Конспект урока по теме "Системы уравнений с двумя неизвестными"

Урок по теме: «Системы уравнений с двумя переменными» Темой сегодняшнего занятия будут системы уравнений. В курсе алгебры мы с вами научились решать многие системы уравнений с двумя переменными.  Мы знаем несколько методов решений систем уравнений:      метод подстановки, метод сложения, метод введения новых переменных, графический метод. Нам осталось ввести некоторые обобщения и уточнения. Определение. Если поставлена задача: найти такую пару чисел (х;y), причем эти числа  удовлетворяют каждому уравнению p(x;y)=0 и u(x;y)=0, то эти уравнения  образуют систему уравнений: {p(x;y)=0,u(x;y)=0.. Пара чисел (x;y), удовлетворяющая каждому уравнению системы, называется решением  системы уравнений. Решить систему уравнений – найти все пары чисел (x;y),  удовлетворяющие данной системе.  При решении систем уравнений мы руководствуемся теми же принципами, что и при решении обычных уравнений. Постепенно переходим к более простым уравнениям, выполняя  равносильные преобразования. К уравнениям следствиям мы также можем переходить, но  не стоит забывать, что в этом случае мы должны проверить все полученные корни. Определение. Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют  одни и те же решения или если решений нет у каждой из систем. Равносильными являются методы: 1. Метод подстановки. 2. Метод сложения. 3. Метод введения новой переменой. Используя эти методы, мы заменяем исходную систему уравнений равносильной системой,  как правило, получившуюся систему решить гораздо проще. Методы, приводящие к уравнениям следствиям: 1. Возведение в квадрат обеих частей уравнения. 2. Умножение уравнений системы. 3. Преобразования, расширяющие область допустимых значений каждого уравнения. При использовании данных методов проверку корней следует проводить всегда! Система уравнений может состоять и из трех уравнений, и вообще, любого количества  уравнений. В этом случае нужно найти такие числа, которые удовлетворяют каждому  уравнению системы. Обычно количество уравнений совпадает с количеством переменных в  системе. Пример.  Решить систему уравнений: {xy−8=x3y,xy+6=y3x. Решение.  Для начала, перемножим уравнения системы: (xy−8)(xy+6)=x2y2. Мы можем заметить, что удобно ввести новую переменную u=xy, получили следующее  уравнение: (u−8)(u+6)=u2. Решаем его и находим u=−24 или ху=−24. Получив более простую зависимость, перейдем к более простой  системе: {xy−8=x3y,xy=−24. Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим y через x: {xy−8=x3y,y=−24x. ⎧⎩⎨−24x∗x−8=x3−24x,x=−24y. {−32=−x424,y=−24x. {x4=768,y=−24x. {x=±43–√4,y=∓63√4. Получили две пары чисел: (43–√4; −63√4) и (­43–√4; 63√4). Мы использовали метод умножения, поэтому нам придется проверить полученные корни. ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪±43–√4∗(∓63√4)−8=(±43√4)3∓63√4,±43– √4∗(∓63√4)+6=(∓63√4)3±43√4<=>{−32=−32,−18=−18. Обе пары чисел удовлетворяют системе. Пример. Решить систему уравнений. {x2+4x−y2−3y=0,x+yx−y−−−√+3x−yx+y−−−√=4. Решение.  