Конспект урока "Сислемы линейных уравнений и методы их решения"(2 курс)

Тема: «Системы  линейных уравнений и методы их решения». Курс:   2,   специальность   11.02.02   Техническое   обслуживание   и   ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям)                                           Цель занятия: Образовательная:  дать   определение   системы  n  уравнений   первой   степени   с  n неизвестными.  Формирование и закрепление у обучающихся ОК, ПК,   умений и навыков решения систем линейных уравнений различными методами. Формирование умения решения СЛУ с помощью табличного процессора Microsoft Office Excel. Развивающая:  развитие у  обучающихся    логического   мышления,  способности к абстрагированию,   анализу.   Развитие   способности   концентрировать   внимание   и правильной математической речи. Воспитательная:  воспитание   личностных   качеств,   обеспечивающих   успешность исполнительной деятельности.  Привитие   интереса  к предмету через привлечение   кругозора   обучающихся; различных   источников   информации;   расширение   формирование исследовательских и коммуникативных компетенций, навыков само­ и   самостоятельности   и   активность   обучающихся. взаимопроверки.   Воспитание   Успешности в творческой деятельности. Тип занятия: комбинированный, продолжительность – 90 минут. Место данного урока в системе уроков:  1. на данном  уроке студенты изучат методы решения СЛУ с применением знаний,   по   темам:   «Матрицы.   Действия   над   матрицами», умений   и   навыков   «Определители»; 2. решение   СЛУ   используется   по   дисциплине   «Электротехника»   для   расчета параметров электрической цепи с применением правил Кирхгофа. Учебное пособие:  Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студентов. В 2­х частях М.: Высшая школа, 2010 год ­ [1];  Сборник задач по математике для ВТУЗов. Линейная алгебра и основы  математического     анализа     (под     редакцией     А.Ф.       Ефимова     и     Б.П. Демидовича)­ Наука, 2003 г ­ [2]. Оборудование: компьютеры, проектор, экран. Программное   Дополнительный материал к уроку:   карточки с заданием для работы в группе,  : MS PowerPoint, Microsoft Office Excel.     обеспечение   лист рефлексии. Этапы работы Организационный момент.    Актуализация  знаний для изучения  нового учебного материала. Формулирование целей и темы урока. Изучение нового учебного материала.  Решение  СЛУ с помощью табличного  процессора Microsoft Office Excel. Закрепление учебного материала. Подведение итогов урока Задание на дом. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Перечень формируемых ОК и ПК ОК   1.   Понимать   сущность   и социальную значимость своей будущей профессии,   проявлять   к   ней устойчивый интерес. ПК 2.2. Анализировать электрические схемы   изделий   радиоэлектронной техники. ОК   5.   Использовать   информационно­ коммуникационные   технологии   в профессиональной деятельности. ОК   6.   Работать   в   коллективе   и команде,   эффективно   общаться   с коллегами, руководством, потребителями.   Осуществлять   поиск   и ОК   4. использование информации, необходимой   для   эффективного выполнения   профессиональных   задач, профессионального   и   личностного развития.     Ход урока:  1. Организационный момент.  Цель:   организация   начала   урока.   Создание   спокойной,   деловой   обстановки. Проверка готовности обучающихся к дальнейшему изучению материала.  Актуализация  знаний для изучения нового учебного материала. Цель: посредством воспроизведения ранее полученных знаний подготовить почву для активного усвоения нового материала В школьном курсе математики вы изучали системы линейных уравнений с двумя неизвестными и методы их решения. Какие методы решения систем линейных уравнений вы знаете? Предполагаемый ответ обучающихся: Метод подстановки, сложения, графический метод. Для расчета параметров электрической цепи по дисциплине «Электротехника», вы столкнётесь   с   необходимостью   решения   систем   линейных   уравнений   с   большим количеством неизвестных. Рассмотрим пример. (Слайд 1) Три источника тока с ЭДС ε1  = 11 В, ε2  = 4 В и ε3  = 6 В и три реостата с сопротивлениями R1 = 5 Ом, R2 = 10 Ом, R3 = 20 Ом соединены как показано на схеме.   Определить   силы   токов   I   в   реостатах.   Внутреннее   сопротивление источника пренебрежимо мало. (Слайд 2) Решение данной задачи будет сведено  к решению системы трёх линейных уравнений из трех неизвестных.  