Конспект урока математики "Правильные многогранники"
Оценка 4.8 (более 1000 оценок)

Конспект урока математики "Правильные многогранники"

Оценка 4.8 (более 1000 оценок)
Разработки уроков
doc
математика
10 кл—11 кл
14.01.2020
Открытый урок информатики с использованием современных образовательных технологий

150.000₽ призовой фонд • 11 почетных документов • Свидетельство публикации в СМИ

Опубликовать материал

КОНКУРСурок Многогранники.doc

Методическая разработка урока математики.

Тема урока: «Правильные многогранники»

Математика владеет не только истиной,

но и высшей красотой...

Бертран Рассел

Цели урока:

·       Предметная: освоить представление о правильных многогранниках, изучить  их историю, сформулировать теорему Эйлера, показать  связь математики  с жизнью.

·       Метапредметная: формирование компетентности в сфере самостоятельной познавательной деятельности, формирование навыков работы в команде, развитие творческих способностей личности, формирование пространственных представлений, умение обобщать, систематизировать, видеть закономерности.

·       Личностная: продолжить воспитание у обучающихся уважительного отношения друг к другу, честности, чувства товарищества, культуры общения, чувства ответственности, воспитывать культуру делового общения, воспитание эстетического чувства, умения слушать, формирование интереса к предмету.

Оборудование: мультимедийный проектор,  модели многогранников

Тип урока: урок сообщения новых знаний

Вид урока: проблемный урок

Формы проведения урока: фронтальная, индивидуальная, парная, групповая

 

Ход урока:

 

       I.            Организационный этап. Перед тем, как обучающиеся сядут за парты,  проводится деление на три группы (с помощью трёх цветов карточек, обучающиеся определяются за какой стол они сядут – жёлтый, оранжевый, зелёный)

Проверить готовность к уроку. Проверить посещаемость занятия.

Создание «ситуации успеха»:

Преподаватель. Я уверена, что при изучении сегодняшней темы у вас всё получится, и вы со всем справитесь. Успехов вам!

Как много в нашем мире красоты,

Которой, часто, мы не замечаем.

Все потому, что каждый день встречаем

Её давно знакомые черты.

Мы знаем, что красивы облака,

Река, цветы, лицо любимой мамы,

И Пушкина, летящая строка,

И то, что человек

Красив делами…

Но, можно ли всё это объяснить?

И что подскажут в этом нам науки?

Взгляните, мир чудесен и красив

Надеюсь, что урок пройдет без скуки.

Преподаватель. Выбирая цвет карточки, вы объединились в группы, в которых будете сегодня трудиться, и зарабатывать баллы. Баллы за правильные ответы или хорошие выступления вы будете ставить себе сами. На ваших столах лежат листочки с тем цветом, который вы выбрали. У нас есть дерево, а вот за каждый правильный ответ - листочки к дереву вы будете прикреплять сами. И в конце урока будет видно, какая группа работала с полной отдачей.

   II.            Определение темы и целей занятия, мотивация целевого компонента.

Преподаватель. На столе вашему вниманию представлены модели.

- Каким общим словом можно назвать все эти модели? (многогранники)

- Дайте определение многогранника (многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело).

- А из каких основных элементов состоит любой многогранник? (грани, рёбра, вершины)

- Некоторые из них мы рассматривали на прошлых уроках. Назовите их  и уберите из общей массы (призма, пирамида, параллелепипед, куб – поочерёдно убираются, остаются правильные многогранники – тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр, преподаватель возвращает куб со словами: «Для чего, вы сами поймёте через несколько минут»).

- Скажите, пожалуйста, чем являются грани этих многогранников и что их объединяет? (поверхность состоит из правильных многоугольников).

- Итак, тема сегодняшнего урока …. «Правильные многогранники».

- Есть в математике особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести тему сегодняшнего урока. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники.

-  Подумайте, каковы цели сегодняшнего урока? (Сегодня на уроке мы получим представление о правильных многогранниках, узнаем их название, познакомимся с их историей, узнаем об их применениях в жизни, будем работать в командах и соревноваться).

