Конспект урока на тему "Логарифмические уравнения"

ТЕМА: РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ЛОГАРИФМИРОВАНИЯ                                   Цели урока: 1.)Диагностика ЗУН по изучаемой теме                                        2) Совершенствование опыта учащихся в применении ранее полученные                                ЗУН в новых ситуациях (в частности, работа по аналитической схеме).                            3) Знакомство с новым способом решения уравнений – способом                                  логарифмирования.                            4) Стимулирование умений выдвигать гипотезы, самостоятельно искать пути                                  решения проблемы, логически мыслить.    Место урока в теме: 3­й из 5­и запланированных по теме «Логарифмические уравнения». Тип урока: урок комбинированный (диагностики, совершенствования ЗУН, изучения нового,  коррекции ) Оборудование: а) индивидуальные диагностические карты;                             б) схема­ анализатор (персональные распечатки)                             в) распечатки со списками уравнений различных типов                             г) слайд – презентация      До начала урока учащиеся сдали свои индивидуальные диагностические карты по итогам  выполнения домашней работы. Два ученика выполняют статистику результативности) № Уравнение Ответы для  решенных заданий Успешность выполнения Оценка личной успешности К началу урока К концу урока 1 2 3 4 5 6 7 8 9 23lgx 5lgx= 1600 100 все 34х = 10 0,25 log310 большинство x = 6   3 xlgx = 100x                          3log  x  +  xlog  3                        9log (x+1) = 5log (2x +1)                     xlog                      x – 3 = 1/25 5 х2  = 40 5x  2  х               3x = 10 – log2x x 2( log 5 2( x log 4 2   0 ) x )2 0,1 и 100 3 и 1/3 0 и 2 5 и 25 2log52  и 1 2 1 никто 1 никто никто никто некоторые  большинство      1.Оргмомент (входная диагностика и одновременно мотив для предстоящей работы по решению возникших проблем) Ход урока Наш сегодняшний урок  мы начнем с анализа результативности выполнения домашнего  задания (Слайд 1).           Как мы видим, с заданием №1 справились все. Какой подход использовали? (Свойства  степеней)          Большинство справились с заданиями №2 и 9. Какие способы применяли? (Определение  логарифма как корня показательного уравнения; алгоритм модельного уравнения типа «дробь,  равная нулю»).          Некоторым удалось решить №8 и только одному …  №4.                                                                          А вот с заданиями №3,5, 6 и 7 не справился никто.          Ваши предложения по нашей дальнейшей работе? (Узнать, как решались задания №№…)         2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.                      1)Решение у доски силами учащихся заданий, выбранных учащимися:         №8. 3x = 10 – log2x – метод монотонности на ОДЗ №4. 3log  x  +  xlog  x = 6  – метод замены переменной t=log3x, откуда х= 3t и т.д.) 3 3          2) Обсуждение возможных подходов к решению проблемных заданий. Вывод: не хватает  знаний, полученных ранее, нужны новые! (мотивация на следующий этап урока)         3. Постановка учебной задачи.          Давайте повнимательнее присмотримся к  оставшимся уравнениям. Нет ли в них каких­либо  общих качеств, внешних признаков? (Присутствуют степени с разными основаниями и  показателями, произведения; в показателях иногда есть логарифм)         Хорошо, а в направлении возможных преобразований либо использования свойств функций?  (Затруднительно и даже невозможно).         Обратимся к схеме­анализатору. Может там есть ответ на наши затруднения? (Слайд 2)         Каков ваш вывод? (Перед нами уравнение нового вид, которое, возможно решается  неизвестным нам методом).         Верно, так чем нам следует заняться на уроке? (Определить вид уравнений, научиться его  отличать от других и, конечно, решать).         Да, это так. Запишем тему урока (Слайд 3): Решение уравнений методом логарифмирования.                      4.Построение проекта выхода из затруднения        1) учитель на одном из примеров показывает решение одного из  уравнений способом  логарифмирования:                           №3.      