десятичной дроби:

(1,2  ) (3  ).

---------------------------------------------------------------------------------------

 

Вариант 2

1.                 Решить уравнение: 5х² - 7х + 2 = 0.

2.                 Решить систему уравнений:     2х + у = 1,

                                                   5х + 2 у = 0.

3.         Решить неравенство: 5 + х  3х - 3(4х + 5).

4.                 Найти 45% от числа 90.

5.                 Выполните действие, и результат запишите в виде десятичной дроби:

(1,6 ) (4  10²).

---------------------------------------------------------------------------------------

 

 

 

Вариант 3

1.                 Решить уравнение: 3х² - 5х - 2 = 0.

2.                 Решить систему уравнений:       х + 5у = 7,

                                                   3х + 2 у = -5.

3.         Решить неравенство:  3(3х - 1)2(5х - 7).

4.                 Найти 40% от числа 120.

5.                 Выполните действие, и результат запишите в виде десятичной дроби:

 

---------------------------------------------------------------------------------------

 

Вариант 4

1.                 Решить уравнение: 2х² - 7х + 3 = 0.

2.                 Решить систему уравнений:     2х - 3у = 1,

                                                   3х +  у = 7.

3.         Решить неравенство: 5(х + 4)2(4х - 5).

4.                 Найти 30% от числа 240.

5.                 Выполните действие, и результат запишите в виде десятичной дроби:

 

ОТВЕТЫ  К  КОНТРОЛЬНОЙ  РАБОТЕ    №1

 

№ варианта	Задание 1	Задание 2	Задание 3	Задание 4	Задание 5
1	-2,5; 1	(2;3)	х<-9	12	3,6∙10-4= 0,00036
2	0,4; 1	(-2;5)	х>-2	40,5	6,4∙10-3= 0,0064
3	; 2	(-3;2)	х<11	48	6∙10-11= 0,00000000006
4	0,5; 3	(2;1)	х<10	72	0,8∙10-2= 0,008

 

 

РАЗДЕЛ 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Поиск информации по теме «Действительные числа» с последующим ее представлением в кабинете в форме сообщения, презентации.

 Контрольная Работа №1 По Теме "Действительные Числа" 

                                                           ВАРИАНТ 1

ЧАСТЬ А

А1. Вычислите ;

1. 49. 2. . 3.  4. – 49.

А2. Вычислите ;

1.  2. 2. 3.  4. 

А3. Упростите выражение ;

1.  2.  3.  4. 

А4. Решите уравнение ;

1. x = 2. 2.  3.  4. x = - 2.

А5. Запишите бесконечную периодическую дробь 0,( 43 ) в виде обыкновенной дроби

1.  2.  3.  4. 

ЧАСТЬ В

В1. Сократите дробь  ;

В2. Сравните числа ;

В3. Вычислить ;

ЧАСТЬ С

С1. Упростите выражение , если – 1 < x < 2 ;

С2. Упростите выражение  .

ВАРИАНТ 2

ЧАСТЬ А

А1. Вычислите ;

1.  2. 36. 3. -  4. – 36.

А2. Вычислите ;

1. 5. 2.  3.  4. 

А3. Упростите выражение ;

1.  2.  3.  4. 

А4. Решите уравнение ;

1. x = 10. 2. x = 9. 3. x = 6. 4. x = 3.

А5. Запишите бесконечную периодическую дробь 0,3( 6 )в виде обыкновенной дроби

1.  2.  3.  4. 

ЧАСТЬ В

В1. Сократите дробь ;

В2. Сравните числа ;

В3. Вычислить ;

 ЧАСТЬ С

С1. Упростите выражение , если - 3 < x < - 1.

С2. Упростите выражение .

ВАРИАНТ 3

ЧАСТЬ А

А1. Вычислите 

1. 25; 2.  3.  4. 

А2. Вычислите .

1.  2.  3. 3. 4. 

А3. Упростите выражение 

1. ; 2.  3.  4. 

А4. Решите уравнение ;

1. x = 10. 2.  3. ; 4. 5.

А5. Запишите бесконечную периодическую дробь 0,( 34 ) в виде обыкновенной дроби

1.  2.  3.  4. 

ЧАСТЬ В

В1. Сократите дробь ;

В2. Сравните числа 

В3. Вычислить 

ЧАСТЬ С

С1. Упростите выражение 

С2. Упростите выражение 

ВАРИАНТ 4

ЧАСТЬ А

А1. Вычислите 

1.  2. 7. 3.  4. 49.

А2. Вычислите 

1.  2. 3. 3.  4. 

А3. Упростите выражение .

1.  2.  3.  4. 

А4. Решите уравнение 

1. -  2.  3.  4. 

А5. Запишите бесконечную периодическую дробь 0,( 248 )в виде обыкновенной дроби

1.  2.  3.  4. 

ЧАСТЬ В

В1. Сократите дробь 

В2. Сравните числа 

В3. Вычислить 

ЧАСТЬ С

С1. Упростите выражение 

С2. Упростите выражение 

Ответы к контрольной работе.

 

ВАРИАНТ 1		ВАРИАНТ 2		ВАРИАНТ 3		ВАРИАНТ 4
ЧАСТЬ А		ЧАСТЬ А		ЧАСТЬ А		ЧАСТЬ А
А1	1	А1	1	А1	2	А1	1
А2	2	А2	1	А2	1	А2	2
А3	4	А3	3	А3	1	А3	2
А4	2	А4	1	А4	3	А4	2
А5	2	А5	2	А5	4	А5	3
ЧАСТЬ В		ЧАСТЬ В		ЧАСТЬ В		ЧАСТЬ В
1.		1.		1.		1.
2. знак больше		2. знак меньше		2. знак меньше		2. знак больше
3. 8		3. 3		3. 2		3. 4
ЧАСТЬ С		ЧАСТЬ С		ЧАСТЬ С		ЧАСТЬ С
1. 9		1. –3х - 5		1. а		1. 1
2.		2. – 2		2. – 3		2. 2

 

 

 

Тест.

Структура заданий в этом тесте основана на одной из традиционных форм теста, представляющей собой наличие четырёх предполагаемых ответов к каждому из двенадцати заданий.

ТЕСТ ПО ТЕМЕ «СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ»

Вариант 1

1. Выберите  верное равенство              

1.     2.     3.     4.

2.   Вычислите значение выражения                                             

1. 10             2.  25              3.  5                 4.

3.   Выберите  неверное равенство

 1.     2.     3.     4.

4.  Определите, при каких значениях переменной х выражение  имеет смысл.

 1.         2.           3.          4.

5.   Определите, при каких значениях переменной х выражение  не имеет смысла.

1.         2.           3.          4.

6.   Вычислите значение выражения                              

   1. 0,09            2. -0,09             3.  0,0081           4. -0,0081

 

7.  Найдите значение выражения  

1.            2.             3.            4.              

8.    Упростите выражение                                      

1.  6               2.            3.  34                4.

 

9.    Найдите значение выражения                     

 1.                   2.          3.          4.

                         

10.    Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби       

1.  52         2.         3.       4. 4         

11.   Упростите выражение                                         

1.              2.            3.           4.

12.   Упростите выражение                                     

1.             2.           3.          4.

 

 

РАЗДЕЛ 2 . ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ   В ПРОСТРАНСТВЕ

Поиск информации по теме «Параллельность прямых и плоскостей» с последующим ее представлением в кабинете в форме сообщения, презентации.

Тест. «Параллельность прямых и плоскостей»

1.     Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?

      1) да                     2) нет

2.       Верно ли, что если две прямые не пресекаются, то они параллельны?

      1) да                     2) нет

3.       Верно ли, что любые три точки лежат в одной плоскости?

     1) да                     2) нет

4.       Верно ли, что если прямые не параллельны и не пересекаются, то они скрещиваются?

     1) да                     2) нет

5.       Плоскости α и β параллельны, прямая  m  лежит в плоскости α. Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β?

     1) да                     2) нет

6.       Верно ли, что если прямая a параллельна одной из двух параллельных плоскостей, то с другой плоскостью эта прямая имеет только одну общую точку?

     1) да                     2) нет

7.       Верно ли, что через две пересекающиеся прямые всегда можно провести плоскость?

     1) да                     2) нет

8.       Верно ли, что если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая не пересекает данную плоскость или ей не принадлежит?

     1) да                     2) нет

9.       Боковые стороны трапеции параллельны плоскости  α. Параллельны ли плоскость α и плоскость трапеции?

      1) да                     2) нет

10.   Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?

      1) да                     2) нет

11.   Могут ли прямая и плоскость иметь одну общую точку?

     1) да                     2) нет

12.   Верно ли, что если прямая не имеет с плоскостью общих точек, то эта прямая параллельна плоскости?

     1) да                     2) нет

 

13.   Верно ли, что любые четыре точки не лежат в одной плоскости?

     1) да                     2) нет

14.   Верно ли, что две прямые a и b перпендикулярны друг другу, если a II c и b II c?

     1) да                     2) нет

15.   Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей

     1) да                     2) нет

16.   Верно ли, что если  две стороны треугольника параллельны плоскости α, то и третья сторона параллельна плоскости α?

     1) да                     2) нет

17.   Верно ли, что если прямая с пересекает прямую a и не пересекает прямую b, параллельную прямой a, то b и c – скрещивающиеся прямые?

     1) да                     2) нет

18.   Две стороны параллелограмма параллельны плоскости α. Параллельны ли плоскость α и плоскость параллелограмма?

     1) да                     2) нет

19.   Могут ли быть равны два непараллельных отрезка, заключенные между параллельными плоскостями?

     1) да                     2) нет

20.   Могут ли пересекаться плоскости, параллельные одной и той же прямой?

      1) да                     2) нет

 

 

 

 Контрольная Работа №2 По Теме:

«Параллельность В Пространстве»

 

Вариант №1	Вариант №2
1.Аксиома – это…	1.Стереометрия – это…
2.Элементом пересечения двух плоскостей является…	2.Основные понятия стереометрии: …
3. Скрещивающиеся прямые – это…	3.Совпадающие прямые – это…
4.Через три точки можно провести….	4.Элементом пересечения двух прямых является…
5.Перпендикуляром к плоскости называют…	5.Проекцией наклонной на плоскость называют…
6.Если прямая и плоскость имеют две общие точки, то …	6.Что больше длина проекции или длина наклонной?
7.Если длины двух наклонных равны, то…	7.Двугранный угол – это…
8.Величиной двугранного угла является…	8.Перечислите способы задания плоскости.
9.Для того чтобы прямая была перпендикулярна плоскости необходимо…	9.Для того чтобы две плоскости были параллельны необходимо…
10.Назовите две плоскости, пересекающиеся по прямой DC:	10.Назовите, что является элементом пересечения плоскостей (АВ) и (DВС):
11.Укажите линейный угол между плоскостями (АВСD) и (DВ):	11.Укажите линейный угол между плоскостями (ВD) и (DВ):
12.Что будет являться проекцией для наклонной А	12.Что будет являться проекцией для наклонной АS?
13.Как называется ограниченная замкнутая область в пространстве? Изобразите прямую пересекающую плоскость в одной точке.	13.Как называется ограниченная замкнутая область в пространстве? Изобразите отрезок АВ не принадлежащий   плоскости.

  

Ответы.

Вариант №1

1.                 Аксиома-это предложение, не требующее доказательств.

2.                 Прямая

3.                 Скрещивающиеся прямые- это прямые, лежащие в разных плоскостях, непараллельные и непересекающиеся

4.                 Плоскость

5.           Прямую, проведённую к плоскости под углом

6.                 Прямая принадлежит плоскости (они совпадают)

7.                 Длины их проекций будут равными

8.                 Величина его линейного угла

9.                 Чтобы она была перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости

10.        (BDC) и (DC)

11.        CO

12.            AD

13.            Плоскость

 

 

 

Вариант №2

1.                 Стереометрия-это раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве.

2.                 Точка, прямая, плоскость

3.                 Совпадающие прямые-это прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие бесконечное множество общих точек

4.                 Точка

5.                 Отрезок, принадлежащий плоскости и заключённый между основаниями наклонной и перпендикуляра

6.                 Больше длина наклонной

7.                 Угол, образованный при пересечении двух плоскостей

8.                 Плоскость можно провести через:

ü    Три точки;

ü    Прямую и не принадлежащую ей точку;

ü    Через две пересекающиеся прямые

9.                 Чтобы две пересекающиеся прямые одной плоскости были соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости

10.            АВ

11.       

12.     

13.            Плоскость

 

 

 

Перпендикулярность в пространстве

Поиск информации по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей» с последующим ее представлением в кабинете в форме сообщения, презентации.

