Конспект урока алгебры и начал анализа в 10 классе "Решение тригонометрических уравнений".

Алгебра и начала анализа 10 класс Решение тригонометрических уравнений.  (комбинированный урок) Петрова Н.В., учитель математики высшей категории. МКОУ Заволжский лицей, г. Заволжска Ивановской области Тема урока: решение тригонометрических уравнений с ограничениями. Отбор корней. Цели и задачи: Обучающие ­ повторить основные виды тригонометрических уравнений и способы их решения;  рассмотреть уравнения с ограничениями (решить уравнения на отрезке; указать количество корней  уравнения; уравнения с модулем и т.д.). Развивающие ­ учить детей рациональному способу решения задач, анализу условий; развивать  мышление, внимание, речь. Воспитывающие ­ воспитывать уверенность в себе, умение мобилизовать себя на плодотворную  работу. Ход урока: I. Организационный момент. Сформулировать цели и задачи урока. II. Актуализация знаний учащихся. Учитель: Давайте повторим основные типы уравнений и методы их решения, а также решения  простейших уравнений в ходе следующих устных упражнений:  1. Назовите (если можете) вид уравнения и изложите грамотно способ его решения. а) 2cos2 х ­ cos x ­ 5 = 0 б) sin2 х + cos x ­ 8 = 0 в) 3 cos х + sin x = 0 г) sin х ­  3 cos x = 1 д) 3cos x ­ 4sin x = 0 (или 5) е) 5 sin2 х — 8sin x cos x + cos2 x = 0 (или 2) ж) sin 2х ­ cosx  = 0 з) cos 3х = cos х 2) Посмотрите на уравнение, его решение, корни; выясните, нет ли ошибок; если есть, то какова их  причина. a) sin х = 1     х=  2   пп,                  x= ±  б) cos х = 0  2  пп,2   в) tg х = 3                               x = arctg3 +  k, kπ  1 г) cos x = 2                                          д)                    х = ± arccos2 + 2 πk, k                     cos  x  3 2  6 cos x  1 2 sin x  1   1  или sin x      3   1                             е) arcos(x + 1) =    3                             ж) arcsin (3x) =                       x =  1 2  1 1 2                                        x =  1 3 sin               3 2 3 2 2 3) Назовите несколько чисел из множества чисел вида:    2   k ;2; n   6  k )1(;2  n  4   k III. Переход к изучению нового. Сама задача решения уравнений порой бывает менее важна, чем нахождение частных уравнений,  удовлетворяющих некоторому условию (принадлежащие заданному отрезку). В таких задачах после  нахождения множества решений необходимо производить отбор корней. Рассмотрим пример решения  таких задач. Это основная тема нашего сегодняшнего урока (учащиеся записывают в тетрадях тему  урока). IV. Разбор примеров. Решение задач. №1. Найдем все решения уравнения, принадлежащие промежутку [­ ; ]π π cos 2x + sin2x = cos x решениями являются числа вида  x =   2   kk,       и     x = 2 nπ , n   Отбор корней можно проводить различными способами. Например,                              n = 0        x = 0  [  ] ;  [  ] ;                           n = ± 1     x = ± 2  π [  ] ;  [  ] ;                   k = 1        x =  I способ:   k = 0        x =                    k = ­1       x =   2  3 2  2  3 2  5 2 [                  если ? |k| > 2, то x  ]                   k = ­2        x =                    k =  2        x =   [  [  ;  ] ;         ] ;                         n = ± 2     x = ±2  π [  ] ;  [  ] ;                      если ? |?????n| > 2, то x  [  ] ; Ответ: решениями уравнения из промежутка [­ ; ] являются х =  π π   2 2 ;0; 3 II способ: x  [  ] ; π , т.е.  –  ≤ х ≤  π Значит,       –  ≤ π  k  ≤  π                                    –  ≤ 2 π пπ  ≤ π  2 1 2 3 2                     –1 ≤  k  ≤ 1                                   –1 ≤ 2п ≤ 1                         –  ≤ k ≤  1 2                                    – 1 2  ≤ n ≤  1 2                 k­ целое число, значит,                         n – целое число, значит,                         k = ­1; 0                                                 n =0 Таким образом, искомыми корнями являются числа при k = ­1  х =    2 , при k = 0  х =   2 ,  при n = 0 х = 0. Ответ:  х =    2 2 ;0; . π π №2. Найдем все решения уравнения, принадлежащие промежутку [ ; 3 ] 3  sin х + cos х = 0 Ученик выходит к доске и решает данную задачу. Другой ученик затем решает следующую задачу.   №3. Найдем число корней уравнения cos2 2х + cos2 6х = 1, принадлежащие отрезку  ;0      2 4 При решении этого уравнения учащиеся могут воспользоваться формулой понижения степени. На примере этой задачи учащиеся убеждаются в необходимости использования разных букв при  записи множества решений. Так в данном уравнении их два:                х =  п 8 16        и        х =  k 4 8  и после отбора корней получается, что п = 0; 1; 2; 3, k = 0; 1. Если бы буква была одна, то можно  допустить ошибку: посчитать, что различных корней всего четыре, тогда как окончательно  уравнение имеет 6 различных корней из промежутка  ;0      2 . V. В ходе последующей фронтальной беседы с учащимися необходимо обозначить при каких  условиях, в каких уравнениях приходится выполнять отбор корней                 1) дробно­рациональные уравнения относительно тригонометрических величин;                 2) уравнения, содержащие тригонометрические выражения под знаком корня четной  степени;                3)  уравнения с модулем. В классе можно рассмотреть и записать решение уравнения с модулем, при решении которого отбор  корней можно произвести с помощью единичной окружности.  Например, решите уравнение                                  cos 2 x  3 cos x sin x  sin2 2 x  0 . 1. sinx ≥ 0         sin  x sin x , x  x sin x  sin2 2 x  0   являются числа вида  x  nn ,  2 cos Тогда решениями уравнения  cos 3 1  2 Изобразим их на единичной окружности      и           kk ,  arctg  4  x arctg 1 2  4 Данному условию удовлетворяют числа вида   x 1   4  ,2 kk       и x 2  arctg 1 2   ,2 nn  5   4  arctg 1 2 Аналогично рассматривая случай, где sinx < 0, получим   x 3   4   ,2 ll      и     x 4  arctg  1 2 VI. Итоги урока.  2 mm ,  Итак, мы разобрали различные виды задач, где необходим отбор корней, рассмотрели несколько  способов такого отбора. Вы в дальнейшем можете применять любой из них. Урок показал, что вы  хорошо умеете решать уравнения различных типов (учитель выставляет оценки учащимся,  работавшим у доски, наиболее активным учащимся) VII. Домашнее задание. Закрепить дома виды задач. 1) Найдите все решения уравнения, принадлежащие указанному промежутку     a) cos 2x + sin x = cos2 x     на  [0;2 ]π     б)  sin x + cos x = 0             на  [­ ; ] π π 2) Найдите число корней уравнения из [­π;π]  2  (  x )  sin(   )2 x       sin3 2     3 2  x    sin 3) Решите уравнение:     а)  2 cos 2  x sin x     б)*   2 cos x  1 cos x   6