- А ещё сформулируем теорему Эйлера и найдём ей практическое применение. Данный материал пригодится нам при изучении объемов многогранников и при решении задач на комбинацию геометрических тел.

III.            Актуализация опорных знаний.

- Итак, вернёмся с вами к изученным многогранникам

1)    Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

- Что вы видите на слайде? (пирамида Хеопса)

Крупнейшая из египетских пирамид, памятник архитектурного искусства Древнего Египта; единственное из «Семи чудес света», сохранившееся до наших дней, и самое древнее из них: её возраст оценивается примерно в 4500 лет.

 - А знаете вы, что энергия формы пирамиды “умеет делать” очень многое:

·       растворимый кофе, например, постояв под пирамидой, приобретает вкус натурального;

·       мясо, рыба, яйца, овощи, фрукты  не портятся; молоко долго не киснет; сыр не плесневеет.

- А вот ещё интересный факт про свойства пирамид.

Сообщение. В 1998 году на крыше Тольяттинской городской больницы Александром Голодом и его сотрудниками была построена Пирамида высотой 11 метров. Эта Пирамида пользуется большой популярностью в Тольятти, и, по отзывам врачей больницы, очень эффективно помогает в лечебном процессе (в несколько раз ускорятся процесс выздоровления пациентов при применении эффекта формы Пирамиды в лечебном процессе).

Преподаватель. Разгадки этих явлений ещё не раскрыты учёными, может в будущем это сделать предстоит вам?

Преподаватель. Что такое куб?

2)  Куб – параллелепипед, у которого все грани квадраты.

Преподаватель. Дайте, пожалуйста, определение грани многогранника (Грани -  это многоугольники, из которых составлен многогранник или грани – это многоугольники, которые его образуют)

- Что такое ребро многогранника (это стороны граней).

- Дайте определение вершины многогранника (это концы рёбер или по-другому, это вершины многоугольников)

Преподаватель. А сейчас мы с вами переходим к изучению новой темы.

IV.            Изучение нового материала.

Эпиграфом сегодняшнего урока я взяла слова Бертрана Рассела: «Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой…»

1)    Создание проблемы.

Преподаватель:  А как вы думаете, какую форму имеют драгоценные камни? (форму многогранников)

         С незапамятных времён тянется история драгоценных кристаллов. Пример тому – история одного из самых замечательных алмазов – алмаза «Кохинор», который в 1848 году попал как военный трофей в сокровищницу английской короны. Он был великим достоянием Англии, но на вид был невзрачный. И тогда английская королева дала указание ювелиру сделать огранку вдоль рёбер алмаза золотой нитью, но ювелир не смог справиться с решением, так как алмаз ему не показали, а лишь сообщили, что число вершин – 54, граней – 48, а длина ребра равна 4 мм.

- А из вас сможет кто-то решить эту проблему? (нет). Я уверена, что к концу этого урока каждый из вас сможет побывать на месте ювелира и решить эту задачу.

2)    Определение названий правильных многогранников.

- А пока давайте с вами дадим правильные названия этим пяти многогранникам. На слайде вам дается подсказка, а вы самостоятельно формулируете название каждого правильного многогранника. Я только скажу вам, что названия правильных многогранников пришли к нам из Древней Греции и образованы относительно количества граней, из которых состоят.

         По гречески «эдра» - это грань; «тетра» - это 4; «гекса» - 6; «окта» - 8; «додека» - 12; «икоса» - 20. Итак, дайте название каждому правильному многограннику (формулируют названия).

3)    История многогранников.

А сейчас, я приглашаю вас в «Мир многогранников». И начнём мы с их истории…

     Сообщение. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

 Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора.

 Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной.

Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел.

Преподаватель. Ещё один учёный древности, которого заинтересовало мироздание, это великий греческий философ Платон.

Четыре фазы Луны в древности связывались с четырьмя стихиями. Как вы думаете, какими? (земля, вода, огонь, воздух).

