Конспект урока "Объем шара"

На этом уроке мы дадим определение шара. Выведем формулу для вычисления объема шара. А  затем с помощью этой формулы выведем формулу для вычисления площади сферы. А также  закрепим полученные знания при решении практических задач. Конспект урока "Объем шара"    На этом уроке мы дадим определение шара. Выведем формулу для вычисления объёма шара. А затем с её помощью выведем формулу для вычисления площади сферы. Прежде чем приступить к рассмотрению данной темы, давайте вспомним, что такое шар. Определение: Шар – это совокупность всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного. Причём, данная точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара. Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с любой точкой шаровой поверхности. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара. Диаметр шара равен двум радиусам. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, т.е. не проходящий через центр шара, называется хордой шара. Понятно, что сечение шара плоскостью есть круг. Сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, называется большим кругом шара. Итак, справедлива следующая теорема: объём шара радиуса . с центром в точке . Выберем равен Докажем теорему. Пусть нам дан шар радиуса ось Тогда отрезок это есть радиус шара так, чтобы начало оси совпадало с центром шара. . Докажем, что объём шара равен . отметим произвольную точку На оси плоскостью проходящее через эту точку перпендикулярно к оси такое сечение шара плоскостью является кругом с центром в точке и рассмотрим сечение шара . . Заметим, что Отрезок . Обозначим радиус этого круга через абсцисса точки . , а его площадь через , где – через Выразим площадь Из прямоугольного треугольника круга. Тогда имеем и радиус шара . по теореме Пифагора найдём радиус . Площадь круга . Заменим радиус круга выражением . Тогда получаем, что . Заметим, что эта формула верна для любого положения точки Иначе говоря, верна для всех , удовлетворяющих условию на диаметре . . Так как мы с вами выразили площадь через помощью основной формулы объёма тела. Вспомним её: объем тела , то можем вычислить объём шара с равен . Итак, применяя основную формулу для вычисления объёмов тел получаем, что объём шара равен . Этим мы с вами доказали, что объём шара с радиусом равным можно вычислить по формуле . Что и требовалось доказать. Ранее мы с вами без доказательства привели формулу для вычисления площади сферы. Напомню, что площадь сферы можно вычислить по формуле: . Теперь давайте выведем эту формулу, пользуясь формулой объёма шара. Итак, рассмотрим сферу радиуса граней. многогранник, имеющий с центром в точке О и описанный около неё Напомним, что многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник. Занумеруем грани в произвольном порядке и обозначим через грани. – площадь -й Затем соединим центр О сферы отрезками со всеми вершинами многогранника. При этом получим эн пирамид с общей вершиной О, основаниями которых являются грани многогранника, а высотами – радиусы сферы, проведенные в точки касания граней многогранника со сферой. Следовательно, объём -й пирамиды равен , а объём всего описанного многогранника равен: площадь поверхности многогранника. . Где – Отсюда получаем: . таким образом, чтобы наибольший описанного многогранника будет стремиться к объёму шара. В самом Теперь будем неограниченно увеличивать размер каждой грани описанного многогранника стремился к нулю. При этом объём деле, если наибольший размер каждой грани описанного многогранника не превосходит центром в точке , то описанный многогранник содержится в шаре радиуса с . Но ведь с другой стороны, описанный многогранник содержит исходный шар радиуса . Значит, объём . Так как выражение при ). ( при , то и объем Переходя затем к пределу, получаем, что По определению площади сферы . следовательно, Что и требовалось доказать. . , Задача: объём шара равен равен Решение: запишем формулу для вычисления объёма шара. см3. Найдите диаметр шара. По условию задачи объём шара равен см3. Отсюда видим, что радиус шара равен (см). Напомним, что диаметр шара вдвое больше его радиуса. Тогда диаметр нашего шара равен (см). Запишем ответ. Задача: радиус шара увеличили в шара? Решение: запишем формулу для вычисления объёма шара. раза. Во сколько раз увеличился объём Так как по условию задачи радиус исходного шара увеличили в 2 раза, то радиус данного шара будет равен . Подставляя данный радиус в формулу для вычисления объёма шара видим, что объём исходного шара увеличился в 8 раз. Следовательно, ответ: объём шара увеличился в 8 раз. Задача: в цилиндр вписан шар. Найдите отношение объёма шара к объёму цилиндра. Решение: шар, вписанный в цилиндр, касается оснований цилиндра в их центрах и боковой поверхности цилиндра по окружности большого круга, параллельной основаниям цилиндра. Отсюда следует, что равна , а высота цилиндра . Объём шара вычисляется по формуле можно вычислить по формуле - высота цилиндра. Так как высота данного цилиндра равна двум радиусам, а площадь основания равна , а объём данного цилиндра – это площадь основания, , то объём цилиндра равен , где . Найдём отношение объёма шара к объёму цилиндра. Получаем, что объём шара относится к объёму цилиндра, как . Эту задачу называют «Задачей Архимеда». Во времена Архимеда формула объёма шара была неизвестна. Поэтому данная задача считалась очень трудной и, решив ее, Архимед испытал большую радость. На могиле Архимеда был поставлен памятник с изображением шара и описанного около него цилиндра. Итоги: На этом уроке мы дали определение шара. Вывели формулу для вычисления объёма шара. А затем с её помощью вывели формулу для вычисления площади сферы.