Конспект урока "Объем пирамиды"

В этом уроке мы вспомним, какие фигуры мы называли пирамидой, усеченной пирамидой. Назовем  основные элементы пирамиды, усеченной пирамиды. Затем выведем формулу для вычисления  объема пирамиды и формулу для вычисления объема усеченной пирамиды. Конспект урока "Объем пирамиды"    Сегодня на уроке мы вспомним, какую фигуру мы назвали пирамидой, основные элементы пирамиды, выведем формулу для вычисления объёма пирамиды. Давайте начнём с того, что вспомним, какую фигуру мы назвали пирамидой. Определение: Итак, рассмотрим многоугольник этого многоугольника. Соединим точку многоугольника. В итоге получим Многогранник, составленный из называется пирамидой. треугольников: -угольника и точку , не лежащую в плоскости отрезками с вершинами , и этих , … , треугольников, . Многоугольник Треугольники гранями пирамиды. , называется основанием пирамиды. , … , называются боковыми , , … , . и основанием называют -угольной – её боковыми – вершиной пирамиды, а отрезки Точка рёбрами. Пирамиду с вершиной пирамидой и обозначают так: Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с плоскостью её основания и перпендикулярный к этой плоскости, называетсявысотой пирамиды. Теперь давайте сформулируем и докажем теорему. Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Доказательство. Сначала давайте докажем теорему для треугольной пирамиды. Рассмотрим треугольную пирамиду и высотой с объёмом , площадью основания . Давайте проведём координатную ось пирамиды. так, чтобы она проходила через высоту Рассмотрим сечение параллельной плоскости основания. плоскостью, перпендикулярной к оси и, значит, Обозначим через точку через обозначим площадь сечения. точку пересечения плоскости с осью , Выразим площадь сечения пирамиды . через площадь основания пирамиды и высоту По рисунку нетрудно увидеть, что . Это действительно так. Это подобие вытекает из того факта, что сечение параллельно плоскости основания. Раз треугольники подобны, значит, отношения . Рассмотрим прямоугольные треугольники сечение углы , значит, отрезки и . Так как , отсюда, как соответственные углы. Значит, треугольники отрезка . Поэтому отношения . Длина , то есть отношения равны. Поскольку в обоих равенствах присутствует отношение что , то можно записать, То есть мы получили, что коэффициент подобия для треугольников и равен . Тогда площади этих треугольников относятся Теперь давайте применим основную формулу для вычисления объёмов тел. . Границами интегрирования будут числа 0 и . Получим, что объём равен . Теперь давайте докажем эту теорему для произвольной пирамиды с высотой разбить на треугольные пирамиды с общей высотой пирамиду можно разбить так. и площадью основания . Такую пирамиду можно , например, пятиугольную Выразим объём каждой треугольной пирамиды по доказанной формуле. Мы знаем, что если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел. Значит, объём пятиугольной пирамиды будет равен сумме объёмов треугольных пирамид. , в скобках получим сумму площадей оснований Вынесем за скобку треугольных пирамид, а это есть ничто иное как площадь основания пятиугольной пирамиды. Таким образом, объём произвольной пирамиды равен требовалось доказать. . Что и Следствием из этой теоремы будет формула для вычисления объёма усечённой пирамиды. Прежде чем сформулировать это следствие, давайте вспомним, какую пирамиду мы называем усечённой. Пусть нам дана пирамида параллельную плоскости основания пирамиды и пусть эта плоскость пересекает боковые рёбра в точках фигуры: пирамиду , …, . Плоскость и многогранник. . Проведём секущую плоскость разбивает пирамиду на две , , Определение: Многогранник, гранями которого являются и четырехугольников называется усечённой пирамидой. , расположенные в параллельных плоскостях и и так далее , -угольники и называются соответственно верхним и нижним основанием. Четырёхугольники называются боковыми гранями. , и так далее , и так далее называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды. Усечённую пирамиду обозначают так . Возьмём на верхнем основании произвольную точку перпендикуляр на нижнее основание. Этот перпендикуляр называется высотой усечённой пирамиды. Объём усечённой пирамиды, высота которой равна равны , вычисляется по формуле: и и из этой точки опустим , а площадь оснований Решим несколько задач. Задача: найти объём правильной треугольной пирамиды, высота которой равна Решение: поскольку пирамида правильная, значит, в основании лежит правильный, то есть равносторонний треугольник. , а сторона основания равна . Площадь равностороннего треугольника со стороной 13 см равна . Применим формулу для вычисления объёма, подставим числа, выполним элементарные преобразования и получим, что объём призмы равен . и Задача: в правильной усечённой четырёхугольной пирамиде стороны основания равны , а площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, равна . Найти объём усеченной пирамиды. Решение: воспользуемся формулой для вычисления объёма усечённой пирамиды. Площадь оснований этой пирамиды найти нетрудно, эти площади равны и . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Этим сечением будет трапеция, причем высота этой трапеции будет высотой усечённой пирамиды, потому что высотой усечённой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный на нижнее основание. Высоту мы найдём пользуясь формулой для вычисления площади трапеции. Основания трапеции – диагонали квадратов, то есть основания трапеции соответственно равны . Получим, что высота и трапеции равна . Подставив найденные значения в формулу для вычисления объёма усечённой пирамиды, мы получим, что объём усечённой пирамиды равен . Итоги: Сегодня на уроке мы вспомнили такие фигуры как пирамида, усечённая пирамида, вывели формулы для вычисления объёма пирамиды, усечённой пирамиды. Решили несколько задач.