Конспект урока по теме "Взаимно-обратные функции"

Взаимно обратные
функции

Если каждому значению х из некоторого множества действительных чисел поставлено в соответствие по определённому правилу f число у, то, говорят, что на этом множестве определена функция.

Задача.
у = f (x), x - !
Найти значение у при заданном значении х.

Задача.

у = f (x), у- !

Найти значение х при заданном значении у.

Дано: у = 2х + 3
Найти: у (5)
Решение:
у (5) = 2 · 5 + 3 = 13
Ответ: у (5) = 13

Дано: у = 2х + 3, у (х) = 42
Найти: х
Решение:
42 = 2х + 3
2х = 39
х = 19,5
Ответ: у (19,5) = 42

Прямая

Обратная

Дано:

Найти: t – ?
Решение:

, т.е.

Обратимая функция

Обратная функция к v( t )

Если функция у = f ( х ) принимает каждое своё значение у только при одном значении х, то эту функцию называют обратимой.

Пусть у = f(x) – обратимая функция. Тогда каждому у из множества значений функции соответствует одно определённое число х из области её определения, такое, что f(x) = y. Это соответствие определяет функцию х от у, которую обозначим х = g(y). Поменяем местами х и у: у = g(x).
Функцию у = g(x) называют обратной к функции у = f(x).

Дано:

Найти функцию, обратную данной у = f -1(x).

Решение:

Ответ:

х

х

у

у

0

0

2

2

D(у)=(-∞;2)∪(2;+∞)
Е(у)=(-∞;0)∪(0;+∞)

2. Е(у)=(-∞;2)∪(2;+∞)

D(у)=(-∞;0)∪(0;+∞)

Свойства обратных функций.

Область определения обратной функции f -1 совпадает с множеством значений исходной f, а множество значений обратной функции f -1 совпадает с областью определения исходной функции f:
D(f -1) = E(f), E(f -1) = D(f).

х

у

0

(х0;у0)

х0

у0

(у0;х0)

у = х

у

х

х

у

0

0

3

3

-2

-2

у=f(x)

у=g(x)

y=x2,х<0

D(f)=R
E(f)=R
возрастающая

D(g)=R
E(g)=R
возрастающая

D(y)=(-∞;0]
E(y)=[0;+∞)
убывающая

D(y)=[0;+∞)
E(y)=(-∞;0]
убывающая

1

1

1

1

0

0

х

у

у

х

Дано: у = х3

Построить функцию, обратную к данной.

Решение:

х

у

0

Построить график функции, обратной данной.