Конспект урока математики в 10 классе по теме :" Методы решения тригонометрических уравнений"

Основные методы решения  тригонометрических уравнений. Урок рассчитан на 45 минут. Количество заданий и уровень их сложности  учитель может изменить с учетом подготовленности класса. Тип урока : обобщение и систематизация знаний, умений и навыков, приобретенных  при изучении данной темы. Цели.  1. Образовательные: обобщение ЗУН, приобретенных при изучении данной темы. 2. Воспитательные: воспитывать культуру речи, аккуратность записей,  самостоятельность. 3. Развивающие: развитие мышления, воображения, творческих способностей. Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор; карточки для основной части  урока и  домашнего задания. Подготовительный этап к уроку. Класс делится на 3  группы, которые самостоятельно  готовят к заключительному уроку мини­проект – это домашняя работа. Каждая группа  собирает «копилку» тригонометрических уравнений (не менее 10), решает их различными  способами.  Совместно с группами разрабатывается маршрут, группы  делят обязанности внутри  группы и назначают лидера группы, определяют вид защиты проекта, придумывают  рекламу способа . Обязанности внутри группы:  ­  Один ученик подбирает  весь теоретический материал по данным заданиям. Его задача :  объединить  теоретический материал по данному модулю в единую   презентацию   ­ Один ученик подбирает ЦОР, которые наиболее эффективны. Его  задача:  создать базу  данных сайтов, ресурсов, которые максимально смогут помочь в   подготовке к защите  проекта («Аналитик группы»); ­ Два ученика  решают  задания на один из способов каждый. Затем обучают  каждого члена группы. («Практики группы»). После этого группам дается отработать на их «копилке» два способа.  1 группа: «Универсальная подстановка. Графический метод»; 2 группа:  «Разложение левой части уравнения на множители. Возведение обеих частей  уравнения в квадрат»; 3 группа: «Введение вспомогательного угла. Приведение к квадратному»; «Преобразование разности или суммы тригонометрических функций в произведение. Приведение уравнения  к однородному». I. Организационный момент. Ход урока. Притча о рыбаке Когда сели уже за стол, во дворе замаячила фигура. Это нищий топтался у  ворот, не решаясь войти. Бабушка вышла к нему и позвала во двор. Нищий  был худой и какой­то изможденный. Его накормили жаренной рыбой и  налили большую кружку молока. Нищий ел и благодарно посматривал на  хозяина. – Благодарствую, дай вам Бог здоровья, – нищий поклонился в пояс и  спрятал недоеденную корку хлеба в рукав. – На здоровье, – ответил хозяин. – Может, дадите мне еще хлеба, – нищий с надеждой посмотрел на  старика. – Мы дадим тебе кое­что получше. Вот…, – и хозяин протянул нищему  свою удочку. – Спасибо, – нищий взял удочку и, бережно прижимая, пошел со двора. Мальчик непонимающе посмотрел на деда: – Дедушка, зачем ты отдал ему свою удочку? Тебе что хлеба жалко было? Старик посмотрел на уже высоко поднявшееся солнце и сказал: – Да нет, мне не жалко. Но понимаешь, если я дам ему буханку хлеба, он  будет сыт сегодня. А, если он научится ловить рыбу, он будет сыт всегда. ­ В чем смысл этой притчи? Какое отношение она имеет к нашему  уроку? ­ Ответ учащихся… 2. Актуализация знаний. ­ Прежде чем приступить к работе, каждый из вас должен поставить перед  собой цель сегодняшнего урока, обсудить ее с членами вашей группы,  выбрать общую цель . ­ Ответ учащихся… ­ Сформулируйте общую цель урока. Итак, у нас сегодня обобщающий урок по теме: “Преобразование  тригонометрических выражений”. Тригонометрические уравнения есть в  В чем смысл этой притчи? Какое  отношение она имеет к нашему уроку? заданиях ЕГЭ, как в первой части, так и во второй,  и оказываются вполне  решаемыми, тригонометрическое уравнение во второй части. Поэтому вы  