Конспект урока математики "Правильные многогранники"

Методическая разработка урока математики.

Тема урока: «Правильные многогранники»

Математика владеет не только истиной,

но и высшей красотой...

Бертран Рассел

Цели урока:

·       Предметная: освоить представление о правильных многогранниках, изучить  их историю, сформулировать теорему Эйлера, показать  связь математики  с жизнью.

·       Метапредметная: формирование компетентности в сфере самостоятельной познавательной деятельности, формирование навыков работы в команде, развитие творческих способностей личности, формирование пространственных представлений, умение обобщать, систематизировать, видеть закономерности.

·       Личностная: продолжить воспитание у обучающихся уважительного отношения друг к другу, честности, чувства товарищества, культуры общения, чувства ответственности, воспитывать культуру делового общения, воспитание эстетического чувства, умения слушать, формирование интереса к предмету.

Оборудование: мультимедийный проектор,  модели многогранников

Тип урока: урок сообщения новых знаний

Вид урока: проблемный урок

Формы проведения урока: фронтальная, индивидуальная, парная, групповая

 

Ход урока:

 

       I.            Организационный этап. Перед тем, как обучающиеся сядут за парты,  проводится деление на три группы (с помощью трёх цветов карточек, обучающиеся определяются за какой стол они сядут – жёлтый, оранжевый, зелёный)

Проверить готовность к уроку. Проверить посещаемость занятия.

Создание «ситуации успеха»:

Преподаватель. Я уверена, что при изучении сегодняшней темы у вас всё получится, и вы со всем справитесь. Успехов вам!

Как много в нашем мире красоты,

Которой, часто, мы не замечаем.

Все потому, что каждый день встречаем

Её давно знакомые черты.

Мы знаем, что красивы облака,

Река, цветы, лицо любимой мамы,

И Пушкина, летящая строка,

И то, что человек

Красив делами…

Но, можно ли всё это объяснить?

И что подскажут в этом нам науки?

Взгляните, мир чудесен и красив

Надеюсь, что урок пройдет без скуки.

Преподаватель. Выбирая цвет карточки, вы объединились в группы, в которых будете сегодня трудиться, и зарабатывать баллы. Баллы за правильные ответы или хорошие выступления вы будете ставить себе сами. На ваших столах лежат листочки с тем цветом, который вы выбрали. У нас есть дерево, а вот за каждый правильный ответ - листочки к дереву вы будете прикреплять сами. И в конце урока будет видно, какая группа работала с полной отдачей.

   II.            Определение темы и целей занятия, мотивация целевого компонента.

Преподаватель. На столе вашему вниманию представлены модели.

- Каким общим словом можно назвать все эти модели? (многогранники)

- Дайте определение многогранника (многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело).

- А из каких основных элементов состоит любой многогранник? (грани, рёбра, вершины)

- Некоторые из них мы рассматривали на прошлых уроках. Назовите их  и уберите из общей массы (призма, пирамида, параллелепипед, куб – поочерёдно убираются, остаются правильные многогранники – тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр, преподаватель возвращает куб со словами: «Для чего, вы сами поймёте через несколько минут»).

- Скажите, пожалуйста, чем являются грани этих многогранников и что их объединяет? (поверхность состоит из правильных многоугольников).

- Итак, тема сегодняшнего урока …. «Правильные многогранники».

- Есть в математике особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести тему сегодняшнего урока. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники.

-  Подумайте, каковы цели сегодняшнего урока? (Сегодня на уроке мы получим представление о правильных многогранниках, узнаем их название, познакомимся с их историей, узнаем об их применениях в жизни, будем работать в командах и соревноваться).

- А ещё сформулируем теорему Эйлера и найдём ей практическое применение. Данный материал пригодится нам при изучении объемов многогранников и при решении задач на комбинацию геометрических тел.

