Конспект урока математики в 11 классе "Решение рациональных неравенств"

Автор: преподаватель математики Сагитова Л. М. Тема урока:  «Решение рациональных  неравенств»     Цели: Закрепить и проверить навыки решения рациональных неравенств высших степеней методом интервалов. Образовательная:    1) формировать представления о социальных, культурных и исторических факторах становления математики; 2)   формировать   основы   логического,   алгоритмического   и  математического мышления; 3) формировать умения применять полученные знания при решении различных задач; 4) научиться решать рациональные неравенства методом интервалов; 5) формирование навыка вычисления значений функции в точке; 6) формирование навыка построения графика на   компьютере при решении задач. Развивающая:   Выработать   умение   выделять   главное,   сравнивать, обобщать.. 1)формирование   умения   самостоятельно   определять   цели   деятельности   и составлять   планы   деятельности; контролировать и корректировать деятельность;    самостоятельно   осуществлять, 2)   Формировать графическую культуру обучающихся, развитие логического мышления, навыков сравнительного анализа 3)   формирование   навыков   познавательной,   учебно­исследовательской деятельности,   навыков   разрешения   проблем;   способности   и   готовности   к самостоятельному поиску методов решения практических задач; 4)   формирование   умения   использовать   средства   информационных   и коммуникационных технологий в решении задач; 5)формировать умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения. Воспитательная: 1)Показать взаимосвязь математики с окружающей действительностью.  2)  формирование     представления   о   математической   науке   как   сфере человеческой   деятельности,   об   этапах   её   развития,   о   её   значимости   для развития цивилизации; 3)Формировать навыки общения, диалога, умение работать в коллективе, воспитание самостоятельности, творческого подхода к решению задач. 4)   формирование   основ   саморазвития,   самовоспитания,   готовности   и способности к самостоятельной, творческой и ответственной деятельности; 5) формирование гибкости мышления, инициативы, активности. Оборудование:  доска,   компьютер,   проектор,   экран,   записи   на   доске, карточки­задания. Использование элементов педагогических технологий: 1. сотрудничества; 2. здоровьесберегающих (чередование видов деятельности); 3. информационно­коммуникационных; 4. развивающих; 5. личностно­ориентированных. Формирование   компетенций:   учебно­познавательной,   коммуникативной, ценностно­смысловой, личного самосовершенствования. Тип урока: урок освоения новых  знаний. Форма урока: комбинированный. Методы обучения: Частично­поисковый, диалоговый Содержание урока: I.Организационный момент: Проверка посещаемости. Проверка работы дежурных. Проверка готовности группы к уроку.       II. Повторение пройденного на прошлом уроке.                   1)Вопрос:   Какие   функции   называются   рациональными,   дробно­ рациональными? Ответ:   Неравенство   вида     x1,x2,….xn Pn¿ )   ¿0   где   Pn(x1,x2,….xn) – многочлен  называется рациональным. Неравенство   вида   Pn(x1,x2,….xn) Qm(x1,x2,….xn) >0 ,   где   Pn(x1,x2,….xn), Qm(x1,x2,….xn)  – многочлены называется дробно­рациональным.          2)Вопрос: Что значит решит неравенство?  Ответ:   Решить   неравенство – значит найти   множество   всех   х,   для   которых данное неравенство выполняется.           3)Вопрос: Какие неравенства называются равносильными?  Ответ: Два  неравенства называются равносильными, если множества решений их совпадают, т.