должны иметь четкое представление о том, что тригонометрические  уравнения решаются часто стандартными методами. Их немного, если их  освоить, то решение тригонометрического уравнения из второй части  становится вполне посильной задачей для вас. Работать мы будем сегодня  и индивидуально, и в группах. Наша общая задача состоит в том, чтобы составить таблицу  классификации способов решения одного тригонометрического уравнения. На дом было дано задание по группам: исследовать тригонометрические  уравнения из ваших копилок, и решить их определенными способами, в  каждой группе таких способов было два. Решения тригонометрических  уравнений своими способами вы исследовали дома,  капитаны  проконсультировались со мной перед уроком по поводу их решения и  сейчас каждая группа покажет, что у них получилось, а все ваши недочеты  и ошибки вы откорректируете дома (презентация исследований). Я бы хотела, чтобы  наш сегоднешний урок был ­ урок­ бенефис .Как вы  думаете , почему? Ответы учащихся( бенефис одного уравнения) На примере одного  уравнения посмотреть несколько способов решения ии Бенеф с (фр. bénéfice — доход, польза) — спектакль, устраиваемый в честь одного из выступающих актёров (например, как выражение  признания мастерства бенефицианта) или работников театра Прежде чем перейти непосредственно к нашей работе, мы сформируем  экспертную группу (3 человека), участники которой на каждом этапе  нашего урока помогут мне оценить ваши знания, проверят домашние  задания и решения примеров классной работы, подведут итоги  предстоящей  работы.  II. Устная работа    .  Учитель: «Исправьте ошибки на доске и   подумайте об их причинах». 3 ученика у доски ( по одному представителю от групп), остальные на  местах  Я бы хотела, чтобы  наш сегодняшней  урок был – урок  ­ бенефис  .Как вы думаете  , почему? cos x Уравнение 1 2 3 2 sin x tgx  4   3   3 1   x x  2 3 k  3  4 Ответ с ошибкой   kk ,2  x z Правильный ответ    kk ,2 x z  kk ,2  z x  )1(   kk ,  z kk ,  z x  arctg   kk ,  z sin x 3sin x 11 3 1 2 III Групповая работа   Начальная карточка. x  arcsin 11 3 x  ( 1 2 k ) arcsin  1 2 Нет корней  z  nn ,2     z kk x , )1( k  k 18 3  , k  z  . Игра­Домино. (раздаю карточки) ­1 5 /6 arcco s(­ /2) /4 3 /4 0 /6 /2+ n     /2 arcco s(­1) 2 n 1 arcco s(­ /2) ctg x = ­1 arctg 1 sinx =1 cos0 arcco s  (1/2) sin 0 1 cos x = ­1 cosx =0 /2+ 2 n 0 arcsin1 +2 n cosx=1 3 /4 cos  cos  arcsin0 Эксперты проверяют одну группу, а две другие  взаимопроверка групп. Отчет групп (не более 7 минут каждой группе):  Реклама способов, презентация, синквейн.  Во время выступления групп учащиеся заполняют  схему по решению уравнений разными способами. Во время выступлений  практики каждой группы  показывают решение одного уравнения . Бенефис одного уравнения.  II. Задача. Решите уравнение  различными способами. sin5 cos 13 12 x x  Решение. 1 способ. Путем введения вспомогательного  аргумента. Опорную таблицу стоит раздать учащимся (желательно  каждому) с целью повторения необходимого материала. Данное уравнение  написано на доске. Класс разбивается на 3  группы (состав каждой группы  определяется учителем  по его усмотрению)  по количеству способов решения уравнения, предложенных  учителем.  Для дальнейшего обсуждения  sin5 x  25  144 5 13 sin x x  sin 13  x ,  12 13 cos x    13 , cos 12  5   13  12 13  cos x  1 , плюсов и минусов каждого  способа необходимо  вызвать к доске 2    sin 5 13 12 13 2   1  , то существует такое  Так как       значение , что  последнее уравнение может быть переписано в  виде  sin  12 13 5 13  cos , где cos  1    , тогда    x , . x  sin  sin arccos  cos 12 13   cos cos x    x 1   cos Поскольку функция  cos x  x 1 ,2 Znn 12 13   arccos     x . ,   sin  1  x , y cos t  ­ четная, то ,  ,2 Znn  . Ответ:       arccos 12 13   2 Znn  ,    2 способ. С помощью универсальной  подстановки.   