III.            Актуализация опорных знаний.

- Итак, вернёмся с вами к изученным многогранникам

1)    Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

- Что вы видите на слайде? (пирамида Хеопса)

Крупнейшая из египетских пирамид, памятник архитектурного искусства Древнего Египта; единственное из «Семи чудес света», сохранившееся до наших дней, и самое древнее из них: её возраст оценивается примерно в 4500 лет.

 - А знаете вы, что энергия формы пирамиды “умеет делать” очень многое:

·       растворимый кофе, например, постояв под пирамидой, приобретает вкус натурального;

·       мясо, рыба, яйца, овощи, фрукты  не портятся; молоко долго не киснет; сыр не плесневеет.

- А вот ещё интересный факт про свойства пирамид.

Сообщение. В 1998 году на крыше Тольяттинской городской больницы Александром Голодом и его сотрудниками была построена Пирамида высотой 11 метров. Эта Пирамида пользуется большой популярностью в Тольятти, и, по отзывам врачей больницы, очень эффективно помогает в лечебном процессе (в несколько раз ускорятся процесс выздоровления пациентов при применении эффекта формы Пирамиды в лечебном процессе).

Преподаватель. Разгадки этих явлений ещё не раскрыты учёными, может в будущем это сделать предстоит вам?

Преподаватель. Что такое куб?

2)  Куб – параллелепипед, у которого все грани квадраты.

Преподаватель. Дайте, пожалуйста, определение грани многогранника (Грани -  это многоугольники, из которых составлен многогранник или грани – это многоугольники, которые его образуют)

- Что такое ребро многогранника (это стороны граней).

- Дайте определение вершины многогранника (это концы рёбер или по-другому, это вершины многоугольников)

Преподаватель. А сейчас мы с вами переходим к изучению новой темы.

IV.            Изучение нового материала.

Эпиграфом сегодняшнего урока я взяла слова Бертрана Рассела: «Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой…»

1)    Создание проблемы.

Преподаватель:  А как вы думаете, какую форму имеют драгоценные камни? (форму многогранников)

         С незапамятных времён тянется история драгоценных кристаллов. Пример тому – история одного из самых замечательных алмазов – алмаза «Кохинор», который в 1848 году попал как военный трофей в сокровищницу английской короны. Он был великим достоянием Англии, но на вид был невзрачный. И тогда английская королева дала указание ювелиру сделать огранку вдоль рёбер алмаза золотой нитью, но ювелир не смог справиться с решением, так как алмаз ему не показали, а лишь сообщили, что число вершин – 54, граней – 48, а длина ребра равна 4 мм.

- А из вас сможет кто-то решить эту проблему? (нет). Я уверена, что к концу этого урока каждый из вас сможет побывать на месте ювелира и решить эту задачу.

2)    Определение названий правильных многогранников.

- А пока давайте с вами дадим правильные названия этим пяти многогранникам. На слайде вам дается подсказка, а вы самостоятельно формулируете название каждого правильного многогранника. Я только скажу вам, что названия правильных многогранников пришли к нам из Древней Греции и образованы относительно количества граней, из которых состоят.

         По гречески «эдра» - это грань; «тетра» - это 4; «гекса» - 6; «окта» - 8; «додека» - 12; «икоса» - 20. Итак, дайте название каждому правильному многограннику (формулируют названия).

3)    История многогранников.

А сейчас, я приглашаю вас в «Мир многогранников». И начнём мы с их истории…

     Сообщение. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

 Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора.

 Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной.

Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел.

Преподаватель. Ещё один учёный древности, которого заинтересовало мироздание, это великий греческий философ Платон.

Четыре фазы Луны в древности связывались с четырьмя стихиями. Как вы думаете, какими? (земля, вода, огонь, воздух).

Именно Платон изложил учение пифагорейцев о правильных многогранниках, которые поэтому и стали называть….? (правильно, Платоновыми телами).