xlgx = 100x Обе части уравненния положительны на ОДЗ: для всех положительных х Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:   lg (xlgx ) = lg(100х);  Решение. lgх. lgх = lg100 .+ lgх; (lgх)2 = 2 .+ lgх;   (lgх)2  .­ lgх ­ 2= 0  Получено типовое уравнение, сводящегося к квадратному. Применим его алгоритм:  t = lgх; t2 ­  t – 2 = 0;  t1 = ­1,  t2 = 2. Возвращаясь к х,  далее получим:  а) lgх = ­1; х = 0,1;   б) lgх = 2;  х = 100.            2) Совместными усилиями проговариваются и записываются шаги алгоритма  (Слайд 4) :                           1шаг.  Убедиться в положительности обеих частей на ОДЗ.                           2 шаг. Прологарифмировать обе части уравнения по выбранному основанию                           3 шаг. Используя свойства логарифма, преобразовать уравнение к одному из  известных видов.                           4 шаг. К полученному виду уравнения применить соответствующий алгоритм.                                5. Первичное закрепление.      Учащиеся решают оставшиеся «проблемные» уравнения предложенным способом, проговаривая  шаги алгоритма.               №5.        9log (x+1) = 5log (2x +1)                №6.        xlog  x – 3 = 1/25 5 х2                №7.        5x  2  х  = 40 (с помощью учителя) 6. Включение в систему знаний и повторение. (Учащимся предложены распечатки со   списком   уравнений   различных   типов   и   видов   в   рамках   общей   темы «Логарифмические уравнения» )   1) Сгуппировать задания в распечатках по возможным общим методам решения, выделяя в них те,  которые можно решить методом логарифмирования; 2) Решить выделенные уравнения по алгоритму.     Решения проверяются по готовым ответам, работа по желанию проходит индивидуально или в  парах.               7. Итог урока              1) Вопросы (ответы) по теме урока:                ­ с каким методом познакомились? (логарифмирования)               ­ каким признакам отвечают уравнения, которые можно решить этим методом?(Содержат  показательные, логарифмические компоненты, произведения, равенства разнотипных функций)               ­ в каких случаях его применяют? ( При невозможности использовать типовой алгоритм,  модельную ситуацию, путь преобразований)               ­ отметьте в диагностических картах в последней колонке свои успехи на уроке  (узнал  новый способ, понял решение …, смогу сам решить подобное, стал меньше бояться «новых» видов  уравнений и т.д.)               ­ чем, по­вашему,  нам предстоит и есть необходимость заняться на следующем уроке?                           2) Оценки получают … (по итогам входной диагностики –все;  за работу на уроке ­  отдельные учащиеся) 8. Постановка домашнего задания.           Решать методом логарифмирования задания из распечаток; остальные задания – выборочно.          Дополнительное задания для желающих: из учебника, с 114  №№ 403, 405 Макевит Ирина Владимировна, учитель математики МОУ СОШ имени А.М.Горького г.Карачева Схема­анализатор для работы с математическим объектом Существующая на сегодняшний день учебно­методическая база всех уровней дает широкое  представление о разнообразных методах решения четко систематизированных групп задач, то есть  казалось бы обеспечивает доступность информации для каждого школьника. И все же, даже если  рассматривать проблему на уровне средних и сильных учащихся,  многие нуждаются не просто в  информационной и практической помощи, а в неком обобщенном представлении о порядке  работы с любой математической задачей. Как учитель­практик, я в течение нескольких лет делала шаги в этом направлении, и в  настоящее время нашла для своих учащихся один из инструментов  –  это опорная схема анализа  и планирования работы с математическим объектом любого типа. Работа со схемой начинается с 9­го класса, когда приходит время обобщения, систематизации знаний и выход на первый уровень  итоговой аттестации. Впоследствии, в 10­11 классе сама схема развивается и выводит учащихся к  достаточно оперативному умению выбора программы действий, в том числе с нетрадиционными  заданиями.  