sin5 cos 13 12  x x  . Учитывая, что  sin   1 2 tg  tg ,  2 2  2 2 tg . , обозначим 1  1  2 tg  tg 2  2  2 tg  ,   1  tg  2 2  2 cos  x 2 tg  t . Получим рациональное уравнение  2 2 2 2 2 , , t    13  2 13 12 13 t  0  0 относительно t.  12 10 t t 12   2 t t 1 1   12 10 t t  1 t   10 t 25  2 1 t  ни при каких значениях t. t 012   5 25 10 t 0 t   5 2  , t 0 5t . Вернемся к исходной переменной.  0 , , tg x 5 2 ,  по одному представителю  от группы. Учащиеся должны понимать, что ответы, полученные в  первом случае и  во втором случаях, одинаковы. Zkk  , . 2 5          arctg ,  arctg Znn 2 Znn , ,25 x 2 x Проверим, являются ли числа вида  , решениями заданного уравнения:        12 2 cos k k sin5 2     , sin5 cos 13 12 12   ­ неверное числовое равенство, значит  13 2 числа вида   на являются корнями  заданного уравнения. Ответ:    x 3 способ. Выражение  половинный аргумент и приведение к  однородному.  Znn , sin  и  . cos  13  Zkk  через  arctg 25  x  2 , , sin5 10 sin  x x 2 12 cos cos x  2 x  13 12 cos , 2 x 2  12 sin 2 x 2  13 sin 2 x 2  13 cos 2 x 2  0 ,  2 sin x 2 25 cos 2  2 sin  10 sin cos  0 , x 2 x 2 x 2 x 2  10 sin cos  25 cos 2 x 2 x 2  0 x . 2 cos2 x 0 .  2 Разделим обе части равенства на  Потери корней не произойдет, так как синус и  косинус одного аргумента одновременно в ноль не  обращаются. 2 tg  0 25 . Обозначим  tg  a . x 2  tg 10 x 2 x 2  0 10 a  5 2  0 . 25 , 2 ,  a  a 5a Вернемся к исходной переменной. tg , x 5 2  arctg x 2 x Ответ:   2 5   Znn ,  arctg  arctg  ,25 Znn  , 25 2 ,    Znn .  . 4 способ. Возведение обеих частей равенства в  квадрат.  sin5 x   sin5 x 2 25 sin x 12 12  cos cos 120  x  2 x sin x , 13  2 13 cos x ,  144 cos 2 x  169  0 2 2 x  169 2 cos x  0 При обсуждении этого способа решения необходимо обратить внимание на то, что возведение обеих частей равенства в  квадрат не является равносильным преобразованием, поэтому может привести к появлению посторонних корней.  Следовательно, необходима проверка. Вывод ученики должны записать в тетрадях.  2 x x  x  x  x  2 sin sin sin x x cos x sin 120 sin cos 169 144 120 2 cos , 25 , .  0 cos 144 25 .  Разделим обе части равенства на  cos2 x 0 Потери корней не произойдет, так как синус и  косинус одного аргумента одновременно в ноль не  обращаются.  144 2 tg tgx 120 tgx  . Обозначим  b  144 2 120 b b 25   2 b 12 0 5 5b 12 Вернемся к исходной переменной. 5tgx 12  0 ,  25 0 , x . , , x   arctg 5  12 Проверка сложна.  Znn ,  . Решение тригонометрических уравнений  возведением обеих частей в квадрат  нецелесообразно (только в крайних случаях  является рациональным). Этот метод пытаются  обходить. Обратите внимание, что у каждого из этих  способов есть преимущества и недостатки, о  которых нам рассказали представители каждой из групп. ­ Какие же проблемы могут возникнуть  при решении тригонометрических уравнений? Потеря корня. Операции, сужающие область  определения: Деление на g(х) Опасные формулы (универсальная  подстановка) Лишние корни. Операции, расширяющие область  определения: Возведение в четную степень Умножение на g(х) (освобождение от  знаменателя) ­ Есть ли универсальный способ решения  тригонометрических уравнений? Ответ учащихся… После выступления групп предложить еще  одно уравнения, но чтобы группа выбрала уже  не тот метод, который защищала   cos x – sin x=1, Предлагает учащимся уравнение, которое  можно решить несколькими способами, и вместе  разбирает эти способы. Дети, предложившие тот  или иной способ, решают задания у доски.  Поиск способов решения. В результате  наблюдения и обсуждения могут быть выявлены  следующие способы решения.      1 способ.  ( Сведением к     однородному  уравнению, выразив  sin x, cos x и 1 через функции  половинного аргумента) Приведение к однородному уравнению.   