Платон связал с этими телами формы атомов основных стихий природы. Как вы думаете, какими соображениями он при этом руководствовался? Давайте с вами соотнесём все стихии с правильными многогранниками и представим себя древнегреческими учёными.

Итак, как вы думаете, какой стихии и почему можно сопоставить куб? тетраэдр? октаэдр? икосаэдр? (мнения обучающихся)

·       Форма куба – атомы земли, т.к. и земля, и куб отличаются неподвижностью и устойчивостью.

·       Форма тетраэдра – атомы огня, т.к. тетраэдр наиболее остр, кажется, что он мечется в разные стороны.

·       Форма октаэдра – атомы воздуха, ибо воздух движется взад и вперед и октаэдр как бы направлен одновременно в разные стороны

·       Форма икосаэдра – атомы воды, т.к. вода отличается своей текучестью, а из всех правильных тел икосаэдр – наиболее «катящийся».

Преподаватель. Но стихий всего 4, а многогранников – 5.

- Для 5-ого Платон вводит пятый элемент – «пятую сущность», атомам которого придается форма наиболее близкого к шару, самому совершенному телу на земле, многогранника.

- Какой из правильных многогранников, по утверждению Платона,

представляет «пятую сущность» - «мировой эфир» и почему? (додекаэдр, как наиболее близкий к шару – это Вселенная).

Преподаватель: Конечно, пифагорейско-платоновская теория пяти стихий Мироздания вызывает сегодня лишь вежливую улыбку. Но это была одна из первых попыток – чего, как вы думаете? (обсуждение – возможно, кто-то из участников обсуждения предложит вариант «систематизация»).

4)    Применение многогранников в жизни.

Правильные многогранники на протяжении всей истории человечества не переставали восхищать пытливые умы симметрией, мудростью и совершенством форм.

Преподаватель:  С многогранниками мы встречаемся в нашей жизни постоянно – это кубики, которыми играют дети; шестиугольные соты, которые пчелы строили задолго до появления человека.

- Вашим домашним заданием было выяснить, где же еще встречаются многогранники?

- Итак, в искусстве?

Сообщение 1. Леонардо да Винчи любил мастерить каркасы правильных тел и преподносить в дар знатным особам, возможно, пытаясь таким образом приобщить сильных мира сего к философским размышлениям о красоте вечных истин.

Сообщение 2. На картине Сальвадора Дали «Тайная вечеря» (1955г.) Христос и его ученики изображены сидящими внутри огромного прозрачного додекаэдра.

2. в природе.    

1.     Поваренная соль, кристаллы которой имеют форму куба.

2.     Кристалл алмаза имеет форму октаэдра, причём природные алмазы используются в офтальмологии, для изготовления хрусталика глаза, но главное место алмазов – на ювелирном олимпе.

Преподаватель:  Природа продолжает творить божественные фигуры, преподнося нам изумительные открытия и необычные геометрические подарки.

3. в архитектуре и строительстве

Преподаватель: Александрийский маяк, который был построен в III веке до н.э.

Преподаватель: а вот посмотрите современные здания. (слайд)

- А где у нас в городе вы наблюдали многогранники? (здания построены в виде параллелепипедов)

- А посмотрите, пожалуйста, на слайд. Какое здание вы видите? (здание краеведческого музея в нашем городе)

- А какие многогранники использованы в архитектуре этого здания? (на крыше видны две пирамиды).

Преподаватель:    Посмотрите на следующий слайд. Что вы видите? (Главный общественно-политический и историко-художественный комплекс, официальная резиденция Президента Российской Федерации), Московский Кремль на сегодняшний день является самой крупной крепостью на всей территории России, а также самой крупной сохранившейся и действующей крепостью Европы).

 

                                - А Спасская башня на площади Красной
И детям, и взрослым знакома прекрасно.
Посмотришь на башню, обычная с виду,
А что на вершине у ней? Пирамида!

- Кстати, в 1937-м на сооружение поместили навершие в виде рубиновой звезды.

