Конспект урока "Понятие объема"

В повседневной жизни нам очень часто приходится сталкиваться с понятием объема. Например, нас интересует вместимость коробки, или банки. А в практической деятельности человеку просто необходимо уметь вычислять объем при изготовлении каких-либо деталей, или при строительстве различных сооружений. Ведь многие строительные объекты и детали конструкций имеют форму геометрических тел: параллелепипедов, призм, пирамид, шаров и т.д. На этом уроке мы будем говорить об объеме тел, как об одной из важных величин, связанной с геометрическими телами. А также выявим основные свойства объема. Конспект урока "Понятие объема" На этом уроке мы поговорим об объеме тел. Выясним основные свойства объёма. В повседневной жизни очень часто нам приходится сталкиваться с понятием объёма. Например, нас интересует объём (вместимость) коробки или банки. А в практической деятельности человеку необходимо уметь вычислять объём при изготовлении каких-либо деталей. Или при строительстве различных сооружений. Ведь многие строительные объекты и детали конструкций имеют форму геометрических тел: параллелепипедов, призм, пирамид, шаров и т.д. Итак, мы с вами продолжаем изучать стереометрию. Напомним, чтостереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Как вы уже поняли, пространственные фигуры, или как их ещё называют тела, в отличие от плоских фигур, обладают вместимостью, т.е. они имеют объём. Такие фигуры называют объёмными. А значит, мы можем найти объём тела. Давайте разберёмся, как же мы будем его вычислять. Из курса планиметрии вы уже знакомы с понятием площади многоугольника. Каждый многоугольник имеет площадь, которая измеряется с помощью выбранной единицы измерения площадей. В качестве единицы измерения площадей обычно берут квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Площадь может измеряться в см2, в м2, в км2 и т.д. Напомним, что площадь – это положительная величина, определенная для каждого многоугольника, числовое значение которой обладает следующими свойствами: 1) площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения длины, равна единице. 2) равные многоугольники имеют равные площади. 3) если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. Процедура измерения объёмов аналогична процедуре измерения площадей. Будем понимать объём как количество занимаемого геометрическим телом пространства. При выбранной единице измерения объём тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объёмов и её частей укладываются в этом теле. Чтобы измерить объем, надо выбрать единицу измерения объёмов. Единицей объёма является объём куба с ребром, равным единице. Такой куб называется единичным. Объём единичного куба принимается за единицу измерения объёмов. Например: объём куба с ребром, равным 1сантиметру, равен одному кубическому сантиметру, пишут так: 1 куб. см, или так 1 также определяются и кубический миллиметр (1 (1 Нетрудно заметить, что название единицы объёма получается из названия единицы длины присоединением прилагательного «кубический». ) и так далее. . Точно ), кубический метр Находя объём тела, мы фактически выясняем, сколько единичных кубов он содержит. Проще всего измерить объём прямоугольного параллелепипеда. Пусть дан прямоугольный параллелепипед с измерениями: длина – 5 см, ширина – 4 см и высота – 3 см. Посчитаем, сколько единичных кубов с ребром 1 см вмещается в нём. Для этого разобьём параллелепипед плоскостями, параллельными основаниям, на 3 слоя высотой в 1 см. Понятно, что для того чтобы заполнить весь прямоугольный параллелепипед, нужно вложить в него 3 одинаковых слоя с единичными кубами, т.к. высота параллелепипеда 3 см. Посмотрим сколько единичных кубов заполнят первый слой. Видим, всего в первом слое поместилось же 3 одинаковых слоя. А, значит, в трёх таких слоях будет помещаться ед. кубов. ед. кубов. Но у нас Следовательно, объём указанного параллелепипеда равен Напомним, что объём обозначается заглавной латинской буквой , которая является сокращением от латинского слова volume – что в переводе обозначает «объём», «наполнение». (см3). Итак, объём – это положительная величина, определённая для каждого из рассматриваемых тел, числовое значение которой имеет следующие свойства: 1) объём куба, ребро которого равно единице измерения длины, равен единице. 2) равные геометрические тела имеют равные объёмы. Равенство двух фигур, в частности двух тел, в стереометрии определяется так же, как и в планиметрии: два тела называются равными, если их можно совместить наложением. На экране изображены два прямоугольных параллелепипеда с соответственно равными измерениями. Так как их измерения соответственно равны, то каждый из них содержит столько же единиц измерения объемов, сколько и второй. 3) если геометрическое тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел. На экране изображено тело, составленное из нескольких тел, причем внутренние области этих тел не имеют общих точек, но имеют общие граничные точки. Наше тело состоит из цилиндра и конуса. Общими граничными точками этих тел будут точки их общего основания. Понятно, что объём всего тела складывается из объемов составляющих его тел. Второе и третье свойства называются основными свойствами объёмов. Справедливо следующее следствие из этих свойств. Рассмотрим куб, принятый за единицу измерения объёмов. Его ребро равно единице измерения отрезков. Разобьём каждое ребро этого куба на точки разбиения плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Куб равных частей ( – произвольное целое число) и проведём через разобьётся на равных маленьких кубов с ребром . Так как сумма объёмов всех маленьких кубов равна объёму всего куба, т.е. равна единице, то объём каждого из маленьких кубов равен . Тогда имеем, объём куба с ребром равен . Давайте ответим на несколько несложных вопросов. дм3. Следовательно, куб с ребром м можно кубиков с длиной ребра дм. Первый вопрос: на сколько кубиков с длиной ребра дм можно распилить куб с ребром м? Ответ: т.к. м = дм, то объем всего нашего куба составит распилить на Второй вопрос: сколько кубиков с длиной ребра см содержит прямоугольный параллелепипед с размерами см на см на см? Ответ: объём параллелепипеда равен нашпараллелепипед содержит кубика с длиной ребра см. И третий вопрос: сколько кубиков содержится в кубике Рубика? Ответ: обратите внимание, на экране изображён кубик Рубика. см3. Значит, Каждый слой кубика Рубика содержит Всего он имеет 3 таких слоя. Значит, весь кубик Рубика должен состоять из маленьких кубиков. Но на самом деле их: за счет которого вращаются кубики. , т.к. вместо центрального кубика – механизм крепления, маленьких кубиков. Итоги: На этом уроке мы говорили об объёме, одной из важных величин, связанной с геометрическими телами. Объём – это положительная величина, определенная для каждого из рассматриваемых тел, числовое значение которой имеет следующие свойства: 1) равные геометрические тела имеют равные объёмы. 2) если геометрическое тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объёмов этих тел. 3) объём куба, ребро которого равно единице измерения длины, равен единице.