cos x – sin x=1, x – sin² 2 x                cos² 2 x + cos² 2   , x –2sin  2 x  cos 2 x =sin²  2   x                2sin² 2 x +2sin  2 x  cos 2 =0. x                sin 2 x ( sin 2 x               1) sin 2 x + cos 2 )=0. =0,                                    2) sin x 2 x + cos 2 =0, –1,  4  2 x                2 x =πk, k€Z.                                 tg 2 =  x                x=2 πk, k€Z.                               2 = –  +  πn, n€Z,                                                                      x= – +2 πn, n€Z.    Ответ:               x1=2 πk, k€Z.     X2= –  2 +2  π n, n€Z.                                             2 способ..                                       3     способ.                                                                                    Разложение                                              Введение              на множители                                           вспомогательного угла                cos x – sin x=1,                                       cos x – sin x=1,                    (cos x – 1) ­ sin x = 0,                             1 2 (cos x 2 1 – sin x 2 )=1,                (1­ cos x) + sin x = 0,                               sin 4   cos x – cos 4 1  sin x= 2 x x  + 2sin  2                2sin² 2  sin( 4 1  – x)=  2 . x  cos 2  = 0,                   x                sin 2  sin(x­ 4 1 )= ­ 2 . x           1) sin 2 x ( sin 2 x + cos 2 ) = 0.                       x =0,               2) sin 2 x + cos 2 =0,      х=(­1)к+1  4  +  4 x            2 + πk, k€Z x =πk, k€Z.            tg 2  Ответ:   х=(­1)к+1  4  +  4 + πk, k€Z = –1, x                x=2 πk, k€Z.        2  = –  4                                              x= –  2  Ответ:               x1=2 πk, k€Z.     X2= –  2 +2   +  πn, n€Z, +2 πn, n€Z.   π n, n€Z.   III. Итог урока.  Домашнее задание. IV. Копилки уравнений , которые предлагали группы Приложение 1. Основные методы решения тригонометрических уравнений. Метод разложения на множители Метод введения новой переменной Функционально­ графический метод Метод 1. Разложение  на множители Разложение на множители с использованием формул тригонометрии или алгебраических  приемов. Необходимо помнить ! Из полученных значений неизвестного надо  исключить те, для которых выражения,  входящие в заданное уравнение, не имеют  смысла. Введение вспомогательного аргумента. 2. Введение  новой  переменной Уравнения, сводящиеся к алгебраическим  уравнениям относительно одной  тригонометрической функции Однородные тригонометрические уравнения и уравнения, приводящиеся к ним. Применяется в уравнениях, содержащих сумму A   Akx  sin cos kx B B 0 , 2 2 . )   (или  cos xn 0 При делении обеих частей однородного  sin xn уравнения на  0 область определения сужается, но потери  корней не происходит, так как синус и косинус  одного аргумента одновременно в нуль не  обращаются. Посредством универсальной подстановки могут  быть найдены все решения данного уравнения,  за исключением тех, для которых   . Наличие  существует, т.е.  или отсутствие решений этого вида может быть  установлено непосредственной проверкой. 2 Zkk   не  tg x , x 2 cos  ,  1  1  2 tg  tg 2  2  2 , Универсальная подстановка. sin   1 2 tg  tg  2 2  2 tg   1 2 tg  tg  2 2  2 Уравнения, рациональные относительно    cos x выражений  Новая переменная: sin, cos sin x x x sin x  cos x  sin, u   tf  x  u 2  2  x cos  tg .  3.  Функционально ­графический  Уравнения вида . 1 x x x x  cos sin,  cos  может быть  Уравнения,  где левая часть является  рациональной функцией относительно sin сведено к рациональному уравнению  относительно неизвестного.  Если при решении уравнения удается  установить разный характер монотонности  функций  , и угадать каким­ либо образом один корень, то уравнение решено  – найденный корень – единственный.  tg  tf y  y   и