Вот так выглядит схема­анализатор, которая может находиться в классе в виде таблицы  либо в виде памяток для учащихся (СТЕНД)  ÑÕÅÌ À - ÀÍ ÀËÈÇÀÒÎ Ð Î ÁÚÅÊÒ ÒÈÏ ÂÈÄ ÀËÃÎ ÐÈÒÌ Ì Î ÄÅËÜ Í ÅÑÒÀÍ ÄÀÐÒÍ Î Å ÇÀÄÀÍ ÈÅ I.  =0 II. / =0 III. A2+B+C=0 IV. A2+B +C 2=0 ÔÓÍ ÊÖÈÎ Í ÀËÜÍ Û Å ÈÑÑËÅÄÎ ÂÀÍ Èß Ï ÓÒÜ Ï ÐÅÎ ÁÐÀÇÎ ÂÀÍ ÈÉ Î ÁÙ ÈÅ Ì ÅÒÎ ÄÛ I Î ÁËÀÑÒÜ, Î Ï ÐÅÄÅËÅÍ Èß II Ì Í Î ÆÅÑÒÂÎ ÇÍ À×ÅÍ ÈÉ, IV ÃÐÀÔÈÊ. III Ì Î Í Î ÒÎ Í Í Î ÑÒÜ, I Î ÁËÀÑÒÜ Î Ï ÐÅÄÅËÅÍ Èß, II Ï ÐÅÎ ÁÐÀÇÎ ÂÀÍ ÈÅ, III ÄÂÓÕÓÐÎ ÂÍ ÅÂÛ É IV ÂÛ ÁÎ Ð Î ÒÂÅÒÀ. ÊÎ Í ÒÐÎ ËÜ, I ÈÍ ÒÅÐÂÀËÎ Â, II ËÎ ÃÀÐÈÔÌ ÈÐÎ - ÂÀÍ ÈÅ, III ÂÂÅÄÅÍ ÈÅ ÄÂÓÕ Ï ÅÐÅÌ ÅÍ Í Û Õ. Итак, с чего начинается работа? В первую очередь ввожу понятие «математический  объект»: число, выражение, уравнение, неравенство, система уравнений и неравенств, текстовая  задача, функция (каждый объект подпадает под конкретное математическое определение, что  служит принципом распознавания). От учащихся следует добиваться абсолютного владения  определениями (Так, учащийся должен различать на уровне определений показательное и  алгебраическое уравнения, чтобы правильно выйти на следующий этап анализа).  Затем классифицирую их по типам и видам.  В схеме упоминается термин «модель». Поясню, что под этим подразумеваются наиболее  типовые конструкции уравнений, в правой части которых стоит 0, а в  левой части: 1) Произведение двух и более выражений с переменной; 2) Дробное выражение; 3) Выражение, квадратное относительно некоторого выражения с переменной; 4) Выражение, однородное относительно некоторых двух выражений с переменной. Умение четко определять тип и вид объекта очень важно, так как за этим стоит конкретный  алгоритм. Владение математическим материалом на этом уровне обеспечивает минимум  «3»  слабоуспевающим ученикам. Одна из важнейших задач учителя – дать представление о  максимально возможном количестве алгоритмов с целью расширения возможностей учащихся в  плане выбора дальнейших действий. Разумеется, у каждого учителя свой арсенал.  Следующий элемент схемы – нестандартное задание. Я употребляю этот термин в самом  широком смысле, так как одно и то же задание кому­то может оказаться знакомым по типу и  способу решения, а кто­то впервые столкнется с новым для себя типом либо станет сомневаться в  выборе способа решения. В таких случаях схема предлагает сосредоточиться в трех направлениях:  Сделать попытку в использовании специальных методов (логарифмирование, введение двух  новых переменных, обобщенный метод интервалов, решение задач с параметром  и др.).  Применить последовательно программу:  1) Найди область определения объекта; 2) Выполни доступные преобразования объекта; 3) Выполни проверку на двух уровнях (для уравнений и их систем):  а) на соответствие найденных решений области определения;  б) непосредственная подстановка в исходный объект.  Использовать функциональные методы: I. Исследование области определения (если она пуста. То решения нет и нет необходимости в  дальнейших действиях).    II. Исследование множества значений, которые принимают левая и правая части равенства или  неравенства ( возможно, что имеет место метод оценки). III. Исследование на монотонность обеих частей объекта в рамках его области определения  (возможно, имеет место применение теорем о монотонности).  IV. Графический подход к решению проблемы.  ÑÕÅÌ À - ÀÍ ÀËÈÇÀÒÎ Ð Рассмотрим пример выбора способа решения задания: (X2-7X+3)log2(6x-2)?0 Î ÁÚÅÊÒ í åðàâåí ñòâî Ì Î ÄÅËÜ (х2 ­7х +3)log2 (6x ­2) 0 I.  =0 II. / =0 III. A2+B+C=0 IV. A2+B +C 2=0 ÊÎ Ì ÁÈÍ ÈÐÎ ÂÀÍ Í Î Å ÒÈÏ Í ÅÑÒÀÍ ÄÀÐÒÍ Î Å Í ÅÑÒÀÍ ÄÀÐÒÍ Î Å ÇÀÄÀÍ ÈÅ ÇÀÄÀÍ ÈÅ ÂÈÄ ÔÓÍ ÊÖÈÎ Í ÀËÜÍ Û Å ÈÑÑËÅÄÎ ÂÀÍ Èß Ï ÓÒÜ Ï ÐÅÎ ÁÐÀÇÎ ÂÀÍ ÈÉ Î ÁÙ ÈÅ Î ÁÙ ÈÅ Ì ÅÒÎ ÄÛ Ì ÅÒÎ ÄÛ ÀËÃÎ ÐÈÒÌ I Î ÁËÀÑÒÜ, Î Ï ÐÅÄÅËÅÍ Èß II Ì Í Î ÆÅÑÒÂÎ ÇÍ À×ÅÍ ÈÉ, IV ÃÐÀÔÈÊ. III Ì Î Í Î ÒÎ Í Í Î ÑÒÜ, I Î ÁËÀÑÒÜ Î Ï ÐÅÄÅËÅÍ Èß, II Ï ÐÅÎ ÁÐÀÇÎ ÂÀÍ ÈÅ, III ÄÂÓÕÓÐÎ ÂÍ ÅÂÛ É IV ÂÛ ÁÎ Ð Î ÒÂÅÒÀ. ÊÎ Í ÒÐÎ ËÜ, I ÈÍ ÒÅÐÂÀËÎ Â, II ËÎ ÃÀÐÈÔÌ ÈÐÎ - ÂÀÍ ÈÅ, III ÂÂÅÄÅÍ ÈÅ ÄÂÓÕ Ï ÅÐÅÌ ÅÍ Í Û Õ. Пример Объект Тип Вид 375х2 + 178х – 197 = 0 3sin2 x + sinxcosx – 2cos2 x = 0 (х2 ­7х +3)log2 (6x ­2) 0 уравнение алгебраическое квадратное полное уравнение тригонометрическое однородное неравенство модельное  «произведение, меньшее нуля»