 

Контрольная работа № 3. Тема «Перпендикулярность в пространстве»

 Дана прямая в пространстве,  а на ней взята точка. Сколько можно построить прямых, проходящих через эту точку и перпендикулярных данной прямой?

1)   одну       2) две               3) множество

1.                 Чему равен угол между пересекающимися ребрами куба?

1)   45⁰         2) 90⁰              3) 60⁰

2.                 Найти угол между диагональю грани куба и пересекающимся с ним ребром.

1)  90⁰         2)  60⁰              3) 45⁰ 

3.                 Дан куб АВСДА₁В₁С₁Д₁. Найдите углы, которые образуют прямые АА₁ и В₁С₁.

 1)  90⁰         2)  45⁰            3) 60⁰

4.                 В кубе АВСДА₁В₁С₁Д₁  найдите угол между прямыми АВ₁ и ВД.

1) 45⁰          2) 60⁰              3) 90⁰

5.                 А, В, С –  точки на попарно перпендикулярных лучах ОА, ОВ, ОС. Найдите углы треугольника АВС, если известно, что ОА = ОВ = ОС.

1) 60⁰           2)     90⁰         3) 45⁰ 

6.                 Верно ли, что прямая, пересекающая круг в центре и перпендикулярная его диаметру перпендикулярна плоскости круга?

1) да         2)     нет        

7.                 Если прямая перпендикулярна плоскости, то может ли она быть параллельна какой – нибудь прямой, лежащей в этой плоскости?

1) да, может         2)     нет, не может        

8.         Плоскость      перпендикулярна плоскости  . Будет ли всякая прямая плоскости   перпендикулярна плоскости ?

1) нет, не будет    2) будет   

9.                   Даны плоскость и параллельная ей прямая. Сколько прямых,

перпендикулярных этой прямой, можно провести в данной плоскости?

1)   одну       2)бесконечное множество, все они будут скрещиваться с данной прямой 

10.             Лестница длиной 5 м прислонена к отвесной стене. Ее нижний конец отстоит от стены на 3 м.  На какой высоте находится другой ее конец?

1) 4 м           2)     2м             3) 5 м       

 

 

 

 

 

РАЗДЕЛ 3. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Поиск информации по теме «Степенная функция» с последующим ее представлением в кабинете в форме сообщения, презентации.

 

 

 

Контрольная работа № 4. Тема: «Степенная функция»

Работа состоит из двух частей. Выполнение первой части работы (до черты) позволяет получить оценку «3». Для получения оценки «4» необходимо верно решить первую часть работы и одну из задач второй части (за чертой). Чтобы получить оценку «5», помимо выполнения первой части работы, необходимо решить не менее двух любых заданий из второй части работы.

Вариант I

1.     Найти область определения функции .

2.     Изобразить эскиз графика функции .

1)    Указать область определения и множество значений функции.

2)    Выяснить, на каких промежутках функция убывает.

3)    Сравнить числа  и .

 

3.                 Решить уравнение:

1);	2);	3);
4).

4.                       Решить неравенство: .

 

5.                       Найти функцию, обратную к ; указать её область определения и множество значений. На одном рисунке построить графики данной функции и функции, обратной к данной.

 

РАЗДЕЛ 4. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

Поиск информации по теме «Показательная функция» с последующим ее представлением в кабинете в форме сообщения, презентации.

 

Контрольная работа № 5.  По теме «Показательные уравнения и неравенства»

Задания   представлены в двух уровнях.

Ӏ  вариант – это задания на 1 – 2 шага. Для ответа на них учащимся достаточно знать правила, формулы, простейшие зависимости между компонентами математических действий.

ӀӀ  вариант включает более сложные задания на 2 – 4 шага, а их решение требует более широкого круга математических знаний, умений и навыков.

 Работа содержит упражнения обязательных результатов, и характеризуют основной уровень знаний по теме «Показательные уравнения и неравенства».

Задания Ӏ уровня оцениваются: за правильный ответ выставляется 1 балл, за неправильный ответ - 0 баллов.

На ӀӀ уровне:

- за правильный ответ с письменными записями, которые не содержат ошибок, 2 балла;

- за неполный или неправильный ответ, но имеется письменное решение, содержащее верный ход решения, выставляют 1 балл;

- в остальных случаях 0 баллов.

ОЦЕНКИ	«2»	«3»	«4»	«5»
Количество Баллов	0-10	11-17	18-25	26-30

 

                                                             Ӏ вариант

Найти х, если 5х=.

А) 1; Б) 0; В) -1; Г) 2; Д) -2.

Найти корень уравнения 4х = 64.

А) 4; Б) 3; В) 2; Г) 1; Д) 0.

Решить уравнение .

А) 0; Б) 3; В) 1; Г) -1; Д) 4.

При каком значении х 

А) 2; Б) 0; В) -2; Г) 1; Д) -1.

Решить уравнение .

А) 1; Б) ; В) ; Г) ; Д) .

Найти х, если .

А) 5; Б) 4; В) 6; Г) -4; Д) -6.

При каком значении х ?

А) -3; Б) 1; В) -2; Г) 2; Д) 3.

Решить уравнение .

А) 7; Б) 4; В) 1; Г) 5; Д) 2.

Решить неравенство .

А) ; Б) ; В) ; Г); Д) .

Решить неравенство .

А) ; Б) ; В) ; Г) ; Д) .

 

ӀӀ вариант

Найти х, если 

А) 2; Б) 1; В) -1; Г) -2; Д) -3.

Указать число, которое является корнем уравнения

.

А) 3; Б) 4; В) 2; Г) -2; Д) -3.

Решить уравнение .

А) 3; Б) 1; В) 4 Г) -1; Д) 2.

При каком значении х ?

А) 3; Б) ; В) ; Г) 2; Д) 1.

Решить уравнение .

А) ; Б) ; В) ; Г) 0; Д) 1.

Найти х, если .

А) ; Б) ; В) ; Г) 4; Д) - 4.

Решить уравнение .

А) -1; Б) 1; В) -2; Г) 2; Д) 3.

Указать число, которое является корнем уравнения

.

А) 3; Б) -1; В) -2; Г) 2; Д) -3.

Решить неравенство .

А) ; Б) ; В) ; Г) ; Д) .

Решить неравенство .

А) ; Б) ; В) ; Г) ; Д) .

 

 

Таблица ответов

 

Номер задания Ӏ уровень	1	2	3	4	5	6	7	8	9		10
Ответ	В	Б	Г	В	Г	В	А	Г	Б		Б
Номер задания ӀӀ уровень	1	2	3	4	5	6	7	8	9		10
Ответ	Б	В	Д	Г	А	Д	Г	В		А	Г

 

 

РАЗДЕЛ 5. МНОГОГРАННИКИ

Поиск информации по теме «Многогранники» с последующим ее представлением в кабинете в форме сообщения, презентации.

Тест.  «Многогранники»

1.     Тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, называется

1)                многоугольником       2) многогранником        3) телом вращения

2.     Призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям, называется

1)правильной        2)   наклонной        3) прямой

3.     У параллелепипеда противоположные грани

1)                многоугольником       2) многогранником        3) телом вращения

4.     Высотой призмы называется

1)                расстояние между плоскостями ее оснований

2)                длина бокового ребра

3)                нет верного ответа    

5.     Куб – это …. , у которого все ребра равны.

1)                прямой параллелепипед    

2)                  прямоугольный параллелепипед   

3)                 параллелепипед

6.     У прямой призмы боковые грани являются

       1) параллелограммами

      2)  квадратами

      3) прямоугольниками

 

7.     ABCDA₁B₁C₁D₁- куб. У куба

1)                4 грани, 12 ребер, 8 вершин

2)                6 граней, 12 ребер, 8 вершин

3)                6 граней, 8 ребер, 4 вершины       

8.     Ребро куба равно 5 см. Для изготовления модели такого куба потребовалось бы  …. проволоки

1)                60 см          2)50 см         3)  20 см

9.     Прямоугольный параллелепипед – прямой параллелепипед, у которого основанием является

1)                квадрат       2) прямоугольник         3) параллелограмм

10. Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются

1)                 линейными размерами            2) периметром   3) нет верного ответа

11. Гранями прямоугольного параллелепипеда являются

1) квадраты    2) параллелограммы   3) прямоугольники

12.  

Может ли основание наклонного параллелепипеда быть прямоугольником?

1) да         2) нет

13. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен

1) d = a +b + c          2) d² = a² +b² + c²        3) d = a² +b² + c²       

14. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если три его ребра имеют длины 5 , 7 и 9 см.

1)   см           2) 155 см        3) см

15. Прямая призма, у которой в основании лежит правильный многоугольник называется

1)  правильной           2) наклонной        3)  кубом

16. Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются

1)  противолежащими         2)прилежащими      3)  нет верного ответа

17. Является ли призма правильной, если все ее ребра равны?

1) является     2) не является

18. Укажите пример тела, не являющегося многогранником

1)  куб           2)  параллелепипед    

Контрольная работа № 6 по теме «Многогранники»

 

I уровень

Вариант I

1) Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань - квадрат.

2) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°.

а) Найдите высоту пирамиды.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3) Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра DAпараллельно плоскости DBC, и найдите площадь этого сечения.

 

Вариант II

1) Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наименьшая боковая грань - квадрат.

2) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна √6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°.

а) Найдите боковое ребро пирамиды.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3) Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через середины ребер DA и АВ параллельно ребру ВС, и найдите площадь этого сечения.

 

II уровень

Вариант I

1) Основание прямого параллелепипеда - ромб с диагоналями 10 и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

2) Основание пирамиды - правильный треугольник с площадью 9√3 см2. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а третья - наклонена к ней под углом 30°.

а) Найдите длины боковых ребер пирамиды.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3) Ребро куба ABCDA1B1C1 равно а. Постройте сечение куба, проходящее через прямую В1С и середину ребра AD и найдите площадь этого сечения.

 Вариант II

1) Основание прямого параллелепипеда - ромб с меньшей диагональю 12 см. Большая диагональ параллелепипеда равна 16√2 см и образует с боковым ребром угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

2) Основание пирамиды - равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 4√2 см. Боковые грани, содержащие катеты треугольника, перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом 45°.

а) Найдите длины боковых ребер пирамиды.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3) Ребро куба ABCDA1E1C1 равно а. Постройте сечение куба, проходящее через точку С и середину ребра AD параллельно прямой DA и найдите площадь этого сечения.

 

 

 

 

III уровень

Вариант I

1) Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 15 и 20 см. Найдите площадь полной поверхности призмы, если ее наименьшее сечение, проходящее через боковое ребро, - квадрат.

2) Основание пирамиды - ромб с большей диагональю d и острым углом α. Все двугранные углы при основании пирамиды равны р. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

3) Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно а. Постройте сечение куба, проходящее через середины ребер АА1, В1С1 и CD, и найдите площадь этого сечения.

 

Вариант II

1) Основание прямой призмы - равнобедренный треугольник с основанием 24 см и боковой стороной 13 см. Наименьшее сечение призмы, проходящее через ее боковое ребро, является квадратом. Найдите площадь полной поверхности призмы.

2) Основание пирамиды - ромб с тупым углом α. Все двугранные углы при основании пирамиды равны р. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если ее высота равна Н.

3) Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно а. Постройте сечение куба, проходящее через середины ребер А1В1, СС1 и AD, и найдите площадь этого сечения.

Решения задач контрольной работы:

I уровень

Вариант I

№ 1. Дано: ABCA1B1C1 - прямая призма; ∠ACB = 90°; АС = 6 см; ВС = 8 см; АВВ1А1 - квадрат.

Найти: Sбок.

 

 

Решение:

1) ΔABC: АВ  (по теореме Пифагора);

2) Наибольшая боковая грань – АВВ1А1, так как АВ - гипотенуза, тогда АВВ1А1 – квадрат АА1 = 10 см.

3)  (Ответ: 240 см2.)

№ 2. Дано: SABCD - правильная четырехугольная пирамида; SA = 4 см, ∠SAD = 45°.

Найти a) SO; б) S6ок..

 

 

Решение:

1) ΔSАО - прямоугольный; 

2) ΔAOD – прямоугольный; 

3) ΔSOH - прямоугольный; 

4)  (Ответ: )

 

№ 3. Дано: DABC - правильный тетраэдр; АВ = а.

Построить: (МКР) - сечение: М - середина AD, (МКР) || (DBC), МР || ВС, (КМР - искомое сечение).

Найти: SMKP.

 

 

Построение: 1) MK || DB, MP || DC (по свойству секущей плоскости). Значит, (МКР) - искомое сечение.