- А сейчас послушайте ещё одно интересное сообщение о применении многогранников в строительстве.

Сообщение.  Ричард Фуллер — американский архитектор и изобретатель разработал пространственную конструкцию «геодезического купола» представляющего собой полусферу, собранную из тетраэдров. Система Фуллера создается из алюминиевых трубок, образующих ребра своеобразных сот, ячейки которых имеют форму тетраэдров и октаэдров. Геодезический купол используется при постройке ботанических садов, залов для различных мероприятий, бассейнов, ресторанов.

Преподаватель: А знаете вы, что «Геодезические купола» на практике доказали способность выдерживать порывы ураганного ветра скоростью до 338 км в час, в собранном виде легко перебрасываются по воздуху; их охотно используют в труднодоступных районах.

- А кто-нибудь из вас видел макет «геодезического купола»? (на детских площадках)

4. в биологии

Сообщение. Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр.

5)    Практическая (исследовательская) работа  - проблемный поиск (Работа с раздаточным материалом – модели правильных многогранников).

Преподаватель:  А сейчас вам предстоит поработать в группах. Давайте установим связь между вершинами, гранями и рёбрами многогранника.

Задание:

1)   Определите название многогранника.

2)   Посчитайте число граней, число ребер, число вершин.

3)   Заполните таблицу.

4)   Установите закономерности и сделайте выводы.

Название многогранника	Число вершин (В)	Число граней (Г)	Число ребер (Р)	Эйлерова характеристика В + Г – Р =
тетраэдр	4	4	6	4 + 4 – 6 = 2
куб	8	6	12	8 + 6 – 12 = 2
октаэдр	6	8	12	6 + 8 – 12 = 2
икосаэдр	12	20	30	12 + 20 – 30 = 2
додекаэдр	20	12	30	20 + 12 – 30 = 2

Обучающиеся  после выполнения задания проводят взаимопроверку (меняются карточками с другими группами) и проверяют и анализируют работу одногруппников (по слайдам).

Преподаватель: Какой столбик вы заполнили быстро, не приступив к подсчётам и почему? (число граней, так как по названию правильного многогранника можно определить количество его граней).

- Сделайте общий вывод… (сумма вершин и граней на 2 больше количества рёбер).

- Вы пришли к формулировке удивительной теоремы, связанной с именем величайшего математика Леонарда Эйлера (1707-1783), швейцарца по происхождению, большую часть жизни жившего и работающего в России.

- Эта теорема справедлива для любого выпуклого многогранника. И в этом вы сможете убедиться, выполнив творческое домашнее задание (сделать модели изученных многогранников и на них проверить Эйлерову характеристику).

   V.            Закрепление изученного материала.

Преподаватель:  Итак, часто природа сама выбирает правильные многогранники. Попробуйте и вы отгадать выбор природы.

Группам обучающимся раздаются карточки с заданиями (работа в парах). Задание выполняется быстро, так как в карточках есть информация, услышанная во время урока.

Карточка 1. Отгадайте правильный многогранник:

1.     Грани этого многогранника связаны с “золотым сечением”.

2.     Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана, кристаллы которого имеют форму _________.

3.     Его удобно использовать для печати календарей.

4.     Правильный _____________ изображен на картине С. Дали “Тайная вечеря”.

5.     В школе Пифагора этот многогранник символизировал Вселенную

1)    грани додекаэдра связаны с “золотым сечением”

2)    кристаллы сернистого колчедана имеют форму додекаэдра

Карточка 2. Отгадайте правильный многогранник:

1.     Этот многогранник был игральной костью династии Птолемеев.

2.     Форму вируса гриппа часто сравнивают с формой этого многогранника.

3.     Его форму имеет кристалл бора. Бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

4.     В школе Пифагора этот многогранник символизировал воду.

(кристалл бора имеет форму икосаэдра, который использовался для создания полупроводников первого поколения).

В карточках последовательно зашифрованы додекаэдр и икосаэдр.