Рассмотрим второе уравнение системы и введем новую переменную: t=x+yx−y−−−√,  тогда наше уравнение примет вид: t+3t=4. Решив это уравнение, находим t=3 и t=1. Введя обратную замену, исходную систему  можно свести к совокупности двух систем: Решим каждую систему отдельно. {x2+4x−y2−3y=0,x+yx−y−−−√=3.. Возведем второе уравнение в квадрат: {x2+4x−y2−3y=0,x+yx−y=9. Так же из второго уравнения выразим х через у: {x2+4x−y2−3y=0,x=54y. Воспользуемся методом подстановки: {(54y)2+5y−y2−3y=0,x=54y. Решаем квадратное уравнение и находим корни: {y=0;y=−329,x=0;x=−409. Со второй системой, проведя те же самые действия, получим следующие  корни: {y=0;y=0,x=0;x=−4. Нам осталось провести проверку решений. Поскольку, мы возводили в квадрат обе части, а  это не самое надежное действие. Пара решений (−4;0) и (−409;−329) подходят. В  этом, ребята, может убедиться сами, проведя проверку.  А вот решение (0;0) не подходит, подставляя эти значения во второе уравнение системы,  получаем деление на ноль, что недопустимо. Значит решение (0;0) является лишним. Ответ: (−4;0) и (−409;−329). Пример.  Составить уравнение параболы y=ax2+bx+c, проходящей через  точки: А(1;−2); B(−1;8); C(2;−1). Решение.  Мы знаем координаты х и у для трех точек, через которые проходит парабола, но мы не  знаем коэффициенты a, b, c. С другой стороны, у нас есть три точки, а значит мы можем  составить три уравнения с тремя неизвестными, то есть систему из трех  уравнений: ⎧⎩⎨−2=a+b+c,8=a−b+c,−1=4a+2b+c). Выразим из первого уравнения с: c=−2−a−b. Подставим это выражение во второе уравнение: a−b−2−a−b=8. Отсюда легко найти значение b=−5. Фактически, выполнив равносильные преобразования, мы получили простую  систему: c=−2−a−b,b=−5,−1=4a+2b+c. c=3−a,b=−5,−1=4a−10+3−a. c=1,b=−5,a=2. Итак, уравнение параболы, проходящей через заданные точки, выглядит следующим  образом: y=2x2−5x+1. Пример. Сумма цифр задуманного трехзначного числа равна 9, а сумма квадратов его цифр равна 29. Если к задуманному числу прибавить 198, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите задуманное число. Решение.  Составление математической модели. Пусть х – цифра стоящая на первом месте в заданном числе, y – вторая цифра, z – третья  цифра в требуемом числе. Тогда, x+y+z=9 и x2+y2+z2=29. Нам задано трехзначное число, тогда 100x – число сотен, 10y – число десятков, z­ число  единиц.  100х+10у+z – как раз и получится наше число. 100z+10y+x – число записанное  наоборот. Учитывая условия задачи, составим систему  уравнений: ⎧⎩⎨x+y+z=9,x2+y2+z2=29,100x+10y+z+198=100z+1 0y+x. Работа с составленной моделью. Внимательно посмотрим на третье уравнение нашей системы: 100x+10y+z+198=100z+10y+x. Это уравнение легко преобразуется к  виду: 99x−99z=−198 или x−z=−2. z−2+y+z=9,x2+y2+z2=29,x=z−2. y=11−2z,(z−2)2+(11−2z)2+z2=29,x=z−2. y=11−2z,(z−2)2+(11−2z)2+z2=29,x=z−2. y=11−2z,6z2−48z+96=0,x=z−2. y=11−2z,z2−8z+16=0,x=z−2. y=11−2z,(z−4)2=0,x=z−2. y=3,z=4,x=2. Ответ на вопрос, поставленный в задаче. Нам требуется найти заданное число, где х ­  первая цифра числа, y – вторая цифра числа, z – третья. Тогда наше число ­ 234. Ответ: 234. Задачи для самостоятельного решения 1. Решить систему уравнений: {xy−4=x3y,xy+2=y3x. 2. Решить систему уравнений: {xy+4y+2x−13=0,x+3yy+5−−− −√−3y+5x+3y−−−−√=−2. 3. Составить уравнение параболы y=ax2+bx+c, проходящей через  точки: А(−1;6); B(2;9); C(1;2). 4. Сумма цифр задуманного трехзначного числа равна 10, а сумма квадратов его цифр равна 38. Если к задуманному числу прибавить 198, то получится число, записанное теми же  цифрами, но в обратном порядке. Найдите задуманное число.