2) МК - средняя линия в ΔABD ⇒ МК = a/2; КР, МР - средние линии в ΔABC и ΔADC соответственно, значит, КР = МР = 1/2а. (Ответ: 

 

Вариант II

№ 1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма; ΔАВС: ∠C = 90°; АВ = 13 см; ВС = 12 см.

Найти: Sбок.

 

 

Решение:

1) ΔАВС - прямоугольный, 

2) Грань АСС1А1 - наименьшая, так как АС - меньший катет, тогда АСС1А1 - квадрат, СС1 = 5 см.

3)  (Ответ: Sбок. = 150 см2.)

№ 2. Дано: SABCD - правильная пирамида; SO= √6 см; ∠SAO = 60°.

Найти: a) SA; Sбок.

 

 

Решение:

1) ΔSAO - прямоугольный; 

2) 

3) ΔSOH - прямоугольный; 

4)  (Ответ: )

 

№ 3. Дано: DABC - правильный тетраэдр; АВ = а.

Построить: сечение (МКР): К - середина AD; М - середина АВ; (КМР || ВС).

Найти: SMKP.

 

 

Решение:

1) КМ, МР, КР - средние линии ΔABD, ΔАВС, ΔADC соответственно, значит, КМ = МР = КР = 1/2а.

2)  (Ответ:  )

 

II уровень

Вариант I

№ 1. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямой параллелепипед, ABCD - ромб, BD = 10 см; АС = 24 см; ∠B1DB = 45°.

Найти: Sполн.

 

 

 

Решение:

1) ΔBB1D - прямоугольный. Меньшая диагональ параллелепипеда проектируется в меньшую диагональ основания ∠BDB1 = 45°, тогда ВВ1 = BD = 10 см;

2) ΔAOD - прямоугольный. 

3)  (Ответ: 760 см2.)

№ 2. Дано: SABC - пирамида; ΔАВС - правильный; SΔABC = 9√3 см2; (SBC) ⊥ (ABC), (SAC) ⊥ (ABC), ∠SHC = 30°.

Найти: a) SC, SA, SB; б) Sбок..

 

 

Решение:

(Ответ: )

 

№ 3. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб: АВ = а.

Построить: сечение МВ1СК.

Найти: Sсeч.

 

 

Решение:

1) По свойству секущей плоскости МК || В1С, тогда МВ1СК - искомое сечение.

2) МВ1СК - равнобокая трапеция; ΔАМК: 

3) ΔВ1С1С: 

4) ΔKDC - прямоугольный: 

5)  (Ответ: )

 

Вариант II

№ 1. Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямой параллелепипед; ABCD - ромб: АС = 12 см - меньшая диагональ; BD1 = 16√2 см;∠BB1D = 45°.

Найти. Sполн.

 

 

Решение:

1) ΔB1BD - прямоугольный:  ВВ1 = BD = 16 см.

2) ΔAOD - прямоугольный: 

3)  (Ответ: Sполн. = 832 см2.)

№ 2. Дано: SABC - пирамида. ΔАВС - прямоугольный: АС = ВС; SC ⊥ (ABC); ∠SHC = 45°; АВ = 4√2 см.

Найти: a) SC, SA, SB; б) Sбок.

 

 

Решение:

1) ΔАВС - прямоугольный:  АС = ВС = 4 см.

2) ΔНВС- прямоугольный: 

(Ответ: )

 

 

№ 3. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб: АВ = а.

Построить: сечение МВ1СК.

Найти: SМВ1СК.

 

 

Решение:

1) По свойству секущей плоскости МК || В1С, тогда МВ1СК - искомое сечение.

2) МВ1 = КС, МВ1СК - равнобокая трапеция; 

3) 

4) ΔKDC - прямоугольный. 

(Ответ: )

 

 

 

III уровень

Вариант I

№ 1. Дано: ABCA1B1C1 - прямоугольная призма; ΔABC: ∠C = 90°; AC = 20 см; ВС = 15 см; SС1H1HC - наименьшее сечение, проходящее через боковое ребро - квадрат.

Найти: Sполн.

 

 

Решение:

1) 

2) C1H1 – меньшая высота в ΔA1B1C1; 

3)  (Ответ: 1020 см2.)

№ 2. Дано: SABCD - пирамида; ABCD - ромб; ∠A = α; АС = d; ∠SHO = β.

Найти: Sполн.

 

 

Решение:

1) ΔAOD - прямоугольный: 

2) ΔOCH - прямоугольный:  ΔOSH - прямоугольный: 

(Ответ : )

 

№ 3. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб; AB = а; M, К, P - середины ребер AA1, B1C1, CD) соответственно.

Построить: сечение, проходящее через точки М, К, Р.

Найти: Sсeч.

 

 

Решение: 1) МХ || PF (так как секущая плоскость пересекает противоположные грани по параллельным отрезкам). Значит,MF || КЕ, ХК || FP. Тогда MXKEPF - правильный шестиугольник:   (Ответ: )

 

Вариант II

№ 1. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямая призма. ΔАВС: АС = ВС = 13 см; АВ = 24 см. НН1С1С - квадрат - наименьшее сечение призмы, проходящее через боковое ребро.

Найти: Sполн.

 

 

Решение:

1) ΔНВС - равнобедренный.  HC = CC1 = 5 см.

2)  (Ответ: Sполн. = 370 см2.)

№ 2. Дано: ABCD - ромб; SABCD - пирамида; ∠B = α; ∠SHO = β; SO = Н;

Найти: Sполн.

 

 

Решение: 

1) ΔSOH - прямоугольный; 

2) ΔHOD - прямоугольный; 

3) ΔODC - прямоугольный; 

4) ΔDOC - прямоугольный; 

 (Ответ: )

№ 3.

Аналогично № 3, вариант 1. (Ответ: )

 

РАЗДЕЛ 6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Поиск информации по теме «Логарифмическая функция» с последующим ее представлением в кабинете в форме сообщения, презентации.

 

Тест  «Логарифмическая функция»

1.       Функцию заданную формулой y = , где а – заданное число, а >0 , а 1 называют…

1)      тригонометрической    2) логарифмической     3) показательной   4) степенной

2.       График логарифмической функции y =  является возрастающей на промежутке х > 0, если…

1)      а  > 1;           2)    0 <  x <  1     

3.       График логарифмической функции y =  является …

1)      возрастающей функцией

2)      убывающей функцией

4.       Вычислить log4 + log36

1)             2) 12       3) 2     4) 40

5.       Упростите выражение 1,7 ^log , пользуясь основным логарифмическим тождеством

1)      1,7        2)   2       3)  2,8         4) 3,14

 

6.       Уравнение, в котором под знаком логарифма находится переменная, называется…

1)      тригонометрическим       

2)      иррациональным       

3)      показательным

4)      логарифмическим

7.       Корнем уравнения    = - 3  является число

1)      8        2)         3) - 8         4) 6

8.       Решить уравнение  

1)              2)  9       3)  5       4) - 5

9.       Неравенство, в котором под знаком логарифма находится переменная, называется…

1)      иррациональным    

2)      логарифмическим

3)      показательным

4)      тригонометрическим     

10.   Решить неравенство

1)      ( 2; 4 )        2)  ( 0; 4 )       3)  ( - ; 4 )       4) ( 4; )

 

11.   График логарифмической функции y =  является убывающей на промежутке х > 0, если…

1)      а  > 1;           2)    0 <  x <  1     

12.   График логарифмической функции y =  является …

1)      возрастающей функцией

2)      убывающей функцией

13.   Вычислить log ₂ 16 -  log ₂  4

1)             2) 12       3) 2     4) 40

14.   Упростите выражение 2, 4 ^log , пользуясь основным логарифмическим тождеством

1)      3,14        2)   2, 4        3)  - 2,4         4) - 3,14

15.   Корнем уравнения    =  3  является число

1)      9        2)  27       3) - 9         4)

16.   Решить уравнение  

1)      1        2)         3)  0       4) - 7

17.   Решить неравенство

1)      ( - ; 1 )       2) ( 0; +)    3) ( 1; +)     4) ( - 3;)

 Контрольная работа №7 по теме « Логарифмическая функция»

  Вариант 1

1.                 Найдите корень уравнения .

2.                 Найдите корень уравнения .

3.                 Найдите корень уравнения .

4.                 Найдите корень уравнения .

5.                 Найдите корень уравнения .

6.                 Найдите корень уравнения .

7.                 Найдите корень уравнения .

8.                 Решите уравнение .

9.                 Решите уравнение .

10.            Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

11.            Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

12.            Найдите корень уравнения .

13.            Найдите корень уравнения .

  Вариант 2

1.                 Найдите корень уравнения .

2.                 Найдите корень уравнения .

3.                 Найдите корень уравнения .

4.                 Найдите корень уравнения .

5.                 Найдите корень уравнения .

6.                 Найдите корень уравнения .

7.                 Найдите корень уравнения .

8.                 Решите уравнение .

9.                 Решите уравнение .

10.            Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

11.            Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

12.            Найдите корень уравнения .

13.            Найдите корень уравнения .

  Вариант 3.

1.                 Найдите корень уравнения .

2.                 Найдите корень уравнения .

3.                 Найдите корень уравнения .

4.                 Найдите корень уравнения .

5.                 Найдите корень уравнения .

6.                 Найдите корень уравнения .

7.                 Найдите корень уравнения .

8.                 Решите уравнение .

9.                 Решите уравнение .

10.            Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

11.            Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

12.            Найдите корень уравнения .

13.            Найдите корень уравнения .

  Вариант 4

1.                 Найдите корень уравнения .

2.                 Найдите корень уравнения .

3.                 Найдите корень уравнения .

4.                 Найдите корень уравнения .

5.                 Найдите корень уравнения .

6.                 Найдите корень уравнения .

7.                 Найдите корень уравнения .

8.                 Решите уравнение .

9.                 Решите уравнение .

10.            Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

11.            Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

12.            Найдите корень уравнения .

13.            Найдите корень уравнения .

Ответы к  контрольной работе

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1 вариант	-57	0	5	-7	16	-68	-0,2	6	-2	-1	3	5,5	10
2 вариант	-33	29	9	3	6	-11	-21	1	8	7	3	2,2	1
3 вариант	-57	125	1	-4	4	-14	0,2	2,75	-0,4	12	-4	1,5	-2
4 вариант	-5	29	-1	-13	5	-51	-10,5	-4	0,8	1	6	4,5	399

 

 

Раздел 7. Векторы в пространстве

Поиск информации по теме «Векторы в пространстве» с последующим ее представлением в кабинете в форме сообщения, презентации.

Тест «Векторы в пространстве»

1.     Какое утверждение неверное?

1)      Любые два противоположно направленных вектора коллинеарны.

2)      Любые два коллинеарных вектора сонаправлены.

3)      Любые два равных вектора коллинеарны.

2.       Какое утверждение неверное?

1)      Длины противоположных векторов не могут быть неравны.

2)      Если длины векторов неравны, то и векторы неравны.

3)      Если длины векторов равны, то и векторы равны.

3.       = k , причем точки A ,B и C не лежат на одной прямой. Прямые AC и BD не могут быть …

1)      параллельными.

2)      пересекающимися.

3)      скрещивающимися.

4.       Векторы    и являются …

1)      равными.

2)      противоположными.

3)      сонаправленными.

5.       Какое утверждение неверное?

1)      Любые два сонаправленных вектора коллинеарны.

2)      Любые два коллинеарных вектора противоположно направлены.

3)      Любые два коллинеарных вектора равны.

6.       Какое утверждение верное?

1)      Если  , , то

2)      Если  , , то

3)      Существуют векторы ,  и  такие, что  и не коллинеарны, и  не коллинеарны,  и коллинеарны.

7.       Какое утверждение неверное?

1)      Если длины векторов равны, то и векторы равны.

2)      Если векторы равны, то их длины равны.

3)      Длины противоположных векторов равны.

8.       = k , причем точки A ,B и C не лежат на одной прямой. Прямые AC и BD являются параллельными если …

1)      k = 1         2)  k = - 1        3) k = 3

РАЗДЕЛ 8. МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

Поиск информации по теме «Метод координат в пространстве» с последующим ее представлением в кабинете в форме сообщения, презентации.

Контрольная работа № 8  по теме  «Векторы и метод координат в пространстве»

 

I уровень

Вариант I

1. Дано: 

 

Найти: а) ; б) значение m, при котором .

Решение:

 если  так как  то 24 – 8m = 0, m = 3.

(Ответ: а)  = 5; б) m = 3.)

2. Дано: А(3; -1; 3); С(2; 2; 3); В(3; -2; 2); D(1; 2; 2).