Именно Платон изложил учение пифагорейцев о правильных многогранниках, которые поэтому и стали называть….? (правильно, Платоновыми телами).

Платон связал с этими телами формы атомов основных стихий природы. Как вы думаете, какими соображениями он при этом руководствовался? Давайте с вами соотнесём все стихии с правильными многогранниками и представим себя древнегреческими учёными.

Итак, как вы думаете, какой стихии и почему можно сопоставить куб? тетраэдр? октаэдр? икосаэдр? (мнения обучающихся)

·       Форма куба – атомы земли, т.к. и земля, и куб отличаются неподвижностью и устойчивостью.

·       Форма тетраэдра – атомы огня, т.к. тетраэдр наиболее остр, кажется, что он мечется в разные стороны.

·       Форма октаэдра – атомы воздуха, ибо воздух движется взад и вперед и октаэдр как бы направлен одновременно в разные стороны

·       Форма икосаэдра – атомы воды, т.к. вода отличается своей текучестью, а из всех правильных тел икосаэдр – наиболее «катящийся».

Преподаватель. Но стихий всего 4, а многогранников – 5.

- Для 5-ого Платон вводит пятый элемент – «пятую сущность», атомам которого придается форма наиболее близкого к шару, самому совершенному телу на земле, многогранника.

- Какой из правильных многогранников, по утверждению Платона,

представляет «пятую сущность» - «мировой эфир» и почему? (додекаэдр, как наиболее близкий к шару – это Вселенная).

Преподаватель: Конечно, пифагорейско-платоновская теория пяти стихий Мироздания вызывает сегодня лишь вежливую улыбку. Но это была одна из первых попыток – чего, как вы думаете? (обсуждение – возможно, кто-то из участников обсуждения предложит вариант «систематизация»).

4)    Применение многогранников в жизни.

Правильные многогранники на протяжении всей истории человечества не переставали восхищать пытливые умы симметрией, мудростью и совершенством форм.

Преподаватель:  С многогранниками мы встречаемся в нашей жизни постоянно – это кубики, которыми играют дети; шестиугольные соты, которые пчелы строили задолго до появления человека.

- Вашим домашним заданием было выяснить, где же еще встречаются многогранники?

- Итак, в искусстве?

Сообщение 1. Леонардо да Винчи любил мастерить каркасы правильных тел и преподносить в дар знатным особам, возможно, пытаясь таким образом приобщить сильных мира сего к философским размышлениям о красоте вечных истин.

Сообщение 2. На картине Сальвадора Дали «Тайная вечеря» (1955г.) Христос и его ученики изображены сидящими внутри огромного прозрачного додекаэдра.

2. в природе.    

1.     Поваренная соль, кристаллы которой имеют форму куба.

2.     Кристалл алмаза имеет форму октаэдра, причём природные алмазы используются в офтальмологии, для изготовления хрусталика глаза, но главное место алмазов – на ювелирном олимпе.

Преподаватель:  Природа продолжает творить божественные фигуры, преподнося нам изумительные открытия и необычные геометрические подарки.

3. в архитектуре и строительстве

Преподаватель: Александрийский маяк, который был построен в III веке до н.э.

Преподаватель: а вот посмотрите современные здания. (слайд)

- А где у нас в городе вы наблюдали многогранники? (здания построены в виде параллелепипедов)

- А посмотрите, пожалуйста, на слайд. Какое здание вы видите? (здание краеведческого музея в нашем городе)

- А какие многогранники использованы в архитектуре этого здания? (на крыше видны две пирамиды).

Преподаватель:    Посмотрите на следующий слайд. Что вы видите? (Главный общественно-политический и историко-художественный комплекс, официальная резиденция Президента Российской Федерации), Московский Кремль на сегодняшний день является самой крупной крепостью на всей территории России, а также самой крупной сохранившейся и действующей крепостью Европы).

 

                                - А Спасская башня на площади Красной
И детям, и взрослым знакома прекрасно.
Посмотришь на башню, обычная с виду,
А что на вершине у ней? Пирамида!