Преподаватель: Почему вы быстро смогли определить каждый многогранник? (потому что во время урока звучала информация, которая даёт характеристику правильного многогранника в карточках).

- А есть что-то новое, что вы узнали из этих карточках? Если есть, то назовите.

Обучающиеся озвучивают новый факт о многограннике (по каждой карточке).

Преподаватель:  А теперь давайте с вами вернёмся к задаче, которую мы не смогли решить в начале урока. Итак, какие знания, полученные сегодня, вам помогут правильно подсчитать длину огранки золотой нити? (теорема Эйлера, связывающая грани, вершины и рёбра многогранника).

- А почему ювелир не смог решить эту задачу? (не знал, как связаны грани, рёбра и вершины выпуклого многогранника, т.е. не знал теорему Эйлера (Эйлерову характеристику))

- Вам даётся 2 минуты, чтобы каждый из вас мог побывать ювелиром и решить, а затем объяснить данную задачу.

Решение: дано - число вершин – 54, граней – 48, длина ребра равна 4 мм.

В+Г-Р=2, т.е. 54+48-Р=2, отсюда Р=102-2=100 (получили, что в знаменитом алмазе «Колхинор»100 ребер). Так как длина каждого ребра равна 4 мм, то 4*100=400 мм=40 см=0,4 м (длина такой золотой нити потребуется для огранки всего алмаза)

VI.            Подведение итогов. Итоговое обсуждение.

- Итак, подведём итог урока и ответим на вопросы

1)    К чему привело изучение многогранников учёными древности, средних веков и наших дней?

·        Многогранники изучали учёные и древности, и средних веков, но идеи Пифагора и Платона оказались удивительно современными.

·        Это были первые попытки систематизации окружающего нас мира.

2)    Сколь значимы многогранники?

Многогранники – это не выдумка учёных, не абстракция, они окружают нас в жизни, в природе, в искусстве.

3)    Что такое Эйлерова характеристика?

Мы узнали теорему Эйлера (сумма вершин и граней на 2 больше количества рёбер), которая справедлива для любого выпуклого многогранника.

Преподаватель:  давайте с вами решим:  цели урока, которые вы ставили на начало, в конце урока достигнуты? (да, узнали название правильных многогранников, их историю, их применение, вывели теорему Эйлера, решили проблему с золотой нитью, а самое главное дружно работали в командах).

- А теперь давайте с вами посмотрим на наше дерево и определим, какая же команда работала в полную силу, а какой необходимо подтянуться в изучении этой темы. Выставление оценок

Преподаватель:  Как вы думаете в течение всего урока мы доказали справедливость слов Бертрана Рассела, что математика владеет не только истиной, но и высшей красотой? (мнения обучающихся)

- Да, действительно, мы нашли точки соприкосновения со множеством предметов и явлений, а в этом и есть великая сила и тайна математики.

VII.            Рефлексия. «БУКЕТ НАСТРОЕНИЯ»

Преподаватель: У вас на столах стоит букет, составленный из многогранников. Так как мы с вами команда, то давайте с вами вместе составим один «Букет настроения», в котором цветы:

·       красного цвета  будут обозначать, что у вас есть проблема,  и вам нужна помощь;

·       зеленого цвета  – вам не всё было понятно на уроке;

·       все остальные цвета – урок вам понравился, и вы всё поняли.

.

VIII.            Домашнее задание. Учебник М.И.Башмаков «Математика»

1 уровень – прочитать с.155-156 учебника;

2 уровень – составить опорный конспект на тему «Правильные многогранники»;

3 уровень – решить задачу №8.2 задачника

Творческое задание – изготовить модели изученных многогранников и на них проверить Эйлерову характеристику.

И закончить урок мне хочется стихами…

Без математики, поверьте, никуда!

Теория и практика – они на все года.

Узнали мы сегодня дивный мир,

Мир многогранников и тайну величин.