Найти: угол между прямыми АВ и CD.

Решение: Рассмотрим направляющие векторы  прямых АВ и CD. Найдем координаты  Для нахождения угла J между прямыми АВ и CD воспользуемся формулой  где {x1; y1; z1} -координаты вектора  {x2; y2; z2} - координаты   cos φ = 1/2, следовательно J = 60°. (Ответ: 60°.)

3. Дано: DABC - правильный тетраэдр, АВ = a, D → D1 при симметрии относительно плоскости AВС (рис. 1).

Найти: DD1.

Ads by optAd360

 

 

Решение:

1. DO ⊥ (ABC). O ∈ (ABC) ⇒ 10 → 0. D → D2: OD = OD1 (симметрия относительно плоскости является движением, т.е. сохраняет расстояние между точками) DD1 = 2OD.

2. Найдем длину DO из ΔDOC: ∠DOC = 90°; DC = а (по условию); точка О — центр описанной около ΔAВС окружности ⇒   (Ответ: .)

Вариант II

1. Дано: 

Найдите: а) ; б) значение m, при котором 

Решение:

(Ответ: а) 5; б) m = 6.)

2. Дано: A(1; 1; 2), B(0; 1; 1), С(2; -2; 2), D(2; -3; 1).

Найти: угол между прямыми АВ и CD.

Решение: Аналогично заданию 2 (Вариант № 1) имеем: (-1; 0; -1); (0; -1 ;-1).  (Ответ: 60°.)

3. Дано: DABC - правильный тетраэдр, АВ = a, (ABC) → (A1B1C1) при симметрии относительно точки D (рис. 2).

Найти: расстояние между плоскостями ABC и А1В1С1.

 

Ads by optAd360

Решение:

1. Симметрия относительно точки является движением, следовательно сохраняет расстояние между соответствующими точками. Более того (ABC) || (A1B1C1), ΔАВС = ΔА1В1С1, a DO = DO1. 2DO = ОО1.

2. Аналогичные вычисления (№ 3 Вариант № 1) приводят к аналогичному результату.

(Ответ: .)

II уровень

Вариант I

1. Дано:  

Найти: 

Решение:  так как по условию   так как  Подставим значения скалярных произведений векторов  в  (Ответ: -1.)

2. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб, DM = MD1 (рис. 3).

Найти: угол между прямыми AD1 и ВМ.

Решение:

1. Введем систему координат Bxyz.

2. Рассмотрим направляющие векторы  прямых AD1 и ВМ.  следовательно  Для нахождения угла между прямыми воспользуемся формулой

Ads by optAd360

 где (x1, y1, z1), (x2, y2, z2). Пусть ребро куба АВ = а, тогда В(0; 0; 0); С1(0; а; а); М(а; а; a/2); (0; а; а); (а; а; a/2).  (Ответ: 45°.)

3. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб, АВ = а, В1 → В2 при симметрии относительно плоскости CC1D1 (рис. 4).

Найдите: АВ2.

Решение.

1. Построим точку В2: B1 → В2; В1С1 ⊥ C1D; С1В1 = С1B2.

2. Рассмотрим ΔAB1B2: ∠AB1B2 = 90° (так как B1B2 ⊥ A1B1C1; B1B2 ⊥ AB1). АВ1 = а√2; B1B2 = 2a.  (Ответ: a√6..

Вариант II

1. Дано:  

Найти: 

Решение:  так как 

 (Ответ: 11.)

2. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб (рис. 5).

Найти: угол между прямыми АС и DC1.

Решение:

Ads by optAd360

1. Введем систему координат Axyz.

2. Направляющие векторы  прямых АС и DC. Используя формулу cos φ (приведенную в решении задач варианта 1) найдем φ.  следовательно  Пусть АВ = а, тогда А(0; 0; 0); (0; а; а2); (а; а; 0);  (Ответ: 60°.)

3. Дано: ABCDA1B1C1D1 — куб, АВ = a, D → D2 при симметрии относительно прямой B1D1 (рис. 6).

Найдите: BD2.

Решение:

1. DD1 ⊥ A1D1C1. DD1 = D1D2 (по определению симметрии относительно прямой).

2. ΔDD2B - прямоугольный; DD2 = 2а; DB = а√2 .  (Ответ: a√6.)

III уровень

Вариант I

1. Дано: 

Найдите: 

Решение: 

 (Ответ: 6.)

2. Дано: DABC - пирамида; DA ⊥ DB ⊥ DC; DA = DB = DC = а (рис. 7).

Найдите: угол между плоскостями DAB и ABC.

Ads by optAd360

Решение:

1) АС = AD = DC, ΔАВС - правильный.

2) Угол между плоскостями измеряется величиной двугранного угла. МС ⊥ АВ ⇒ DM ⊥ АВ (теорема о трех перпендикулярах). ∠CMD - угол между плоскостями DAB и ABC.

3) D(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; a; 0), С(0; а; 0), M(a/2; 0; a/2). (-a/2; а; -a/2) : (-a/2; а; -a/2).

3. Дано: a; α; a || α; при движении a → a1, α → α1 (рис. 8).

Доказать: a1 || α1

Если по условию a || α, то все точки прямой находятся на одинаковом расстоянии от α.

Предположим, что при движении a1 не|| α1 значит, a1 ∩ α1 = М, так как точки прямой а1 находятся на различных расстояниях от плоскости α1, а это противоречит тому, что при движении расстояние между точками сохраняется. Значит, предположение неверное, т. е. a1 || α1, что и требовалось доказать.

Вариант II

Ads by optAd360

1. Дано: 

Найти: 

Решение:  (Ответ: √109.)

2. Дано: DABC - пирамида. DA ⊥ DB ⊥ DC; DA = DB = DC = a.

Найти: угол между прямой DA и плоскостью ABC.

Решение:

1. DO ⊥ пл. ABC.

2. φ = ∠DAO; Введем систему координат DABC; D(0; 0; 0); А(а; 0; 0); В(0; а; 0); С(0; 0; a) DO ⊥ (ABC).  ΔABC - правильный.

  (Ответ: .)

3. Дано: b; β; b ∩ β = M, b ⊥ β; b → b1, β → β1 (рис. 9).

Доказать, что b1 ⊥ β1.

Результат движения:

Решение: Выберем произвольные точки А ∈ β; В ∈ β; С ∈ β, b ⊥ β ⇒ AM ⊥ β и ΔАМВ и ΔАМС - прямоугольные. AM2 = АВ2 - ВМ2 = AС2 - СM2. При движении AB = A1B1; АМ = А1М1; АС = А1С1, А1М12 = A1B12 – B1M12 ⇒ A1M1 ⊥ B1M1. А1М12 = A1C12 – C1M12 ⇒ А1М1 ⊥ C1М1, таким образом, А1М1 ⊥ β1 (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, следовательно, b1 ⊥ β1, что и требовалось доказать.

 

 

РАЗДЕЛ 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ

Поиск информации по теме «Тригонометрические формулы» с последующим ее представлением в кабинете в форме сообщения, презентации.

 Контрольная работа № 9 по теме: «Тригонометрические  функции ».

1.                 Найдите значение выражения:

         а)  2cos 60º  - 3 tg45 º +  sin 270 º.

         б). 4sin 210º - ctg 135 º.

2.                 Сравните с нулем значение выражения  , если 90º < < 180 º.

3.                 Найдите значения sin и ctg ,  зная, что cos и   <  < 2p.

4.                 Упростите выражение 

         -----------------------------------------

     5.  Упростите выражение   sin

     6.  Расположите в порядке возрастания числа sin 3p;  соs 0,2;  cos 4,2.

  Тригонометрические уравнения

Поиск информации по теме «Тригонометрические уравнения» с последующим ее представлением в кабинете в форме сообщения, презентации.

 

 Контрольная работа №10 по теме: «Тригонометрические уравнения».

Вариант 1

1. Обведите цифру, соответствующую, правильному ответу.

         1)  =

         2) =1

          3) tg =1

         4) =

2. Напишите формулу сложения синуса и косинуса.

3. Вычислите значения , если известно, что = -

4. Докажите тождество    = tg

 

РАЗДЕЛ 10. ЦИЛИНДР. КОНУС. ШАР. ОБЪЕМЫ ТЕЛ.

Контрольная работа №11 по теме « Объемы тел вращения»

 Вариант 1

1.Осевым сечением цилиндра является:

а) круг; б) треугольник; в) трапеция; г) прямоугольник.

 2. Дан шар, проведено сечение,  радиус шара равен 5 см. Расстояние от центра шара до плоскости сечения равно 4 см. Найдите площадь сечения. (см. рис.)

 

3. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 10 см и образует с основанием угол, синус которого равен . Найдите объем цилиндра.

4. Шар пересечен параллельными плоскостями, расположенными по разные стороны от центра шара. Площадь большего сечения составляет  площади меньшего сечения. Вычислите расстояние между секущими плоскостями, если длина радиуса шара равна 10 см, а площадь большего сечения равна  .

5.Прямоугольный треугольник с катетами  см вращается вокруг гипотенузы. Найдите объем полученного тела вращения.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 2

1.Из перечисленных тел выпишите тела вращения: шар, пирамида, конус, цилиндр, параллелепипед, усеченный конус, усеченная пирамида.

2.  Дан шар, проведено сечение площадь, которого равна , радиус шара равен 10 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости сечения. (см.рис.)

 

3.Диагональ осевого сечения цилиндра равна 13 см и образует с основанием цилиндра угол, косинус которого равен . Найдите объем цилиндра.

4.Сечения шара параллельными плоскостями имеют площади равные 144  и 25 . Вычислите радиус шара, если расстояние между плоскостями равно 17 см, а центр шара лежит между этими плоскостями.

5.Развертка боковой поверхности конуса – сектор с центральным углом . Найдите объем конуса, если периметр его осевого сечения равен 16 см.

 

 

 

Вариант 3

1.Сечением цилиндра плоскостью, параллельной оси, является:

а) трапеция; б) треугольник; в) окружность; г) прямоугольник.

2.Высота конуса равна 8 см, а радиус основания равен 6 см. Вычислите площадь полной поверхности и объем конуса.

3.Шар радиусом 10 см пересечен плоскостью на расстоянии 7 см от центра. Вычислите площадь сечения.

4.Сечения сферы параллельными плоскостями имеют длины 20 см и 48 см. Вычислите радиус сферы, если расстояние между плоскостями равно 14 см, а центры оснований лежат на одном радиусе.

5.Прямоугольный треугольник с катетами  см вращается вокруг гипотенузы. Найдите объем полученного тела вращения.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 4

1.Сечением плоскостью сферы является: 

а) прямоугольник; б) ромб; в) окружность; г) треугольник.

2.Площадь осевого сечения конуса равна 50 , а высота конуса равна 10. Вычислите радиус основания конуса.

3.Высота цилиндра равна 6 см, а радиус его основания – 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, если она удалена от оси цилиндра на расстояние 4 см.

4. Шар пересечен плоскостью. Длина окружности полученного сечения составляет   длины окружности большого круга шара. Расстояние от центра шара до секущей плоскости равно 24 см. Вычислите длину радиуса шара.

5.Развертка боковой поверхности конуса – полукруг. Площадь осевого сечения конуса равна 9 . Найдите объем конуса.

 

Ответы:

	№1	№2	№3	№4	№5
Вариант 1	Г) прямоугольник	9π	96π	14
Вариант 2	Шар, конус, цилиндр, усеченный конус	8	180π	13
Вариант 3	Г) прямоугольник	1) 96π 2) 96π	51π	26
Вариант 4	В) окружность	5	36	30

 

 

 

 

 

 

 

 

РАЗДЕЛ 11. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Поиск информации по теме «Производная и ее геометрический смысл» с последующим ее представлением в кабинете в форме сообщения, презентации

 

 Контрольная работа №12 по теме: «Производная. Геометрический и физический смысл производной»

 

 

 

В а р и а н т 1.    «Производная»                            К-2 Найти производную функции  ( 1 – 3 ): 1.                 2.                 3.                 4.                 Точка  движется  прямолинейно  по  закону  .  Какой  формулой  задается  скорость  движения  этой  точки  в  момент  времени  t. 5.                 Угловой  коэффициент  касательной,  проведенной  к  графику  функции    в точке  с  положительной  абсциссой  ,  равен  2.  Найдите  . 6.                 Найдите  угловой  коэффициент  касательной,  проведенной  к  графику  функции    в  точке  . 7.                 Найдите  сумму  тангенсов  углов  наклона  касательных  к  параболе   в точках  пересечения  параболы   с  осью  абсцисс. 8.                 На  графике  функции    взята  точка А,  наклонена к  оси  абсцисс  под  углом,  тангенс  которого  равен  7,2.  Найдите  абсциссу  точки А. Найдите  производные  функций  ( 9 – 11): 9.                 10.            11.            12.            Найдите  значение  производной функции    в  точке  .