- Кстати, в 1937-м на сооружение поместили навершие в виде рубиновой звезды.

- А сейчас послушайте ещё одно интересное сообщение о применении многогранников в строительстве.

Сообщение.  Ричард Фуллер — американский архитектор и изобретатель разработал пространственную конструкцию «геодезического купола» представляющего собой полусферу, собранную из тетраэдров. Система Фуллера создается из алюминиевых трубок, образующих ребра своеобразных сот, ячейки которых имеют форму тетраэдров и октаэдров. Геодезический купол используется при постройке ботанических садов, залов для различных мероприятий, бассейнов, ресторанов.

Преподаватель: А знаете вы, что «Геодезические купола» на практике доказали способность выдерживать порывы ураганного ветра скоростью до 338 км в час, в собранном виде легко перебрасываются по воздуху; их охотно используют в труднодоступных районах.

- А кто-нибудь из вас видел макет «геодезического купола»? (на детских площадках)

4. в биологии

Сообщение. Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр.

5)    Практическая (исследовательская) работа  - проблемный поиск (Работа с раздаточным материалом – модели правильных многогранников).

Преподаватель:  А сейчас вам предстоит поработать в группах. Давайте установим связь между вершинами, гранями и рёбрами многогранника.

Задание:

1)   Определите название многогранника.

2)   Посчитайте число граней, число ребер, число вершин.

3)   Заполните таблицу.

4)   Установите закономерности и сделайте выводы.

Название многогранника

Число вершин

(В)

Число граней

(Г)

Число ребер

(Р)

Эйлерова характеристика

В + Г – Р =

тетраэдр

4

4

6

4 + 4 – 6 = 2

куб

8

6

12

8 + 6 – 12 = 2

октаэдр

6

8

12

6 + 8 – 12 = 2

икосаэдр

12

20

30

12 + 20 – 30 = 2

додекаэдр

20

12

30

20 + 12 – 30 = 2

Обучающиеся  после выполнения задания проводят взаимопроверку (меняются карточками с другими группами) и проверяют и анализируют работу одногруппников (по слайдам).

Преподаватель: Какой столбик вы заполнили быстро, не приступив к подсчётам и почему? (число граней, так как по названию правильного многогранника можно определить количество его граней).

- Сделайте общий вывод… (сумма вершин и граней на 2 больше количества рёбер).

- Вы пришли к формулировке удивительной теоремы, связанной с именем величайшего математика Леонарда Эйлера (1707-1783), швейцарца по происхождению, большую часть жизни жившего и работающего в России.

- Эта теорема справедлива для любого выпуклого многогранника. И в этом вы сможете убедиться, выполнив творческое домашнее задание (сделать модели изученных многогранников и на них проверить Эйлерову характеристику).

   V.            Закрепление изученного материала.

Преподаватель:  Итак, часто природа сама выбирает правильные многогранники. Попробуйте и вы отгадать выбор природы.

Группам обучающимся раздаются карточки с заданиями (работа в парах). Задание выполняется быстро, так как в карточках есть информация, услышанная во время урока.

Карточка 1Отгадайте правильный многогранник:

1.     Грани этого многогранника связаны с “золотым сечением”.

2.     Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана, кристаллы которого имеют форму _________.

3.     Его удобно использовать для печати календарей.

4.     Правильный _____________ изображен на картине С. Дали “Тайная вечеря”.

5.     В школе Пифагора этот многогранник символизировал Вселенную

1)    грани додекаэдра связаны с “золотым сечением”

2)    кристаллы сернистого колчедана имеют форму додекаэдра

Карточка 2Отгадайте правильный многогранник:

1.     Этот многогранник был игральной костью династии Птолемеев.

2.     Форму вируса гриппа часто сравнивают с формой этого многогранника.

3.     Его форму имеет кристалл бора. Бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

4.     В школе Пифагора этот многогранник символизировал воду.

(кристалл бора имеет форму икосаэдра, который использовался для создания полупроводников первого поколения).