е. если всякое решение каждого из них является решением другого.            4)Перечислите способы решения неравенств.  Разложение на системы неравенств;  Графический способ;  Метод интервалов.           5)Решение квадратных неравенств графическим способом. 1)  3х2 ­7х ­5  < 0  Найдем нули функции f (x) = 3х2 ­7х ­5,  то есть решим уравнение 3х2 ­7х ­5  =0                          D=b2−4ac  = (­7)2 ­4?3?(­5) = 49+60=109 x1=7+√109 2·3 = 7+√109 6 ,                   x2= 7−√109 2·3 =7−√109 6 Два корня, значит, парабола ветвями, направленными вверх, пересекает ось в двух точках.                    +                                 +      х                                                  7−√109 6           ­             7+√109 6                При   пересечении   параболы   с   осью   четко   виден   промежуток,   где   функция принимает   отрицательные   значения.   На   остальных   двух   промежутках функция принимает положительные значения. Выписываем решение х   ϵ   ( 7−√109 6 7+√109 6 ; )                                                                              Ответ: ( 7−√109 6 7+√109 6 ; ) III. Объяснение нового материала.                 1.Решить неравенство  (x−1)(2−x) (x+4)(x+3) ≥0. Функция f(x) =  (x−1)(2−x) (x+4)(x+3)   непрерывна в каждой точке своей области  определения ( это дробно­рациональная функция) и обращается в ноль в  точках 1 и 2. Область определения ­ вся числовая ось, за исключением нулей  знаменателя, то есть точек х = ­ 4 и х = ­3.Эти  точки и точки х = 1 и х = 2  разбивают числовую ось на пять промежутков. В каждом из этих промежутков функция непрерывна и не обращается в ноль. Проверим знаки функции в каждом из промежутков, вычислив значение функции во внутренних точках  каждого интервала.     f(­5) =  (−5−1)(2+5) (−5+4)(−5+3) = −6∙7 −1∙(−2) <0     f(­3,5) =  (−3,5−1)(2+3,5) (−3,5+4)(−3,5+3) −4,5∙5,5 0,5∙(−0,5) >0  =      f(0) =  (0−1)(2−0) (0+4)(0+3) = −1∙2 4∙3 <0      f(1,5) =  (1,5−1)(2−1,5) (1,5+4)(1,5+3) 0,5∙0,5 5,5∙4,5 >0  =                             f(3) =  (3−1)(2−3) (3+4)(3+3) 2∙(−1) 7∙6 <0  =            ­        +          ­          +             ­               х               ­4        ­3         1          2      Неравенство нестрогое , поэтому точки 1 и 2 являются решением  неравенства. Решением неравенства являются промежутки, где функция f   принимает положительные значения либо 0.                                                                        Ответ: (­4;­3) ∪[1;2] .                  2.Решить неравенство  (x−1)(х−3)2(х2+1) (x+5)(х2+х+3)(х−4) >0       (1) Неравенство (1) строгое, можно заменить его равносильным неравенством (2) (х­1) (х−3)2(х2+1)(х+5)(х2+х+3)(х−4)>0      (2) Найдем все точки, делящие числовую ось на промежутки. Это  точки 1, 3, ­5, 4.                                                                                                х                                                         ­5       1          3          4 Выражения ( х2+1¿и(х2+х+3)   принимают положительные значения  при любом х, и не влияют на знак (2). Следовательно, неравенство (2)  можно  заменить равносильным (3) (х­1) (х−3)2(х+5)(х−4)>0   (3). Проверим знаки неравенства в каждом из промежутков, вычислив  значения во внутренних точках интервалов. f(­6) = (­6­1) (−6−3)2(−6+5)(−6−4)<0     f(0) =  (0­1) (0−3)2(0+5)(0−4)>0      f(2) =  (2 ­1) (2−3)2(2+5)(2−4)<0     f(3.5) = (3.5 ­1) (3.5−3)2(3.5+5)(3.5−4)<0    f(5) = (5 ­1) (5−3)2(5+5)(5−4)>0                                                                                       ­         +         ­          ­            +   х                                                                          ­5       1          3          4 xϵ(−5;1)∪(4;+∞) Ответ:  (−5;1)∪(4;+∞) IV.