В а р и а н т 2.    «Производная»                            К-2 Найти производную функции  ( 1 – 3 ): 1.                 2.                 3.                 4.                 Тело  движется  по  прямой  так,  что  его скорость  v (м/с)  изменяется  по  закону  .  Какую  скорость  приобретает  тело  в  момент,  когда  его  ускорение  равно  12м/с2. 5.                 Найдите  тангенс угла  наклона  касательной,  проведенной  к  графику функции    в  точке  с абсциссой  . 6.                 Найдите  угловой  коэффициент  касательной,  проведенной  к  параболе    в  точке  с  абсциссой  . 7.                 Найдите  угол  ( в градусах),  образованный  осью  Ох  и  касательной  к  графику  функции   в  точке  8.                 Тело  удаляется  от  поверхности  Земли  по  закону    (t – время,  h – расстояние  от  поверхности  Земли  до  тела).  В  какой  момент  времени  скорость  будет  равна  3? Найдите  производные  функций  ( 9 – 11): 9.                 10.            11.               12.            Найдите  значение  производной  функции    в  точке  .

 

РАЗДЕЛ 12. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ.

  Контрольная работа №13 по теме  «Применение производной к исследованию функций»

Вариант 1

1. Решить неравенство      ≥ 0.

2. Тело движется по закону           х(t)=t³-2t² +5   (х – в метрах, t – в секундах).          Найдите скорость и ускорение тела через 2с после начала движения.

3. Исследовать функцию  f(х)= х² + 7х – 4   на монотонность и экстремумы.

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции       f(х)= х³- 6 х²      на

отрезке  [-2;5].

5. Составьте уравнение касательной к графику функции  f(х)= х² + 2х   в точке  х₀=1.

 

 

Вариант 2

1. Решить неравенство       ≤ 0.

2. Тело движется по закону           х(t)=  + 6t - 1   (х – в метрах, t – в секундах).       Найдите скорость и ускорение тела через 5с после начала движения.

3. Исследовать функцию   f(х)=10 – 4х -  х²   на монотонность и экстремумы.

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции       f(х)= х³- х      на

отрезке  [0;4].

5. Составьте уравнение касательной к графику функции   f(х)= х²-3х+2   в точке  х₀

 

 

ОТВЕТЫ 

№ задания	Вариант 1	Вариант 2
1	[0;](7; ∞)	(-∞;0][5;12)
2	4м/с; 8м/с2	31м/с; 10м/с2
3	f ↓ на х(-∞;-3,5),  f ↑ на х (-3,5; ∞) х=-3,5 точка  min	f ↑ на х(-∞;-2),  f ↓ на х (-2; ∞) х=-2 точка  max
4	уmax=0;    уmin=-32               [-2;5]                [-2;5]	уmax=;    уmin= -;             [0;4]                      [0;4]
5	у=4х-1	у =1-5х

 

 

 

 

 

РАЗДЕЛ 13. ИНТЕГРАЛ.  КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №14 ПО ТЕМЕ: «ИНТЕГРАЛ»

Вариант 1

 

1.                 Найти общий вид первообразных для функции

a)               f(x)= 4sin x + cos3x ;

б) f(x)= x² + 2x .

2.       Найти первообразную функции   f(x)=5х + x², график которой       проходит через точку  (1;3).

 

3.       Вычислить интеграл   х² +х)dx.

 

4.      Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

         у = 3- х  и  у = - х²+2х+3.

                             

Контрольная работа №5 :«Первообразная и интеграл»

Вариант 2

 

1.                 Найти общий вид первообразных для функции

а) f(x)= 3cos x + sin4x;

б) f(x)= х⁵ + x² .

2.       Найти первообразную функции   f(x)=3x²-5, график которой       проходит через точку  (2;10).

 

3.       Вычислить интеграл    х² +2х)dx

       

4.      Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

         у = 3+2х  и  у = х²-2х+3.

 

 

 

Ответы 

№ варианта	Задание 1 а)	Задание 1 б)	Задание 2	Задание 3	Задание 4
1	- 4 + +С	+ С	+	3	4,5
2		+ С	х3- 5х +12	1	10

 

ТЕСТЫ

ТЕМА: «Первообразная и интеграл»

ВАРИАНТ № 1

Задание	Вариант ответа
1.     Среди заданных функций G(x), F(x) и H(x) выберете первообразную для функции                               у = -7 х3	а) G(x)= -21 х2 б) F(x)= -7 х4 в) H(x)=  -  7/4 х4
2.                 Укажите ту функцию, для которой       F(x)= х3 + 3x + С        имеет общий вид первообразной	а) g(x)= 3 х2 + 3 б) h(x)= 3 х2 + 3x + 9 в) φ(x)=  х4/4 + 3
3.     Найдите общий вид первообразных для функции  f(x) =    4 sin x + 2 cos x	а) F(x)= 4cos x – 2sin x + С б) F(x)= - 4cos x + 2sin x + С в) F(x)=  - 4cos x + 2sin x
4.     Найдите общий вид первообразных для функции  f(x) =  2 sin 3 x	а) F(x)= - 1/6  cos 3x + С б) F(x)= - 2/3  cos x + С в) F(x)= - 2/3  cos 3x + С
5.     Найдите общий вид первообразных для функции  f(x) =   (2х – 1)5	а) F(x)= (2х – 1)6/12 + С б) F(x)= (2х – 1)6/6 + С в) F(x)= (2х – 1)6/2 + С
6.     Для функции  f(x) найдите F(x), если      f(x) =  2/ х3   ;    F(1)=1	а) F(x)= - х-2 - 2 б) F(x)= - х-2  + 2 в) F(x)= - 2 х-2 + 3
7.     Верно ли, что на рисунке изображены графики трёх первообразных для некоторой функции?	а) да б) нет
8.     Выберете формулу, по которой можно вычислить площадь фигуры, изображённой на рисунке:	в а) S=∫а f(x)dx                     в б)  S= - ∫а f(x)dx                    в)   S= f(в) - f(а)
9.     Вычислите интеграл          1                                                                   ∫0 4х3dx	а) - 1 б)  4 в)  1
10. По какой формуле нужно находить площадь фигуры, заштрихованной на рисунке:	2 а)   S=∫-1 x2dx                  2 б)  S=∫0 x2dx                  -1  в)  S=∫2 x2dx

 

 

ВАРИАНТ № 2

Задание	Вариант ответа
1.     Среди заданных функций G(x), F(x) и H(x) выберете первообразную для функции                        у =  5 х6	а) G(x)= 5 х7 б) F(x)=  30 х5 в) H(x)=  5х7/7
2.     Укажите ту функцию, для которой                         F(x)=  х4  - 4х + С       имеет общий вид первообразной	а) g(x)= 4 х3  - 4 + С б) h(x)= 4 х3  - 4 х2 + 2 в) φ(x)=  х5/5  - 2 х2
3.     Найдите общий вид первообразных для функции  f(x) =  5 cos x + 2 sin x	а) F(x)= 5 sin x - 2 cos x + С б) F(x)= - 5 sin x - 2 cos x + С в) F(x)= 5 sin x + 2 cos x + С
4.     Найдите общий вид первообразных для функции  f(x) =   3 cos 2x	а) F(x)= - 3/2 sin 2x + С б) F(x)= 3/2 sin 2x + С в) F(x)=  3/2 sin x + С
5.     Найдите общий вид первообразных для функции  f(x) =    (7х – 2)3	а) F(x)= (7х – 2)4/4 + С б) F(x)= 7(7х – 2)4/4 + С в) F(x)= (7х – 2)4/28 + С
6.     Для функции  f(x) найдите F(x), если       f(x) = 2/ х2     ;      F(1)=1	а) F(x)= 2 х-1 + 1 б) F(x)= -2 х-1  + 3 в) F(x)= 2 х-1 - 1
7.     Верно ли, что на рисунке изображены графики трёх первообразных для некоторой функции?	а) да б) нет
8.     Выберете формулу, по которой можно вычислить площадь фигуры, изображённой на рисунке:	в а) S = ∫а f(x)dx                         в б)     S = - ∫а f(x)dx                        a в)   S = - ∫в f(x)dx
9.     Вычислите интеграл          0                                                                   ∫-1 5х4dx	а)  5 б)  -1 в)  1
10. По какой формуле нужно находить площадь фигуры, заштрихованной на рисунке:	1 а) S=∫-2 (х2 +2)dx                 -2 б) S=∫1(х2 +2)dx                               2  в)  S=∫-2 (х2 +2)dx

 

 

ВАРИАНТ № 3

Задание	Вариант ответа
1.     Среди заданных функций G(x), F(x) и H(x) выберете первообразную для функции                               у = -5 х4	а) G(x)= -20 х3 б) F(x)= - х5 в) H(x)=  -  5/4 х5
2.     Укажите ту функцию, для которой       F(x)= х2 - 2x + С        имеет общий вид первообразной	а) g(x)= 2х - 2 б) h(x)= 2 х3 - 2x2 + 2 в) φ(x)=  х3/3 - 2
3.     Найдите общий вид первообразных для функции  f(x) =    6 sin x + 3 cos x	а) F(x)= 6cos x – 3 sin x + С б) F(x)= - 6 cos x + 3 sin x в) F(x)= - 6 cos x + 3 sin x+ С
4.     Найдите общий вид первообразных для функции  f(x) =  5 sin 4 x	а) F(x)=  1/4  cos 5x + С б) F(x)= - 5/4  cos x + С в) F(x)= - 5/4 cos 4x + С
5.     Найдите общий вид первообразных для функции  f(x) =   (1 - 5х)3	а) F(x)= -(1 - 5х)4/20 + С б) F(x)= (1 - 5х)4/4 + С в) F(x)= (1 - 2х)3/3 + С
6.     Для функции  f(x) найдите F(x), если      f(x) =  4/ х5   ;    F(1)=1	а) F(x)= - х-4 - 2 б) F(x)= - х-4  + 2 в) F(x)=  6 х-6 + 3
7.     Верно ли, что на рисунке изображены графики трёх первообразных для некоторой функции?	а) да б) нет
8.     Выберете формулу, по которой можно вычислить площадь фигуры, изображённой на рисунке:	в а) S=-∫а f(x)dx                    в б)  S=  ∫а f(x)dx                    в)   S= f(а) - f(в)
9.     Вычислите интеграл          1                                                                   ∫0 6х5dx	а)  6 б)  -1 в)   1
10. По какой формуле нужно находить площадь фигуры, заштрихованной на рисунке:	1 а)   S=∫-1 (x2 -1)dx                  1 б)  S=∫0 (x2 -1)dx                  -1  в)  S=∫1 (x2 -1)dx

 

 

ВАРИАНТ № 4

Задание	Вариант ответа
1.     Среди заданных функций G(x), F(x) и H(x) выберете первообразную для функции                        у =  9 х8	а) G(x)=  х9 б) F(x)=  72 х7 в) H(x)=  9 х7/7
2.     Укажите ту функцию, для которой                         F(x)=  х5  - 5х + С       имеет общий вид первообразной	а) g(x)= 5 х4  - 5 х2 + С б) h(x)= 5 х6  - 5 х2 в) φ(x)=  5х4  - 5
3.     Найдите общий вид первообразных для функции  f(x) =  4 cos x + 7 sin x	а) F(x)= 4 sin x - 7 cos x + С б) F(x)= - 4 sin x - 7 cos x + С в) F(x)= 4 sin x + 7 cos x + С
4.     Найдите общий вид первообразных для функции  f(x) =   9 cos 3x	а) F(x)= - 3 sin 3x + С б) F(x)= 3 sin 3x + С в) F(x)=  3 sin x + С
5.     Найдите общий вид первообразных для функции  f(x) =    (7х – 2)3	а) F(x)= (7х – 2)4/4 + С б) F(x)= 7(7х – 2)4/4 + С в) F(x)= (7х – 2)4/28 + С
6.     Для функции  f(x) найдите F(x), если       f(x) = 5/ х6     ;      F(1)=1	а) F(x)=  х-5 + 1 б) F(x)= - х-5  + 2 в) F(x)= - х-5 - 1
7.     Верно ли, что на рисунке изображены графики трёх первообразных для некоторой функции?	а) да б) нет
8.     Выберете формулу, по которой можно вычислить площадь фигуры, изображённой на рисунке:	в а) S = ∫а f(x)dx                         в б)     S = - ∫а f(x)dx                        a в)   S = - ∫в f(x)dx
9.     Вычислите интеграл          0                                                                     ∫-1 7х6dx	а)  7 б)  -1 в)  1
10. По какой формуле нужно находить площадь фигуры, заштрихованной на рисунке:	3 а) S=∫0 (х -1)2dx                            3 б) S=∫1(х -1)2dx                               1  в)  S=∫3 (х -1)2dx

 

 

Ключ к тесту

 « ПЕРВООБАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ»:

ВАРИАНТ № 1:    в, а, б, в, а, б, а, а, в, а.

