Конспект урока "Применение производной для исследования функций на монотонность"

На этом уроке рассматривается исследование функции на монотонность с помощью производных. Конспект урока "Применение производной для исследования функций на монотонность" Вопросы занятия: · рассмотреть исследование функции на монотонность с помощью производных. Материал урока. Прежде чем приступить к изучению нового материала, выполните упражнение. Упражнение. Давайте изобразим график произвольной возрастающей дифференцируемой функции y = f(x). Возьмём на графике произвольно две точки и проведём касательные к графику функции в точках x1 и x2. Теперь рассмотрим эти касательные подробнее. Касательная, проведённая в точке x1 с положительным направлением оси Ox образует острый угол, то есть тангенс этого угла больше нуля. Это значит, что угловой коэффициент этой касательной – положительный. А мы помним, что угловой коэффициент касательной – это ни что иное, как значение производной функции f(x) в точке x1. Можно записать, что f'(x1) > 0. Теперь рассмотрим касательную к графику функции в точке x2. Эта касательная также образует острый угол с положительным направлением оси Ox, то есть проведя аналогичные рассуждения можно записать, что f'(x2) > 0. В точке x = 0 касательная совпала с осью Ox, в этой точке выполняется равенство f'(x2) = 0. Если мы с вами будем продолжать брать точки на графике функции и проводить в них касательные, то угловые коэффициенты всех касательных будут больше либо равны нуля. То есть для возрастающей функции в любой точке выполняется неравенство f'(x) ≥ 0. Давайте теперь рассмотрим график убывающей дифференцируемой функции. Возьмём две произвольные точки на этом графике и проведём касательные к графику функций в этих точках. И рассмотрим угловые коэффициенты этих касательных. Касательные с положительным направлением оси Ox образуют тупые углы, то есть тангенсы этих углов меньше нуля, значит, f'(x) < 0. Это неравенство выполняется для всех точек данного графика за исключением тех, касательные в которых параллельны оси Ox (в этих случаях f'(x) = 0). Обобщая можно сказать, что в любой точке графика убывающей функции выполняется неравенство f'(x) ≤ 0. Из рассмотренных случаев можно вывести закономерность: если функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неотрицательна; если функция убывает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неположительна. Верны и обратные утверждения. Мы сформулируем их в виде теорем. Обратите внимание, что мы рассматриваем только открытые промежутки, то есть интервалы или открытые лучи. Это делается потому, что некорректно ставить вопрос о производной в концах промежутков. Итак, сформулируем теоремы. Доказывать мы их не будем. Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f'(x) ≥ 0 (причём, f'(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция y = f(x) возрастает на промежутке X. Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f'(x) ≤ 0 (причём, f'(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция y = f(x) убывает на промежутке X. Давайте рассмотрим физическое истолкование теорем. Пусть колобок убегает от пенька, на котором сидит зайчик. Пенёк возьмём за начало отсчёта, и пусть расстояние от пенька до колобка задано функцией S = S (t). Если скорость колобка положительна, то очевидно, что он будет двигаться от пенька, то есть расстояние между пеньком и колобком будет увеличиваться. Математически можно сказать, что функция S (t) будет возрастать. Если в какой-то момент скорость колобка станет равна нулю, а потом опять станет положительной, то он в указанный момент как бы притормаживает, а потом продолжает удаляться от пенька. Если же в некоторый момент времени он увидит, что заяц убежал, и решит вернуться к пеньку, то его скорость относительно пенька станет отрицательной и, соответственно расстояние между пеньком и колобком будет уменьшаться. Математически можно сказать, что функция S (t)будет убывать. В данном случае колобка будем рассматривать как материальную точку. А что такое скорость материальной точки? Это производная пути по времени. То есть от знака производной (в нашем случае скорости) зависит характер монотонности функции – в данном случае функции S = S (t). В этом и заключается суть теорем. Давайте рассмотрим несколько примеров. Пример. Пример. Рассмотрим ещё один пример. Пример. Мы с вами рассмотрели случай, когда на промежутке X производная больше либо меньше нуля. А что делать, если на всем промежутке X производная равна нулю? Тогда речь идёт о функции y = C, где C – постоянная. Таким образом можно сформулировать ещё одну теорему, которую мы тоже не будем доказывать. Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется равенство f'(x) = 0, то функция y = f(x) постоянна на промежутке X. Давайте ещё раз повторим основные теоремы, показывающие зависимость промежутков монотонности функции от знака производной. Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f'(x) ≥ 0 (причём, f'(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция y = f(x) возрастает на промежутке X. Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f'(x) ≤ 0 (причём, f'(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция y = f(x) убывает на промежутке X. Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется равенство f'(x) = 0, то функция y = f(x) постоянна на промежутке X. На этом уроке рассматривается исследование функции на монотонность с помощью производных. Конспект урока "Применение производной для исследования функций на монотонность" Вопросы занятия: · рассмотреть исследование функции на монотонность с помощью производных. Материал урока. Прежде чем приступить к изучению нового материала, выполните упражнение. Упражнение. Давайте изобразим график произвольной возрастающей дифференцируемой функции y = f(x). Возьмём на графике произвольно две точки и проведём касательные к графику функции в точках x1 и x2. Теперь рассмотрим эти касательные подробнее. Касательная, проведённая в точке x1 с положительным направлением оси Ox образует острый угол, то есть тангенс этого угла больше нуля. Это значит, что угловой коэффициент этой касательной – положительный. А мы помним, что угловой коэффициент касательной – это ни что иное, как значение производной функции f(x) в точке x1. Можно записать, что f'(x1) > 0. Теперь рассмотрим касательную к графику функции в точке x2. Эта касательная также образует острый угол с положительным направлением оси Ox, то есть проведя аналогичные рассуждения можно записать, что f'(x2) > 0. В точке x = 0 касательная совпала с осью Ox, в этой точке выполняется равенство f'(x2) = 0. Если мы с вами будем продолжать брать точки на графике функции и проводить в них касательные, то угловые коэффициенты всех касательных будут больше либо равны нуля. То есть для возрастающей функции в любой точке выполняется неравенство f'(x) ≥ 0. Давайте теперь рассмотрим график убывающей дифференцируемой функции. Возьмём две произвольные точки на этом графике и проведём касательные к графику функций в этих точках. И рассмотрим угловые коэффициенты этих касательных. Касательные с положительным направлением оси Ox образуют тупые углы, то есть тангенсы этих углов меньше нуля, значит, f'(x) < 0. Это неравенство выполняется для всех точек данного графика за исключением тех, касательные в которых параллельны оси Ox (в этих случаях f'(x) = 0). Обобщая можно сказать, что в любой точке графика убывающей функции выполняется неравенство f'(x) ≤ 0. Из рассмотренных случаев можно вывести закономерность: если функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неотрицательна; если функция убывает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неположительна. Верны и обратные утверждения. Мы сформулируем их в виде теорем. Обратите внимание, что мы рассматриваем только открытые промежутки, то есть интервалы или открытые лучи. Это делается потому, что некорректно ставить вопрос о производной в концах промежутков. Итак, сформулируем теоремы. Доказывать мы их не будем. Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f'(x) ≥ 0 (причём, f'(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция y = f(x) возрастает на промежутке X. Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f'(x) ≤ 0 (причём, f'(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция y = f(x) убывает на промежутке X. Давайте рассмотрим физическое истолкование теорем. Пусть колобок убегает от пенька, на котором сидит зайчик. Пенёк возьмём за начало отсчёта, и пусть расстояние от пенька до колобка задано функцией S = S (t). Если скорость колобка положительна, то очевидно, что он будет двигаться от пенька, то есть расстояние между пеньком и колобком будет увеличиваться. Математически можно сказать, что функция S (t) будет возрастать. Если в какой-то момент скорость колобка станет равна нулю, а потом опять станет положительной, то он в указанный момент как бы притормаживает, а потом продолжает удаляться от пенька. Если же в некоторый момент времени он увидит, что заяц убежал, и решит вернуться к пеньку, то его скорость относительно пенька станет отрицательной и, соответственно расстояние между пеньком и колобком будет уменьшаться. Математически можно сказать, что функция S (t)будет убывать. В данном случае колобка будем рассматривать как материальную точку. А что такое скорость материальной точки? Это производная пути по времени. То есть от знака производной (в нашем случае скорости) зависит характер монотонности функции – в данном случае функции S = S (t). В этом и заключается суть теорем. Давайте рассмотрим несколько примеров. Пример. Пример. Рассмотрим ещё один пример. Пример. Мы с вами рассмотрели случай, когда на промежутке X производная больше либо меньше нуля. А что делать, если на всем промежутке X производная равна нулю? Тогда речь идёт о функции y = C, где C – постоянная. Таким образом можно сформулировать ещё одну теорему, которую мы тоже не будем доказывать. Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется равенство f'(x) = 0, то функция y = f(x) постоянна на промежутке X. Давайте ещё раз повторим основные теоремы, показывающие зависимость промежутков монотонности функции от знака производной. Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f'(x) ≥ 0 (причём, f'(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция y = f(x) возрастает на промежутке X. Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f'(x) ≤ 0 (причём, f'(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция y = f(x) убывает на промежутке X. Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется равенство f'(x) = 0, то функция y = f(x) постоянна на промежутке X.