В карточках последовательно зашифрованы додекаэдр и икосаэдр.

Преподаватель: Почему вы быстро смогли определить каждый многогранник? (потому что во время урока звучала информация, которая даёт характеристику правильного многогранника в карточках).

- А есть что-то новое, что вы узнали из этих карточках? Если есть, то назовите.

Обучающиеся озвучивают новый факт о многограннике (по каждой карточке).

Преподаватель:  А теперь давайте с вами вернёмся к задаче, которую мы не смогли решить в начале урока. Итак, какие знания, полученные сегодня, вам помогут правильно подсчитать длину огранки золотой нити? (теорема Эйлера, связывающая грани, вершины и рёбра многогранника).

- А почему ювелир не смог решить эту задачу? (не знал, как связаны грани, рёбра и вершины выпуклого многогранника, т.е. не знал теорему Эйлера (Эйлерову характеристику))

- Вам даётся 2 минуты, чтобы каждый из вас мог побывать ювелиром и решить, а затем объяснить данную задачу.

Решение: дано - число вершин – 54, граней – 48, длина ребра равна 4 мм.

В+Г-Р=2, т.е. 54+48-Р=2, отсюда Р=102-2=100 (получили, что в знаменитом алмазе «Колхинор»100 ребер). Так как длина каждого ребра равна 4 мм, то 4*100=400 мм=40 см=0,4 м (длина такой золотой нити потребуется для огранки всего алмаза)

VI.            Подведение итогов. Итоговое обсуждение.

- Итак, подведём итог урока и ответим на вопросы

1)    К чему привело изучение многогранников учёными древности, средних веков и наших дней?

·        Многогранники изучали учёные и древности, и средних веков, но идеи Пифагора и Платона оказались удивительно современными.

·        Это были первые попытки систематизации окружающего нас мира.

2)    Сколь значимы многогранники?

Многогранники – это не выдумка учёных, не абстракция, они окружают нас в жизни, в природе, в искусстве.

3)    Что такое Эйлерова характеристика?

Мы узнали теорему Эйлера (сумма вершин и граней на 2 больше количества рёбер), которая справедлива для любого выпуклого многогранника.

Преподаватель:  давайте с вами решим:  цели урока, которые вы ставили на начало, в конце урока достигнуты? (да, узнали название правильных многогранников, их историю, их применение, вывели теорему Эйлера, решили проблему с золотой нитью, а самое главное дружно работали в командах).

- А теперь давайте с вами посмотрим на наше дерево и определим, какая же команда работала в полную силу, а какой необходимо подтянуться в изучении этой темы. Выставление оценок

Преподаватель:  Как вы думаете в течение всего урока мы доказали справедливость слов Бертрана Рассела, что математика владеет не только истиной, но и высшей красотой? (мнения обучающихся)

- Да, действительно, мы нашли точки соприкосновения со множеством предметов и явлений, а в этом и есть великая сила и тайна математики.

VII.            Рефлексия. «БУКЕТ НАСТРОЕНИЯ»

Преподаватель: У вас на столах стоит букет, составленный из многогранников. Так как мы с вами команда, то давайте с вами вместе составим один «Букет настроения», в котором цветы:

·       красного цвета  будут обозначать, что у вас есть проблема,  и вам нужна помощь;

·       зеленого цвета  – вам не всё было понятно на уроке;

·       все остальные цвета – урок вам понравился, и вы всё поняли.

.

VIII.            Домашнее задание. Учебник М.И.Башмаков «Математика»

1 уровень – прочитать с.155-156 учебника;

2 уровень – составить опорный конспект на тему «Правильные многогранники»;

3 уровень – решить задачу №8.2 задачника

Творческое задание – изготовить модели изученных многогранников и на них проверить Эйлерову характеристику.

И закончить урок мне хочется стихами…

Без математики, поверьте, никуда!

Теория и практика – они на все года.

Узнали мы сегодня дивный мир,

Мир многогранников и тайну величин.

 

 

 

 

скачать по прямой ссылке