 

ВАРИАНТ № 2:     в, а, а, б, в, б, б, б, в, а.

 

ВАРИАНТ № 3:    б, а, в, в, а, б, б, а, в, а

 

 ВАРИАНТ № 4:   а, в, а, б, в, б, а, а, в, б.   

 

РАЗДЕЛ 14. КОМБИНАТОРИКА

Задачи по комбинаторике

                                                             Вариант№1

Задача 1. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

 

Задача 2. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

Задача 3. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

 

Задача 4. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?

 

Задача 5. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать.

Ответы№1

  Решение 1. Имеем набор {я, я, г, г, г}. Всего перестановок пятиэлементного множества 5!, но мы не должны учитывать перестановки, в которых объекты одного типа меняются местами несколько раз, поэтому нужно поделить на возможное число таких перестановок: 2! · 3!. Получаем в итоге 5! 2! · 3! = 3 · 4 · 5 2 · 3 = 10. Ответ: 10 способов

  Решение 2. Имеем 14 претендентов и 13 рабочих мест. Сначала выберем работников на первую специальность, то есть 4 женщин из 6: C4 6 = 6! 4! · 2! = 15. Далее независимо аналогичным образом выберем мужчин на вторую специальность: C6 8 = 8! 6! · 2! = 28. Осталось 2 женщины, 2 мужчин и 3 вакантных места, которые, по условию, могут занять любые из четырех оставшихся человек. Это может быть сделано 2 вариантами: 1. 1 женщина и 2 мужчин (выбираем женщину C1 2 = 2 способами) 2. 1 мужчина и 2 женщины (выбираем мужчину C1 2 = 2 способами). В итого получаем 15 · 28(2 + 2) = 1680 способов. Ответ: 1680 способов.

  Решение 3. Т.к. все пассажиры должны ехать в разных вагонах, требуется отобрать 4 вагона из 9 с учетом порядка (вагоны отличаются №), эти выборки – размещения из n различных элементов по m элементов, где n=9, m=4. Число таких размещений находим по формуле: A = n ⋅(n − ⋅()1 n − ⋅...)2 ⋅(n − m + )1 m n . Получаем: 9 8 7 6 3024 4 A9 = ⋅⋅⋅ = . ОТВЕТ. 3024 способами можно рассадить в поезде 4 человек

 Решение 4. Не менее 2-х человек, т.е 2+7 или 3+6 или 4+5 человек (5+4, 6+3, 7+2 – те же самые комбинации). В каждой выборке важен только состав, т.к. члены подгруппы не различаются по ролям, т.е. выборки − сочетания из n различных элементов по m элементов, их число: (! !) ! m n m n C m n ⋅ − = , где n!= 1⋅ 2 ⋅3⋅...⋅ n . Число выборок из 2-х человек: 36 1 2 8 9 !7!2 !9 9(!2 !)2 2 !9 9 = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ − C = . Число выборок из 3-х человек: 84 1 2 3 7 8 9 !6!3 !9 9(!3 !)3 3 !9 9 = ⋅⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ − C = . Число выборок из 4-х человек: 126 1 2 3 4 6 7 8 9 !5!4 !9 9(!4 !)4 4 !9 9 = ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ − C = . Применяем правило сложения: 36 84 126 246 4 9 3 9 2 C9 + C + C = + + = способов ОТВЕТ. 246 способов.

  Решение 5. Создавая первую бригаду, отбирают 3 человека из 20, создавая вторую – 5 из оставшихся 17, создавая третью – 12 из оставшихся 12. Для выборок важен только состав (роли членов бригады не различаются). Эти выборки - сочетания из n различных элементов по m элементов, их число: (! !) ! m n m n C m n ⋅ − = . Создавая сложную выборку (из 3-х бригад), воспользуемся правилом умножения: 3 5 12 20 17 12 20! 17! 12! 20! 17! 12! 3! (20 3)! 5! (17 5)! 12! (12 12)! 3! 17! 5! 12! 12! 0! 13 14 15 16 17 18 19 20 7054320. 1 2 3 1 2 3 4 5 N C= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = С С ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ОТВЕТ. 7054320 способов.

Вариант №2

   ЗАДАЧА 1. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду? 

 ЗАДАЧА 2. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?  

   ЗАДАЧА 3. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?   

 ЗАДАЧА 4. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора и Институт? 

  ЗАДАЧА 5. Каких чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается? РЕШЕНИЕ5. Подсчитаем количество чисел от 1 до 999999 (число 1 000 000 содержит единицу, его сразу отбросим), в записи которых нет единиц. Каждую цифру можно выбрать 9 способами (любая цифра кроме 1), поэтому все 6 цифр (по правилу произведения) можно выбрать 6 9 способами (если в числе до значащих цифр стоят нули, мы их просто отбрасываем). При этом один вариант (000000) нужно убрать, так как число 0 не рассматривается. Получаем всего 6 N = − = 9 1 531440 чисел. Так как всего чисел 1 000 000, то видно, что чисел без единицы среди чисел от 1 до 1 000 000 больше, чем тех, в записи которых единица есть.. __

 

 

Ответы вариант№2

 

РЕШЕНИЕ 1. Т.к. известно, что двое мальчиков войдут в команду, то остается отобрать 3 из 8. Для выборки важен только состав (по условию все члены команды не различаются по ролям). Следовательно, выборки – сочетания из n различных элементов по m элементов, их число: (! !) ! m n m n C m n ⋅ − = , где n!= 1⋅ 2 ⋅3⋅...⋅ n , при n=8, m=3. 56 1 2 3 6 7 8 !5!3 !8 8(!3 !)3 3 !8 8 = ⋅⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ − C = . ОТВЕТ. 56 способов сформировать команду

РЕШЕНИЕ 2. Способ 1. В одной игре участвуют 2 человека, следовательно, нужно вычислить, сколькими способами можно отобрать 2-х человек из 15, причем порядок в таких парах не важен. Воспользуемся формулой для нахождения числа сочетаний (выборок, отличающихся только составом) из n различных элементов по m элементов (! !) ! m n m n C m n ⋅ − = , где n!= 1⋅ 2 ⋅3⋅...⋅ n , при n=15, m=2. 105 1 2 14 15 !13!2 !15 15(!2 !)2 2 !15 15 = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ − C = . В процессе решения исключили 13! из15!, т.е. сократили произведение !15 = 1⋅ 2 ⋅3⋅...⋅15 на !13 = 1⋅ 2 ⋅ 3⋅...⋅13, остались после сокращения множители 14 и 15). Способ 2. Первый игрок сыграл 14 партий (с2-м, 3-м, 4-м, и так до 15-го), 2- ой игрок сыграл 13 партий (3-м, 4-м, и т.д. до 15-го, исключаем то, что с первым партия уже была), 3-ий игрок − 12 партий, 4-ый − 11 партий, 5 – 10 партий, 6 – 9 партий, 7 – 8 партий, 8 – 7 партий, 9 – 6 10 – 5 11 – 4 12 – 3 13 – 2 14 – 1, а 15-ый уже играл со всеми. Итого: 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105 партий ОТВЕТ. 105 партий. __ РЕШЕНИЕ 3. Различных дробей из 6 чисел: 3, 5, 7, 11, 13, 17 можно составить 2 6 6! 2 2 5 6 30 4!2! C ⋅ = ⋅ = ⋅ = штук ( 2 C6 способами выбираем два числа из 6, и двумя способами составляем из них дробь: сначала одно число – числитель, другое знаменатель и наоборот). Из этих 30 дробей ровно 15 будут правильные (т.е., когда числитель меньше знаменателя): 2 6 C =15 способами выбираем два числа из 6, и единственным образом составляем дробь так, чтобы числитель был меньше знаменателя. ОТВЕТ. 30; 15. _ 

РЕШЕНИЕ 4. 1) В слове «гора» четыре буквы, все они различны, поэтому можно получить всего 1 N = = ⋅ ⋅ ⋅ = 4! 1 2 3 4 24 различных слова. 2) В слове «институт» 8 букв, из них две буквы «и», три буквы «т» и по одной букве «н», «с» и «у». Поэтому всего можно получить перестановками букв 2 8! 1 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 7 8 3360 2!3!1!1!1! 1 2 1 2 3 1 1 1 N ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ различных слов. ОТВЕТ. 24 и 3360 слов

РЕШЕНИЕ5. Подсчитаем количество чисел от 1 до 999999 (число 1 000 000 содержит единицу, его сразу отбросим), в записи которых нет единиц. Каждую цифру можно выбрать 9 способами (любая цифра кроме 1), поэтому все 6 цифр (по правилу произведения) можно выбрать 6 9 способами (если в числе до значащих цифр стоят нули, мы их просто отбрасываем). При этом один вариант (000000) нужно убрать, так как число 0 не рассматривается. Получаем всего 6 N = − = 9 1 531440 чисел. Так как всего чисел 1 000 000, то видно, что чисел без единицы среди чисел от 1 до 1 000 000 больше, чем тех, в записи которых единица есть.

 

РАЗДЕЛ 15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.       Решения задач на  определение вероятностей

 

 Задача 1: Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в 3 места.

 Задача 2: Абонент забыл последние 2 цифры телефонного номера, но помнит, что они различны и образуют двузначное число, меньшее 30. С учетом этого он набирает наугад 2 цифры. Найти вероятность того, что это будут нужные цифры.

2.       Задача 3. Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не пустые.

 

Задача 4: На шахматную доску случайным образом поставлены две ладьи. Какова вероятность, что они не будут бить одна другую?

 

Задача 5. Шесть рукописей случайно раскладывают по пяти папкам. Какова вероятность того, что ровно одна папка останется пустой?

 

вариант 2

Задача  1. Цифры 1, 2, 3, …, 9, выписанные на отдельные карточки складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что число, написанное на этой карточке: а) четное; б) двузначное.

 

Задача  2. На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.

 

Задача 3. На каждой из пяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: "а", "м", "р", "т", "ю". Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех вынутых по одной карточке можно прочесть слово "юрта". 

 

Задача 4. Ребенок имеет на руках 5 кубиков с буквами: А, К, К, Л, У. Какова вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла"?

 

 Задача 5. Пятитомное собрание сочинений расположено на полке в случайном   порядке. Какова вероятность того, что книги стоят слева направо в порядке нумерации томов (от 1 до 5)?

 

Ответы

Вариант № 1

 Решение 1: Вероятность набрать верную цифру из десяти равна по условию 1/10. Рассмотрим следующие случаи:
1. первый звонок оказался верным, вероятность равна 1/10 (сразу набрана нужная цифра).
2. первый звонок оказался неверным, а второй - верным, вероятность равна 9/10*1/9=1/10 (первый раз набрана неверная цифра, а второй раз верная из оставшихся девяти цифр).
3. первый и второй звонки оказались неверными, а третий - верным, вероятность равна 9/10*8/9*1/8=1/10 (аналогично пункту 2).

Всего получаем P=1/10+1/10+1/10=3/10=0,3P=1/10+1/10+1/10=3/10=0,3 - вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места.

Ответ: 0,3

Решение 2: Используем классическое определение вероятности: P=m/nP=m/n, где mm - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а nn - число всех равновозможных элементарных исходов.
m=1m=1, так как только одно число правильное. Подсчитаем количество всех возможных двузначных чисел с разными цифрами, меньшее 30, которые может набрать абонент:

Таких чисел n=18n=18 штук. Тогда искомая вероятность P=1/18P=1/18.

Ответ: 1/18.

Решение 3 : Используем классическое определение вероятности: P=m/nP=m/n, где mm - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а nn - число всех равновозможных элементарных исходов.

m=6m=6, так как есть только три случая расположения 6 шаров по 3 ящикам, чтобы во всех ящиках оказалось разное число шаров: (1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (3, 1, 2).

Всего случаев расположения 6 шаров по 3 ящикам, чтобы ни один ящик не остался пустым равно

m=C3−16−1=C25=5!2!3!=4⋅51⋅2=10.m=C6−13−1=C52=5!2!3!=4⋅51⋅2=10.