Закрепление   нового   материала:   Продолжаем   решать   неравенства.   К доске   вызываются   двое   обучающихся.   Преподаватель   направляет   их деятельность. 3.Решить неравенство: (2х­3) (¿¿2−2х−1)(4х2−8х+3)<0 х ¿       (1). Найдем нули функции  f (x) = (2х­3) (¿¿2−2х−1)(4х2−8х+3) х ¿   1)2x­3=0     x = 1,5 2 ¿x¿2−2x−1=0 (−2)2−4∙1∙(−1) =8 2∙1 =1+ √2 D=  x1= 2+√8 x2=2−√8 2∙1 =1­ √2 3) 4 x2−8x+3=0 D=  x1= 8+4 2∙4 =1,5 (−8)2−4∙4∙3 =16 x2=8−4 2∙4 =0,5                                                                 х                                                  1­ √2         0,5          1,5        1­ √2 Для удобства определения знака значения функций в каждом из  получившихся интервалов, воспользуемся теоремой  Виета f (x) = 2(х­1,5) х−(¿¿)(х−1,5)(х−0,5)  или  2 1−√¿ х−(1+√2)¿ ¿ f (x) = 2  2 1−√¿ х−(¿¿)(х−0,5) (х−1,5)2(х−(1+√2))∙¿   (2) Проверим знаки функции (2) в каждом из промежутков, вычислив значение  функции во внутренних точках каждого интервала. f (­2) = 2  f (0) = 2  f (1) = 2  f (2) = 2  f (3) = 2  2 1−√¿ −2−(¿¿)(−2−0,5)<0 −2−(1+√2)¿ (−2−1,5)2¿ 2 1−√¿ 0−(¿¿)(0−0,5)<0 0−(1+√2) ¿ (0−1,5)2¿ 2 1−√¿ 1−(¿¿)(1−0,5)>0 1−(1+√2) ¿ (1−1,5)2¿ 2 1−√¿ 2−(¿¿)(2−0,5)<0 2−(1+√2) ¿ (2−1,5)2¿ 2 1−√¿ 3−(¿¿)(3−0,5)>0 3−(1+√2) ¿ (3−1,5)2¿                                       Ответ: ( + 2 ∞;1−√¿¿∪(1,5;1+√2) 4.Решить неравенство  (x+4) (х+2)2(−х2+2х−8) (x−3)(х2+4)(х−8) <0       (1) х2+4>0   для любых  х и влияния на знак выражения не оказывает. Найдем нули функции f (x) = ­ х2+2х−8.    Для этого решим уравнение  ­ х2+2х−8=0 D=b2−4ac=4−4∙(−1)∙(−8)=−28<0 ,  Т.к.   как D ¿0 . Корней уравнения нет. Парабола  пересекает ось, ветви параболы направлены вниз. f  (x) = ­ х2+2х−8   не х Это значит ­ х2+2х−8<0  для любых  х, то есть выражение  (­ х2+2х−8¿         можно представлять как отрицательное число. Неравенство (1) заменим  равносильным  неравенством (2).        −(x+4) (х+2)2(x−3)(х−8)<0  или            (x+4)(х+2)2(x−3)(х−8)>0   (2) Найдем все точки, делящие числовую ось на промежутки. Это  точки ­2, ­4, 3, 8.                                                                                                                                                         ­4       ­2         3         8 Проверим знаки неравенства в каждом из промежутков, вычислив  значения во внутренних точках интервалов. f (­5) =  (−5+4) (−5+2)2(−5−3)(−5−8)<0 f (­3) =  (−3+4) (−3+2)2(−3−3)(−3−8)>0 f (0) =  (0+4) (0+2)2(0−3)(0−8)>0 f (4) =  (4+4)(4+2)2(4−3)(4−8)<0 f (9) =  (9+4) (9+2)2(9−3)(9−8)>0                                                                                  ­           +         +         ­           +                                                                        ­4       ­2         3         8          Выпишем решение  х ∈  (­4;­2) ∪(−2;3)∪(8;+∞)                                                 Ответ:  (­4;­2) ∪(−2;3)∪(8;+∞) V. Подводятся итоги урока:  1)Выставление оценок.  2)Комментирование работы обучающихся. 3)Рефлексия в форме диалога: Рефлексия 1 На уроке я работал активно пассивно 2 Я не достиг хорошего результата потому, что … потому, что … 3 Материал урока мне был понятен не понятен VI.   Домашнее   задание:   Учебное   пособие.   Задачник.   М.И.   Башмаков Математика Алгебра и начала анализа, геометрия Стр.290, № 12.8 А (1­5) Указать пары равносильных неравенств Приложение 1 1 2x−1 ≤0 6x­3 ¿0 ­ 4x+2  ¿0 ( 1 3)2x < 1 3 ln(2x) ¿0 Неравенства 2х­1 ¿0 1­2х ¿0 (2х−1)2 2х−1 ≤0 √х∙ (2х­1) ¿0 4¿ ¿ lg⁡¿ 1 ¿