Конспект и презентация к уроку математики "Теорема Менелая"

Тема: «Теорема Менелая». Цель урока: - повторить теоремы об отношении отрезков и площадей треугольников; - познакомить учащихся с теоремой Менелая и обучить применять ее при решении задач; - подготовить учащихся к ГИА-9 по математике. Тип: урок изучения нового материала. Оборудование: учебник, презентация, рабочий лист с условиями задач. Ход урока: Слайд 1. Устная работа. Повторить теоремы об отношение отрезков в треугольнике. 1. Свойство биссектрисы треугольника AB  BC AK KC 2. Обобщенная теорема Фалеса PK BC, AP PB  AK KC площадей треугольников. 1. Отношение площадей треугольников, имеющих общий угол Слайд 2. Повторить теоремы об отношение S S ABC  APK AB AP  AC  AK 2. Отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту S S AC AK ABC  APK Слайд 3. Решить задачу №1, используя подобие треугольников. Задача 1. Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС за точку С взята точка N, причем АС = 2 СN. Точка М находится на стороне ВС, причем ВМ : МС = 1 : 3. В каком отношении прямая MN делит сторону АВ? Решение. 1. Проведем прямую ВТ ││ AN. 2. Пусть CN = a, AC = 2a. 3. Δ TBM подобен Δ NCM по двум углам, тогда TB : NC = BM : MC = 1 : 3. 4. Δ TBK подобен Δ NAK по двум углам, тогда ВК : KA = TB : NA = 1 : 9. Ответ: 1 9 . Слайд 4, 5, 6. Изучение нового материала. Формулировка и доказательство теоремы Менелая. Теорема Менелая . Пусть прямая пересекает стороны ВС, СА, АВ треугольника АВС (или их продолжения) в точках А1, В1, С1, то справедливо соотношение 1 АС ВА СВ 1 С В А С В А  1  1 1 1  1 Доказательство. 1. Проведем через точку С, прямую параллельно АВ. 2. К – точка её пересечения с прямой В1С1. 3. ∆ АС1В1 и ∆ СКВ1 подобны т.к. С1АВ1 =  КСВ1 и  АС1В1 =  СКВ1 - внешние односторонние углы при параллельных прямых АС1, СК и секущих АВ1 и С1В. К АС  1 СК 1 АВ СВ 1 . 4. Значит 5. ∆ВС1А1 и ∆ СКА1 подобны, т.к. ВА1С1 =  СА1К – вертикальные,  С1ВА1 =  КСА1 - внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и СК и секущей ВС. ВА 1 СА 6. Значит 1 ВС  СК . 1 7. Из равенств находим, что СК  АС СВ 1 1  АВ 1 и СК  ВССА 1 1  ВА 1 . 8. Получаем,  СВ АС 1 АВ 1 1  САВС 1 1  ВА 1  АС 1 ВС 1 ВА  1 СА 1 СВ  1 АВ 1  .1 Теорема доказана. Слайд 7. Формулировка теоремы обратной теореме Менелая (учащиеся доказывают самостоятельно). Теорема (Менелая обратная). Пусть дан треугольник АВС. Предположим, что точка С1 лежит на стороне АВ, точка А1 лежит на стороне ВС, а точка В1 лежит на продолжении стороны АС, причём про эти точки известно, что АС 1 ВС 1 ВА  1 СА 1 СВ  1 АВ 1  1 . Тогда эти точки лежат на одной прямой. Слайд 8. Решить письменно задачу №1, применив теорему Менелая. Сравнить два способа решения задачи. Задача 1. Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС за точку С взята точка N, причем АС = 2 СN. Точка М находится на стороне ВС, причем ВМ : МС = 1 : 3. В каком отношении прямая MN делит сторону АВ? Решение.  ,1 СN  NA АК КВ AК КВ АК КВ ВМ  МС 1 1  ,1 3 3  КВ АК 1 9 9 1  . , Ответ: 1 9 . Слайды 10, 11, 12, 13, 14. Решение задач на применение теоремы Менелая. Задача 2. В трапеции АВСD основание АD в три раза больше, чем ВС. Точка М делит сторону СD в отношении СМ : МD = 1 : 2. Определите в каком отношении отрезки АМ и BD делятся точкой их пересечения. Решение. , k  1 2 CP  1. ΔAMD подобен ΔPMC (по двум углам), 2. Применим теорему Менелая к треугольнику и прямой АР: отсюда ВСD 3 2 . a  1, . DK KB BP  PC CM  CD DK  KB 6 5 6 5 . Ответ: Задача 3. В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка D так, что BD:DC =1:2. Медиана СЕ пересекает отрезок AD в точке F. Какую часть площади треугольника АВС составляет площадь треугольника AEF. Решение. 1. Возьмем точку К на АВ так, что DK ││ЕC. 2. Δ СЕВ подобен Δ DKB по двум углам. 3. СВ : DB = EB : BK = 3 : 1, тогда ВК = х, АЕ = ВЕ = 3х. 4. SABD : SABC = BD : CB = 1 : 3 (общая высота, проведенная из точки А). 5. SAKD : SABD = AK : AB = 5 :6 (общая высота, проведенная из точки D). 6. Δ AEF подобен Δ ADK по двум углам. 7. SAEF : SAKD = 9 : 25. S 8. 9  S 25 Ответ: 0,1. AEF AKD  S ABD  S ABC 9 25 5 6 9 25 5 6 1 3 Задача 4. В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4. А1 и С1 – точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р – точка пересечения отрезков АА1 и СС1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ1. Найти отношение АР : АА1. Решение. 1. Пусть ВС1 = ВА1 = х, А1С = 5 – х, С1А = 8 – х. 2. АС1 = А1С = 4 (отрезки касательных) 5 – х + 8 – х = 9 . 2 7 АС 2  . 1 ВА 1  ВС 1  9 2 , 3. 4. Менелая к треугольнику АВА1 и прямой СС1: Применим теорему АС 1 ВС 1 ВС  СА 1 РА  1 РА  1, РА 1 АР  9 70 . Ответ: 70 9 . Слайд 12. Задачи для самостоятельного решения (домашнее задание). 1. Дан треугольник АВС, в котором ВМ – медиана. Точка Р лежит на стороне АВ, точка Q – на стороне ВС, причем   .6 Отрезок PQ пересекает АР РВ 2 , 5 BR (Ответ RM . BQ QC 60 ) 17 медиану ВМ в точке R. Найти 2. В треугольнике АВС угол С – прямой, ВС = 3, АС = 4 и проведены биссектриса СD и медиана АМ. Найти площадь треугольника СЕМ. (Ответ 9 ) 11 3. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и эта точка пересечения делит каждую из медиан в отношении 2 : 1, считая от вершины. Литература. 1. Геометрия, 7 – 9: Учебник для общеобразовательных учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2005 г. – 384 с.: ил. 2. Сборник задач по математике для 9-х классов физико - математической школы/. Ширстова, А.М. Сторожев. – 3-е изд. Москва 2003. 3. Геометрия. Планиметрия: Пособие для подготовки к ЕГЭ/ Под ред. И.В. Ященко и А.В. Семенова. –М.:МЦНМО, 2009. 4. Планиметрия: Cборник задач по геометрии/ В.Е. Епихин, В.В. Кузнецов, Н.Г. Окромешко и др.; под ред. В.В.Кузнецова. – М Изд-во МГТУ, 2006 г.