Тогда искомая вероятность P=6/10=0,6P=6/10=0,6.

Ответ: 0,6.

Решение 4: Используем классическое определение вероятности: P=m/nP=m/n, где mm - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а nn - число всех равновозможных элементарных исходов.

Число всех способов расставить ладьи равно n=64⋅63=4032n=64⋅63=4032 (первую ладью ставим на любую из 64 клеток, а вторую - на любую из оставшихся 63 клеток).

Число способов расставить ладьи так, что они не будут бить одна другую равно m=64⋅(64−15)=64⋅49=3136m=64⋅(64−15)=64⋅49=3136 (первую ладью ставим на любую из 64 клеток, вычеркиваем клетки, которые находятся в том же столбце и строке, что и данная ладья, затем вторую ладью ставим на любую из оставшихся после вычеркивания 49 клеток).

Тогда искомая вероятность P=3136/4032=49/63=7/9=0,778.P=3136/4032=49/63=7/9=0,778.

Ответ: 7/9.

Решение 5: Используем классическое определение вероятности: P=m/nP=m/n, где mm - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а nn - число всех равновозможных элементарных исходов.

Подсчитаем n=C66+5−1=C610=210n=C6+5−16=C106=210 - число различных способов разложить 6 рукописей по 5 папкам, причем в каждой папке может быть любое количество рукописей.

Теперь подсчитаем m=5⋅C4−16−1=5⋅C35=50m=5⋅C6−14−1=5⋅C53=50 - число способов разложить 6 рукописей по 4 папкам, причем в каждой папке должно быть не менее одной рукописи. При этом нужно полученное число сочетаний умножить на 5, так как папку, которая останется пустой, можно выбрать 5 способами.

Искомая вероятность Р=50/210=5/21.Р=50/210=5/21.

Ответ: 5/21.

Ответы

  Вариант №2

Решение 1: Используем классическое определение вероятности: P=m/nP=m/n, где mm - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а nn - число всех равновозможных элементарных исходов.

Случай а) n=9n=9, так как всего 9 различных карточек. m=4m=4, так как всего на 4 карточках написаны четные числа (2, 4, 6, 8). Тогда P=4/9.P=4/9.

Случай б) n=9n=9, так как всего 9 различных карточек. m=0m=0, так как на всех карточках написаны однозначные числа. Тогда P=0/9=0P=0/9=0.

Ответ: 4/9, 0.

Решение 2: Используем классическое определение вероятности: P=m/nP=m/n, где nn - число всех равновозможных элементарных исходов, mm - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события AA = (Тома стоят в порядке возвозрастания номера слева направо, но не обязательно рядом).

n=40⋅39⋅38=59280n=40⋅39⋅38=59280, так как первый том можно поставить на любое из 40 мест, второй - на любое из 39 мест и третий - на любое из оставшихся 38 мест. А число

m=C340=40!37!3!=40⋅39⋅381⋅2⋅3=9880.m=C403=40!37!3!=40⋅39⋅381⋅2⋅3=9880.

Тогда искомая вероятность

P(A)=mn=988059280=16.P(A)=mn=988059280=16.

Ответ: 1/6.

Решение 3: Используем классическое определение вероятности: P=m/nP=m/n, где mm - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а nn - число всех равновозможных элементарных исходов.

n=5⋅4⋅3⋅2=120n=5⋅4⋅3⋅2=120 способов, так как первую карточку (букву) можно вытянуть (выбрать) 5 способами (так как всего карточек пять), вторую - 4 (осталось к этому шагу четыре), третью - 3 и четвертую - 2 способами.
m=1m=1, так как искомая последовательность карточек "ю", потом "р", потом "т", потом "а" только одна.

Получаем вероятность P=1/120P=1/120.

Ответ: 1/120.

Решение 4: Используем формулу классической вероятности: P=m/nP=m/n, где nn - число всех равновозможных элементарных исходов, mm - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события.

Число различных перестановок из букв А, К, К, Л, У равно

n=5!1!2!1!1!=1⋅2⋅3⋅4⋅51⋅2=60,n=5!1!2!1!1!=1⋅2⋅3⋅4⋅51⋅2=60,

из них только одна соответствует слову "кукла" (m=1m=1), поэтому по классическому определению вероятности вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла" равна P=1/60P=1/60.

Ответ: 1/60.

 Решение 5. Используем классическое определение вероятности: m P n = , где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n – число всех возможных элементарных исходов. n = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 5! 1 2 3 4 5 120 - число различных перестановок из 5 книг на полке. Найдем число благоприятствующих описанному в задаче событию исходов – есть только одна расстановка, когда книги стоят слева направо в порядке нумерации томов (от 1 до 5), то есть m =1. Искомая вероятность 1 0,0083. 120 P = ≈ ОТВЕТ: 0,0083

 

 

РАЗДЕЛ 16. ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ

Контрольная работа №15 «Итоговое повторение»

 

Вариант№1

 

Решение:  Упражнение 1. Найти указанные

При подстановке вместо переменно х ее предельного значения 3 получается неопределенность вида . Для избавления от этого типа неопределенности в этом случае представим квадратные трехчлены числителя и знаменателя в виде произведения линейных множителей, воспользовавшись известной формулой , где - корни квадратного трехчлена . У нас , т.к. дискриминант квадратного трехчлена , а следовательно,  .

Аналогично .

Теперь условие примера можно переписать а другом виде и продолжить решение:

.

.

Здесь сталкиваемся с неопределенностью вида , избавиться от которой можно вынесением за скобки в числителе и знаменателе дроби старшей степени переменной: .

 .

В данном случае для освобождения от возникшей неопределенности вида будем использовать I замечательный предел и одно из его очевидных следствий:

.

Решение примера будет выглядеть следующим образом:

 

Упражнение 2. Найти производные, пользуясь правилами и формулами дифференцирования.

Решение:

Кроме формул дифференцирования нужно использовать правила дифференцирования (суммы, разности, произведения, частного).

Необходима и теорема о производной сложной функции:

если задана сложная функция , где , то есть ; если каждая из функций  и  дифференцируема по своему аргументу, то

.

 

1.                 , ,

.

,

 

Упражнение 3. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и начертить график.

Исследование функции и построение графика рекомендуется проводить по следующей схеме:

1.                 найти область определения функции D(y);

2.                 найти точки экстремума функции и определить интервалы ее монотонности;

3.                 найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;

4.                 найти асимптоты графика функции;

5.                 построить график, используя результаты предыдущих исследований;

6.                 дополнительно найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке .

Решение:

Дана функция: 

1.                 Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть D(y): , а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и график ее не имеет вертикальных асимптот.

2.                 Исследуем функцию на экстремум и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:

Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки I рода х₁ = -5, х₂ = -1. Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума:

Упражнение 4. Задан закон s(t) изменения пути движения материальной точки; нужно найти значения скорости и ускорения этой точки в момент времени t₀.

 

Решение:

Пусть .

Известно, что значения скорости и ускорения материальной точки в некоторый момент времени являются соответственно значениями в этот момент I и II производных функции, задающей закон изменения пути движения точки.

У нас 

(ед. ск.)

(ед. уск.)

 

 

Упражнение 5. Найти неопределенные интегралы

а) способом подстановки (методом замена переменной) , ;

б) применяя метод интегрирования по частям , .

Решение:

а) : применим подстановку . Тогда  и 

: применим подстановку . Тогда ,

, откуда 

б) : применим формулу интегрирования по частям .

Положим . Тогда .

Следовательно, .

: положим . Тогда .

Отсюда . Применяя в последнем интеграле подстановку , получаем , следовательно, .

Отсюда .

 

Вариант №2

 

Упражнение 1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения I порядка .

Решение:

Правая часть уравнения  обладает свойством . Поэтому заданное уравнение является однородным дифференциальным уравнением I порядка. Совершим замену , где - некоторая функция от аргумента х. Отсюда . Исходное уравнение приобретает вид .

Продолжаем преобразования: ; .

Производим разделение переменных: .

После интегрирования обеих частей уравнения получаем

;

.

Таким образом ; .

Потенцируя, находим  или ; .

Итак, общий интеграл исходного уравнения приобретает вид

, где С – произвольная постоянная.

 

Упражнение 2. Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами:

а) 

б) 

в) 

Решение:

а) Для заданного дифференциального уравнения составим соответствующее характеристическое уравнение по принципу: . Решаем полученное квадратное уравнение и получаем два вещественных разных корня .

Т.к. , то общее решение данных уравнений записывается в виде . В нашем случае , где - произвольные постоянные.

Отсюда , .

Используя начальные условия : , т.е. .

Из того что  следует , т.е. , .

Решая систему уравнений , получаем .

Теперь в наше общее решение  подставим найденные значения . Частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, приобретает вид .

б) Для заданного дифференциального уравнения составим соответствующее характеристическое уравнение по принципу: . Решаем полученное квадратное уравнение и получаем два равных вещественных корня .

Т.к. , то общее решение данных уравнений записывается в виде . В нашем случае , где - произвольные постоянные.

Отсюда , .

Учитывая начальные условия, получаем систему уравнений для определения : . Решая систему, получаем .

Искомое частное решение имеет вид: 

в) Для заданного дифференциального уравнения  составим соответствующее характеристическое уравнение . Решая это уравнение, убеждаем, что оно не имеет вещественных корней.

В этом случае общее решение соответствующего дифференциального уравнения записывается в виде , где  - коэффициенты характеристического уравнения).

У нас  поэтому общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид .

Отсюда .

Таким образом, для определения значений  исходя из начальных условий, получаем систему уравнений ,

решая которую имеем .

Итак, искомое частное решение приобретает вид

 

 Упражнение 3. Определенный интеграл

 Вычислить определенный интеграл

⁴ x dx

 

Упражнение 4. Применение интеграла к вычислению площадей

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями  x=0,   x=/2,  f₁(x) = sin x, f₂(x) = cos x

 

Упражнение 5. Основные теоремы теории вероятностей

Найдите член  разложения  (x+ ₄)¹⁰,   не содержащий х (т.е. содержащий х в нулевой степени)

 

 

 

3.2.3 ЗАДАНИЯ ДЛЯ ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ (ЭКЗАМЕН).

 

 

 РАЗДЕЛ 4.  Критерии оценивания.

 

 

Промежуточная аттестация проводится в конце 2 семестра в форме экзамена.  Оценка результатов освоения программы происходит с использованием пятибалльной системы оценивания знаний. Используются следующие критерии оценки:

Оценка	Критерий
«5»	Работа выполнена в заданное время, самостоятельно, с соблюдением определенных требований, качественно и творчески
«4»	Работа выполнена в заданное время, самостоятельно, с соблюдением определенных требований, при выполнении отдельных алгоритмов действий допущены небольшие отклонения, общий вид объекта достаточно аккуратный
«3»	Работа выполнена в заданное время, самостоятельно, с нарушением заданной последовательности, отдельные алгоритмы действия выполнены с отклонением от образца, объект оформлен небрежно или не в заданный срок
«2»	Обучаемый самостоятельно не справился с работой, последовательность нарушена, при выполнении алгоритмов действия допущены большие отклонения, объект оформлен небрежно и имеет незавершенный вид

Критерии и нормы оценки знаний, умений и навыков обучающихся по математике

1. Оценка письменных контрольных работ обучающихся по математике.

Ответ оценивается отметкой «5», если:

·                     работа выполнена полностью;

·                     в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

·                     в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится в следующих случаях:

·                     работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

·                     допущены одна ошибка или есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

·                      допущено более одной ошибки или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.

 Отметка «2» ставится, если:

·                     допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Отметка «1» ставится, если:

·                     работа показала полное отсутствие у обучающегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.

Преподаватель  может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии обучающегося; за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные обучающемуся дополнительно после выполнения им каких-либо других заданий.

Ответ оценивается отметкой «5», если ученик:

·                     полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном программой и учебником;

·                     изложил материал грамотным языком, точно используя математическую терминологию и символику, в определенной логической последовательности;

·                     правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;

·                     показал умение иллюстрировать теорию конкретными примерами, применять ее в новой ситуации при выполнении практического задания;

·                     продемонстрировал знание теории ранее изученных сопутствующих тем,  сформированность и устойчивость используемых при ответе умений и навыков;

·                     отвечал самостоятельно, без наводящих вопросов преподавателя;

·                     возможны одна – две  неточности при освещение второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил после замечания преподавателя.

