Конспект урока "Простейшие задачи в координатах"

Уже известные из планиметрии формулы вычисления координат середины отрезка, вычисления  длины вектора по его координатам, а также формула вычисления расстояния между двумя  точками не трудно адаптировать для пространства. Это учащиеся и смогут сделать на данном  уроке. Все полученные формулы будут использованы при решении различных геометрических задач. Конспект урока "Простейшие задачи в координатах"    Сегодня вы познакомитесь с формулами вычисления координат середины отрезка, вычисления длины отрезка по его координатам и вычисления расстояния между двумя точками. Такие же задачи вы уже решали на плоскости. Сейчас же рассмотрим их в пространстве. Итак, первым рассмотрим правило вычисления координат середины отрезка. Отметим в прямоугольной координатной плоскости Охуz точку А с координатами x1, y1 и z1, а также точку B с координатами x2, y2 и z2. Отметим точку C, которая является серединой отрезка АB. Можно записать, что вектор . Действительно, ведь с одной стороны по правилу треугольника с другой стороны . , а Сложим покомпонентно эти равенства. Справа видим сумму противоположных векторов , она равна нулю. Отсюда получаем, что вектор . Векторы ОА и ОB являются радиус-векторами точек А и B соответственно. Отсюда запишем их координаты. Равенство, выражающее вектор ОC через векторы ОА и ОB, запишем в координатах. Получим такие координаты для вектора C. Но так как он является радиус- вектором точки C, то очевидно, что точка С будет иметь такие же координаты. Можем сделать вывод, что каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. Задание: точка М середина отрезка АВ. Найти координаты точки М по координатам точек А и В. Решение: Мы рассмотрели примеры применения формул координат середины отрезка, а теперь перейдём к следующему виду задач:вычисление длины вектора по его координатам. Длина вектора его координат. Докажем это утверждение. равна корню квадратному из суммы квадратов Что и требовалось доказать. Задание: по координатам точек А и В найти длину вектора АВ. а) , ; б) , . Решение: Задание: Вычислить длины векторов , , , и . Решение: Далее рассмотрим ещё одну простейшую задачу в координатах: определение расстояния между двумя точками. Отметим две произвольные точки пространства М1 и М2. Пусть координаты точки М1 Отрезок М1М2 и является расстоянием между этими точками. А ещё он является длиной вектора М1М2. А длину вектора мы умеем находить по его координатам. Но для начала выразим координаты вектора через координаты его начала и конца. , а координаты точки М2 . Теперь выразим длину вектора М1М2, как корень квадратный из суммы квадратов его координат. Таким образом, мы выразили длину отрезка М1М2 через координаты его концов и получили формулу вычисления расстояния между двумя точками с известными координатами. Задание: По координатам точек а) , определить вид , ; б) , , , и . Решение: Зная координаты вершин треугольника, мы можем вычислить длины всех его сторон. При выполнении этого задания мы применили формулу вычисления расстояния между двумя точками. Задача: Найти расстояние от точки начала координат отрезка Решение: до середины , если и . Итоги: На этом уроке вы познакомились с простейшими задачами в координатах. А именно: определением координат середины отрезка, вычислением длины отрезка по его координатам и расстояния между двумя точками.