Конспект урока "Объем конуса"

На этом уроке мы вспомним, какие фигуры мы называли конусом, усеченным конусом. Поговорим  об основных элементах конуса, усеченного конуса. Затем выведем формулу для вычисления объема  конуса и формулу для вычисления объема усеченного конуса. Конспект урока "Объем конуса"    Сегодня на уроке мы вспомним, какие фигуры мы назвали конусом, усечённым конусом, выведем формулы для вычисления объёма конуса и усечённого конуса. Конус – это один из видов тел вращения. Рассмотрим произвольную плоскость окружность перпендикулярную к плоскости точку окружности проведём прямую. этой окружности. Через точку , и каждую с центром , лежащую в плоскости и прямую , называется вершиной, а прямая Определение: Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью, а сами прямые – образующимиконической поверхности. Точка поверхности. Мы давали такое определение. Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей Вспомним элементы конуса. называется осью конической , называется конусом. . Основанием конуса называется круг, границей которого служит окружность Вершиной конуса называется вершина конической поверхности. Образующими конуса называются отрезки образующих конической поверхности, заключённые между его вершиной и основанием. Отметим, что все образующие конуса равны друг другу. Боковой поверхностью конуса называется фигура, образованная всеми образующими конуса. Ось конической поверхности называется осью конуса. А её отрезок (или его длина), заключённый между вершиной и основанием, - высотой конуса. Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов на . На экране изображён конус, полученный вращением прямоугольного треугольника вращением катета . вокруг катета , а боковая поверхность конуса – вращением гипотенузы . В этом случае основание конуса образуется Теперь давайте сформулируем и докажем теорему. Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Доказательство. Рассмотрим конус с объёмом основания . и вершиной в точке , радиусом , высотой так, чтобы она проходила черев высоту конуса. Любое сечение Проведём ось конуса плоскостью перпендикулярной к оси точке пересечения этой плоскости с осью Обозначим радиус этого круга за где икс – абсцисса точки . является кругом с центром в . Например, с центром в точке . , а площадь сечения обозначим за , проходит через высоту конуса, то, значит, что ось Поскольку ось перпендикулярна плоскости основания, тогда плоскость сечения параллельна плоскости основания, значит, можно записать, что параллельности этих отрезков следует равенство углов , , отсюда следует подобие треугольников . Из . Из подобия можно записать равенство отношений , – высота конуса, значит , тогда можно записать, что . Отрезок отношение . Отсюда нетрудно выразить Подставим вместо что . . Площадь сечения равна . его выражение через радиус основания конуса, получим, Для вычисления объёма воспользуемся основной формулой для вычисления объёмов тел. Пределы интегрирования от до , получим, что объём равен Что и требовалось доказать. . Следствием этой теоремы будет формула для вычисления объёма усеченного конуса. Но прежде чем сформулировать следствие, давайте вспомним, какую фигуру мы назвали усечённым конусом. Усечённым конусом называется часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, перпендикулярной оси конуса. Назовём элементы усечённого конуса. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усечённого конуса. Высотой усечённого конуса называется отрезок (или его длина), соединяющий центры его оснований. Прямая Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, расположенные между основаниями, называются образующими усечённого конуса. называется его осью. Все образующие усечённого конуса равны друг другу. Усечённый конус может быть получен вращением на трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. прямоугольной Теперь сформулируем следствие. Объём усечённого конуса, высота которой равна и , вычисляется по формуле: , а площадь оснований равны Решим несколько задач. Задача: заполнить таблицу недостающими данными. Решение: в первой строке нам известны радиус основания конуса и высота конуса, для того, чтобы найти объём конуса, воспользуемся только что доказанной формулой . Занесём получившееся значение в ячейку. Во второй строке нам даны объем конуса и радиус его основания, для того чтобы найти высоту конуса, выразим из формулы объёма высоту и получим . Занесём получившееся значение в ячейку. В третьей строке нам даны: объём конуса и его высота нам необходимо найти радиус основания конуса. Подставим эти значения в известную нам формулу, выразим из неё высоту конуса и получим . . На расстоянии Задача: высота конуса равна пересекает плоскость, параллельная основанию. Найти объём исходного конуса, если объём меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен Решение: так как плоскость пересекает конус на расстоянии значит, высота меньшего конуса равна 2 см. от вершины его . от вершины, Тогда зная объём меньшего конуса нетрудно найти радиус основания меньшего конуса . Большой конус и маленький конус подобны, поэтому можно записать равенства отношений . Отсюда нетрудно найти, что радиус основания большого конуса равен . Тогда, подставив найденные значения в формулу для вычисления объёма, получим, что объём конуса равен Задача: радиусы оснований усечённого конуса равны конуса равна Решение: построим осевое сечение усечённого конуса. . Найти объём усечённого конуса. . и , а образующая В осевом сечении будет равнобедренная трапеция, основаниями которой будут диаметры оснований конуса, а боковыми сторонами будут образующие усечённого конуса. Опустим высоты трапеции, эти высоты будут равны высоте конуса. Поскольку трапеция равнобедренная, значит, высоты разбивают трапецию на два равных прямоугольных треугольника и прямоугольник. Нетрудно найти, что высота трапеции, а значит и усеченного конуса будет равна: Вычислим площади оснований усечённого конуса. Подставим найденные значения в формулу для вычисления объёма усеченного конуса и получим, что объём усечённого конуса равен . Итоги: Сегодня на уроке мы вспомнили, какие фигуры называются конусом и усечённым конусом, вывели формулы для вычисления объёмов конуса и усечённого конуса. Решили насколько задач.