Ответ оценивается отметкой «4», если удовлетворяет в основном требованиям на оценку «5», но при этом имеет один из недостатков:

·                     в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившее математическое содержание ответа;

·                     допущены один – два недочета при освещении основного содержания ответа, исправленные после замечания преподавателя;

·                     допущены ошибка или более двух недочетов  при освещении второстепенных вопросов или в выкладках,  легко исправленные после замечания преподавателя.

Отметка «3» ставится в следующих случаях:

·                     неполно раскрыто содержание материала (содержание изложено фрагментарно, не всегда последовательно), но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для усвоения программного материала (определены «Требованиями к математической подготовке обучающихся» в настоящей программе по математике);

·                     имелись затруднения или допущены ошибки в определении математической терминологии, чертежах, выкладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов преподавателя;

·                     студент не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по данной теме;

·                     при достаточном знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность основных умений и навыков.

 Отметка «2» ставится в следующих случаях:

·                     не раскрыто основное содержание учебного материала;

·                     обнаружено незнание учеником большей или наиболее важной части учебного материала;

·                     допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.

 

3. Общая классификация ошибок.

При оценке знаний, умений и навыков обучающихся следует учитывать все ошибки (грубые и негрубые) и недочёты.

3.1. Грубыми считаются ошибки:

-незнание определения основных понятий, законов, правил, основных положений теории, незнание формул, общепринятых символов  

обозначений величин, единиц их измерения;

-незнание наименований единиц измерения;

-неумение выделить в ответе главное;

-неумение применять знания, алгоритмы для решения задач;

-неумение делать выводы и обобщения;

-неумение читать и строить графики;

-неумение пользоваться первоисточниками, учебником и справочниками;

-потеря корня или сохранение постороннего корня;

-отбрасывание без объяснений одного из них;

-равнозначные им ошибки;

-вычислительные ошибки, если они не являются опиской;

- логические ошибки.

  К негрубым ошибкам следует отнести:

-неточность формулировок, определений, понятий, теорий, вызванная неполнотой охвата основных признаков определяемого понятия или заменой одного - двух из этих признаков второстепенными;

-неточность графика;

-нерациональный метод решения задачи или недостаточно продуманный план ответа (нарушение логики, подмена отдельных основных вопросов второстепенными);

-нерациональные методы работы со справочной и другой литературой;

-неумение решать задачи, выполнять задания в общем виде.

  Недочетами являются:

-нерациональные приемы вычислений и преобразований;

-небрежное выполнение записей, чертежей, схем, графиков.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

а) основная литература:

1.                 Алимов Ш.А., Колягин Ю.М.,Ткачева М.В. и др. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений: базовый уровень – М.: Просвещение, 2016

2.                 Анатасян Л.С..,Бутузов В.Ф.,Кадомцев С.Б. и др. Геометрия,10-11: учебник для общеобразоват. учреждений /-М.: Просвещение , 2018(баз.и проф. ур.)

б) дополнительная литература для студентов:

·                   учебники:

1.                 Башмаков М.И. Математика: учебник для 10 класса: среднее (полное) общее образование (базовый уровень) / М.И. Башмаков.-2-е изд. Испр. – М.: Издательский центр «Академия», 2017

2.                 Башмаков М.И. Математика: учебник для 11 класса: среднее (полное) общее образование (базовый уровень) / М.И. Башмаков.-2-е изд. Испр. – М.: Издательский центр «Академия», 2016

3.                 Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений – М.: Просвещение, 2017

4.                 Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений – М: Просвещение  2016 г.

·                   учебные пособия:

1.                 Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы – М: Дрофа 2018

2.                 Дорофеев, Г.В. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. 11 класс/ Г.В. Дорофеев, Г.К. Муравин, Е.А. Седова.- М.: Дрофа, 2017

3.                 Математика: тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного  и вступительного экзаменов/ сост. Г.К. Ковалева, Т.И. Бузулина, О.Л. Безрукова, Ю.А. Розка.-Волгоград: Учитель, 2018

·                   справочно-библиографическая литература:

1.                 Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М. Просвещение, 20016 г.

2.                  Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М. Роскнига, 2016г.

3.                 Энциклопедия для детей. В 15 т. Т.11.Математика / под. редакцией М.Д. Аксенова.- И.: Мир энциклопедий Аванта +, 2017

в) дополнительная литература для преподавателя:

·                   учебники:

1.                 Башмаков М.И. Математика: учебник для 10 класса: среднее (полное) общее образование (базовый уровень) / М.И. Башмаков.-2-е изд. Испр. – М.: Издательский центр «Академия», 2017

2.                 Башмаков М.И. Математика: учебник для 11 класса: среднее (полное) общее образование (базовый уровень) / М.И. Башмаков.-2-е изд. Испр. – М.: Издательский центр «Академия», 2017

3.                 Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений – М.: Просвещение, 2018

4.                 Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений – М: Просвещение  2017 г.

·                   учебные пособия:

1.                 Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы – М: Дрофа 2017

2.                 Геометрия. 10-11 классы: тесты для текущего и обобщающего контроля/авт.-сост.Г.И. Ковалева, Н.И. Мазурова.-Волгоград: Учитель, 2018

3.                 Глазков Ю.А., Боженкова Л.И.Тесты по геометрии: 10 класс: к учебнику Л.С. Атанасяна и др. «Геометрия .10-11 классы».-М.: Издательство «Экзамен», 2016

4.                 Ивлев Б.М.,Саакян С.М., Шварцбург С.И. Дидактические материалы по Алгебре и началам анализа для 10 класса – М: Просвещение, 2018

5.                 Рабочие программы по геометрии: 6-11 классы/ Сост. Н.Ф. Гаврилова.- М: ВАКО, 2017

6.                 Поурочные разработки по геометрии. 10 класс/ Сост.В.А. Яровенко.- .- М: ВАКО, 2017

7.                 Алгебра и начала анализа. 10 класс: поурочные планы (по учебнику Ш.А. Алимова и др.) 1 полугодие/Авт. сост. Г.И. Григорьева. – Волгоград: Учитель, 2017

8.                 Алгебра и начала анализа. 10 класс: поурочные планы (по учебнику Ш.А. Алимова и др.) 2 полугодие/Авт. сост. Г.И. Григорьева. – Волгоград: Учитель, 2017

9.                 Алгебра и начала анализа. 11 класс: поурочные планы (по учебнику Ш.А. Алимова и др.) 1 полугодие/Авт. сост. Г.И. Григорьева. – Волгоград: Учитель, 2017

10.            Алгебра и начала анализа. 11 класс: поурочные планы (по учебнику Ш.А. Алимова и др.) 1 полугодие/Авт. сост. Г.И. Григорьева. – Волгоград: Учитель, 2017

11.            Поурочные разработки по геометрии. 10 класс/ Сост.В.А. Яровенко.- .- М: ВАКО, 2016

12.            Поурочные разработки по геометрии. 11 класс/ Сост.В.А. Яровенко.- .- М: ВАКО, 2016

·                   справочно-библиографическая литература:

1.                 Перельман Я.И. Занимательная арифметика.- М: Просвещение,    2018г.

·                   периодические издания

1.                 Газета «Математика» - приложение к газете «Первое сентября».

   г) Интернет – ресурсы:

1.                        Новые технологии в образовании:  http://edu.secna.ru/main

2.                        Путеводитель «В мире науки» для школьников: http://www.uic.ssu.samara.ru

3.                        Мегаэнциклопедия Кирилла и Мефодия:  http://mega.km.ru 

4.                        Сайты «Энциклопедий»: http://www.rubricon.ru/;    http://www.encyclopedia.ru

5.                        Сайт для самообразования и он-лайн тестирования:  http://uztest.ru/

6.                        Министерство образования РФ: http://www.informika.ru ; http://www.ed.gov.ru ; http:www.edu.ru

7.                        Тестирование online: 5-11 классы: http://www.kokch.kts.ru/cdo

8.                        Педагогическая мастерская , уроки в Интернет и многое другое: ; http://www.teacher.fio.ru ;

9.                        Сайты «Мир энциклопедий», например:  http://www.rubricon.ru; http://www.encyclopedia.ru

10.                    http://www.ege.ru − «Единый госэкзамен». Раздел официальной информации от Министерства образования РФ. Здесь можно получить информацию по Единому госэкзамену, имеются интерактивные демоверсии тестов ЕГЭ, проводятся дискуссии и голосования;

11.                    http://www.bitnet.ru/demo-ege – «Демонстрационные тесты ЕГЭ». Интерактивные демонстрационные версии тестов Единого госэкзамена;

12.                    http://www.mathege.ru  – электронная база первой части работы ЕГЭ 2012 по математике, варианты ЕГЭ в новом формате;

13.                    http://www.resolventa.ru/demo/training.htm – Интерактивные версии тестов Единого госэкзамена;

14.                    http://www.alexlarin.narod.ru и http://www.alleng.ru/. На сайтах расположено много полезного материала при подготовке к ЕГЭ по математике;

15.                    http:www.standart.ru – сайт «Федеральный Государственный образовательный стандарт». На сайте расположены нормативные и концептуальные документы; учебно-методические пособия и методические рекомендации по вопросам стандарта второго поколения;

16.                    http://school-collection.edu.ru − хранилище единой коллекции цифровых образовательных ресурсов, где представлен широкий выбор электронных пособий;

17.                    http://wmolow.edu.ru − федеральная система информационно-образовательных ресурсов (информационный портал);

18.                    http://fcior.edu.ru - хранилище интерактивных электронных образовательных ресурсов;

19.                    http://www.numbernut.com/ − все о математике. Материалы для изучения и преподавания математики в школе. Тематический сборник: числа, дроби, сложение, вычитание и пр. Теоретический материал, задачи, игры, тесты;

20.                    http://www.math.ru − удивительный мир математики/ Коллекция книг, видео-лекций, подборка занимательных математических фактов. Информация об олимпиадах, научных школах по математике. Медиатека;

21.                    http://physmatica.narod.ru − «Физматика». Образовательный сайт по физике и математике для школьников, их родителей и педагогов;

22.                    http:www.int.ru – сеть творческих учителей. Методические пособия для учителя; учебно-методические пособия; словари; справочники; монографии; учебники; рабочие тетради; статьи периодической печати;

23.                    http://methath.chat.ru – Методика преподавания математики Материалы по методике преподавания математики; обсуждение наболевших вопросов преподавания математики в средней школе. Авторы — учителя математики, имеющие большой опыт преподавательской и методической работы;

24.                    http://www.bymath.net – Средняя математическая интернет-школа: страна математики. Учебные пособия по разделам математики: теория, примеры, решения. Задачи и варианты контрольных работ;

25.                    http://www.mccme.ru – Московский центр непрерывного математического образования. Документы и статьи о математическом образовании. Информация об олимпиадах, дистанционная консультация;

26.                    http://teacher.ru – «Учитель.ру». Педагогические мастерские, Интернет-образование. Дистанционное образование. Каталог ресурсов «в помощь учителю»;

27.                    http://vischool.r2.ru – «Визуальная школа». Представлена информация об использовании визуальных дидактических материалов в учебном процессе, визуальные уроки, визуальные дидактические материалы;

28.                    http://sbiryukova.narod.ru – Краткая история математики: с древних времен до эпохи Возрождения. Портреты и биографии. События и открытия;

29.                    http://ok.on.ufanet.ru/zoo – Знакомство со специальными функциями (Зоопарк чудовищ). Курс лекций, посвященный знакомству со специфическим разделом математики — специальными функциями;

30.                    http://www.nt.ru/tp/iz/zs.htm – Золотое сечение. Геометрия золотого сечения: построения и расчеты;

31.                    http://www.tmn.fio.ru/wo rks/ – Правильные многогранники: любопытные факты, история, применение. Теорема Эйлера. Платоновы и Архимедовы тела. Биографические сведения о Платоне, Архимеде, Евклиде и других ученых, имеющих отношение к теме. Многогранники в искусстве и архитектуре. Занимательные сведения о некоторых линиях Линии: определения, любопытные факты, примеры использования. Гипербола, парабола, эллипс, синусоида, спираль, циклоида, кардиоида;

32.                    http://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm – мир математических уравнений. Информация о решениях различных классов алгебраических, интегральных, функциональных и других математических уравнений. Таблицы точных решений. Описание методов решения уравнений. Электронная библиотека;

33.                    http://mathc.chat.ru – Математический калейдоскоп: случаи, фокусы, парадоксы. Математика и математики, математика в жизни. Случаи и биографии, курьезы и открытия;

34.                    http://zadachi.yain.net − «Задачи и их решения». Задачи и решения из разных дисциплин, в том числе по математике, программированию, теории вероятностей, логике.

 

 

 

 

Скачано с www.znanio.ru