Конспект урока алгебры 10 класс "Простейшие тригонометрические уравнения"

Урок по теме: «Простейшие тригонометрические уравнения». Цели урока: 1.Систематизировать знания учащихся по теме. Проверить уровень усвоения знаний и умений. 2. Развитие математической речи. 3.Воспитание активности  и интерес к математике. Тип урока урок изучения новых знаний. Оборудование к уроку: таблицы, презентация. Ход занятия I. Организационный момент. Цель: активизация внимания и мотивации учащихся к работе на уроке:  1. 2. 3. 4. ­ определение отсутствующих,  ­ настрой учащихся на работу, организация внимания; ­ сообщение темы и цели урока; ­ проверка домашнего задания. 1. Великий физик, математик и политик А. Эйнштейн заметил:  «Мне приходиться делить время между  политикой и уравнениями. Однако, уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного  момента, а уравнения будут существовать вечно». 2. Я называю ученика и адресую ему вопрос, если учащийся правильно отвечает на вопрос, то он называет  следующего отвечающего, если отвечающий затрудняется ответить на вопрос, то он передает его другому  ученику, назвав его имя: Вопросы для учащихся Дать определение числовой  окружности? Определите координаты точки,  полученной при повороте точки Р(1;0) на угол  В каких единицах измеряются углы . Предполагаемые ответы Окружность радиусом равным 1 с центром в начале координат  называется единичной окружностью. Градусах  и радианах Какие уравнения называют  тригонометрическими? Приведите примеры простейших  тригонометрических уравнений? Сколько корней может иметь  тригонометрическое уравнение? Что значит решить  тригонометрическое уравнение? В уравнениях  оцените число а?   Как решаются простейшие  тригонометрические уравнения. Как решаются тригонометрические  уравнения, если его невозможно  решить по числовой окружности? Уравнения, в которых переменная  стоит под знаком  тригонометрической функции, называются  тригонометрическими. tgx=a;ctgx=a Тригонометрические уравнения имеют множество корней в  силу периодичности тригонометрических функций. Найти множество корней или убедиться что корней нет. Если Если  Для решения простейшего тригонометрического уравнения  рисуем числовую окружность. С помощью тригонометрических преобразований приводим к  простейшему или применяем формулы для нахождения  корней. Упражнения к данному пункту учащиеся уже решали ранее, но с другой постановкой задания, например:  «Укажите все углы  sin x=1 .       Обратим внимание на то, что в учебнике не ставится цель сразу написать общую формулу решений  уравнения sin x=a ( | a |≤1 )  в виде x= ( −1 ) k arcsin a+ k,π   k∈  Z. Практика показывает, что раннее введение    =1 », теперь же требуется решить уравнение α α , для которых справедливо равенство sin такой записи без должного понимания учащимися ее смысла, без объяснения «скрытого» в ней периода 2   π приводит к механическому использованию этой записи с характерной ошибкой: ( −1 ) k arcsin a+2 k,π   k∈  Z.       Учитывая, что для многих заданий вполне достаточно давать ответ в виде двух серий решений, на  первых порах можно не требовать от учащихся (особенно от слабых) записи ответа в сокращенном виде. А  чтобы предупредить указанную выше ошибку, надо обязательно показать учащимся, что при k=2n  или  k=2n+1,  n∈  Z, ответ будет иметь вид arcsin a+2 n,π   n∈  Z, или  −arcsin  a+2 n,π   n∈  Z, соответственно.       Можно посоветовать учащимся не решать простейшее уравнение sin x=a  по общим формулам в случаях  a=0,  a=1,  a=−1 , мотивируя совет тем, что, например, общая формула для решений уравнения sin x=1  дает  повторяющиеся решения. Если ответ записать в виде ( −1 ) k   2 ,π    5  2 ,π    5  2 ,π   …  соответственно. Такие же повторы корней дают общие  3, ..., получим решения  формулы для решений уравнений sin x=−1 , cos x=−1 . π   k∈  Z, то, давая k значения 0, 1, 2,   2 ,π     π π  2 + k, 3. Устные упражнения на определения вида простейших тригонометрических уравнений. Вы видеть схемы решений простейших тригонометрических уравнений. Какая из схем этой группы лишняя?Что объединяет остальные схемы? Ответ:3 схема ­ лишняя, остальные решения уравнения cos x =a. 4. Решить уравнения на доске: Решить уравнение Ответ: Дано уравнение   и получен ответ  верен ли данный ответ. Правильный: Из двух предложенных ответов к уравнению  выбери  правильный.Ответ:  а)  а)  ; б)  ,  в)  . Ответ : б)  Если Если Ответ: в)  , то  , то     ,  ,  ,  , ,  ,  ,  ,  /4 .π  x=−  π  ( −  π π ,  . /4 )+ k, π   m∈  Z. /4  имеет две серии решений: x n =arccos π   k∈  Z. Две серии решений x n   и x k   можно объединить в одну: x m  Ответ: № 11.6. Решите уравнение: а)  sin x= 5/4 ; б)  cos x=−        Решение. а) Так как 5/4 >1 , a sin x≤1  для каждого x∈  R, то уравнение sin x= 5/4  не имеет решений. π    π       б) Так как −1≤−  /4 ≤1 , то уравнение cos /4 )+ n, n∈  Z; x k =arccos ( −  π =±arccos ( −  /4 )+ m,       Заметим, что серии решений x n  и x k  можно выразить, употребляя одну букву, что часто делается для  краткости ответов в учебнике. Использовать же формулу arccos ( −a )= −arccos нецелесообразно. Это только усложнит запись ответа. № 11.7. При каких значениях а имеет хотя бы одно решение уравнение:       а)   sin x=a ;    б)   cos x=a ;    в)   tg x=a ;    г)   ctg x=a ?       Решение. а) Уравнение sin x=a  имеет хотя бы одно решение при каждом a∈[ −1; 1 ] .       б) Уравнение cos x=a  имеет хотя бы одно решение при каждом a∈[ −1; 1 ] .       в) Уравнение tg x=a  имеет хотя бы одно решение при каждом a∈  R.       г) Уравнение ctg x=a  имеет хотя бы одно решение при каждом a∈  R.  a  на первых порах  π Дифференцированная самостоятельная работа предлагается в нескольких вариантах. Учащиеся  5. самостоятельно выбирает посильный вариант работы. Варианты 1;2;3 предлагаются в привычной для  учащихся форме, дано уравнение , его следует решить. Задания на оценку «3» Решить уравнение: 1В 2В 3В Задания на «4» . Все задания взаимосвязаны между собой. Первые четыре задания даны в привычной форме: , дано уравнение следует решить. В задании 5 приведен ответ, учащимся следует определить:  верен или нет. В задании 6 выбрать правильный ответ из предложенных. 1 2 3 4 5 6. Дано уравнение  Верен ли данный ответ. Выбери правильный ответ для уравнения  и получен ответ  Ответы:  Итоги урока. Сообщаю оценки за урок. Подводим итоги. Те учащиеся, у которых С/Р вызвала  6. определенные трудности приглашаю на консультацию. 7.  Домашнее задание П.11.1.  № 11.2 (б,д,з,л) , 11.3 (в,е,и,м)   a=1 a=0 a= ­1 ,