подставив числовые значения известных параметров, получим следующую систему уравнений: Перед учащимися ставится  проблема: а как решить систему линейных уравнений с тремя переменными или с большим количеством переменных? Предполагаемый ответ: те же методы. Использование  метода подстановки и   сложения тоже возможно, но при большом количестве переменных эти способы не рациональны.   Сегодня рассмотрим другие методы   решения   СЛУ,   с   применение   знаний,   полученных   при   изучении   тем «Матрицы. Действия над матрицами», «Определители». Формулирование целей и темы урока. (Слайд 3­4) Цель: мотивирование (стимулирования) учебной активности обучающихся. Итак, тема занятия. «Системы    линейных уравнений . Методы решения СЛУ: метод обратной матрицы, метод Крамера, метод Гаусса». В ходе занятия: 1. Познакомимся   с   понятием   системы   n   уравнений   первой   степени   с   n неизвестными; 2. Изучим основные методы решения СЛУ; 3. Рассмотрим  возможности  табличного  процессора Microsoft Office Excel  для решения СЛУ. 4. Изучение нового материала. (Слайд 5) Цель: введение новых понятий, нового материала, первичное закрепление. Системой   n линейных уравнений c n неизвестными называется система вида:    где  ­     x1,  x2, x3, ..,  xn   неизвестные,   aij – коэффициенты,   b1,b2,b3,..,bn      ­ свободные члены. Числа     α1,  α2,   α3,.., αn           называются решением системы   линейных уравнений с n неизвестными, если при подстановке их в уравнения системы вместо     x1, x2, x3, .., xn              получают верные числовые равенства.[2] Если   система       линейных   уравнений   решений   не   имеет,   то   она   называется несовместной. Если система     линейных уравнений имеет единственное решение, то ее называют определенной; если решений больше одного, то – неопределенной. Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю, то система называется однородной, в противном случае – неоднородной. Рассмотрим   методы    решения   СЛУ  на  примере   решения  системы  трех   линейных уравнений с тремя  неизвестными. Итак первый метод – метод Крамера. (Слайд 6­7) Метод назван в честь Габриэля Крамера ­ швейцарского математика,     одного из создателей линейной алгебры. [2] Пусть нам требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя  неизвестными:   xa 12 2 xa 22 xa 32 xa 1 11 xa 1 21 xa 1 31         2    xa 13 3 xa 23 3 xa 33 3 ,  b 1  b 2  b 3 , ,                                                                   (1) 2 в которой определитель системы (он составлен из коэффициентов при неизвестных) ∆≠0, а определители  Δx1,   Δx2 ,  Δx3  ,                получаются из определителя системы ∆ посредством   замены   свободными   членами   элементов   соответственно   первого, второго и третьего столбцов. a 11 a a 31 21 a 12 a a 32 a 13 a a 33 ab 12 1 ab 2 ab 3 , 2 x 32 a 13 a a  33 32 , a 11 a a 31 ab 13 1 ab 2 ab 3 33 a 11 a a 31 21 a 12 a a 32 b 1 b 2 b 3 Теорема (правило Крамера). Если определитель системы ∆≠0, то рассматриваемая   система (1) имеет одно и только одно решение, причём 32 x  x  x  32 22 21 22 22 , . , 3 1  x 1  x 1  2  x  2 , x 3   x 3  . Рассмотрим пример: решить систему уравнений  (Слайд 7­8) x      x 1    3 2 x 2 Решение на слайдах 6­7 2 x 3 (Слайды   8­10)  Рассмотрим  следующий  метод решения  СЛУ – Метод Гаусса, названный в честь немецкого  математика, механика, физика, астронома и геодезиста  x ,9 2 3  x ,3 3  .2 2 x 1 x 1 аа иа аа Иог нна Карла Фр дриха Г усса,   одного  из величайших математиков всех времён.    Ранее рассмотренный метод Крамера   можно применять при решении только тех систем,   в   которых   число   уравнений   совпадает   с   числом   неизвестных,   причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Вновь рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:      xa 1 11 xa 1 21 xa 1 31    xa 12 2 xa 22 xa 32 2 2    xa 13 3 xa 23 3 xa 33 3 ,  b 1  b , 2  b . 3 Первое   уравнение   оставим   без   изменения,   а   из   2­го   и   3­го   исключим   слагаемые, содержащие  x1. Для этого второе уравнение разделим на  а21  и умножим на –а11, а затем сложим с 1­ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на  а31  и умножим на  –а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид: Теперь   из   последнего   уравнения   исключим   слагаемое,   содержащее   x2.   Для   этого 22a        и сложим со вторым. третье уравнение разделим на    Тогда будем иметь систему уравнений: xa 11 1  2   b xa , 1 3 13  xa b , 2 23 3  xa . b 3 3 33 xa 12 2  xa 22  xa 32 32a       , умножим на     2 xa 11 1  xa 12 2  xa 22 2   b xa , 1 3 13  xa , b 23 2 3  xa . b 33 3 3           Отсюда   из   последнего   уравнения   легко   найти  x3,   затем   из   2­го   уравнения  x2  и, наконец, из 1­го – x1. Рассмотрим пример: решить систему уравнений  (Слайд 11) 2 x 1 Решение на слайдах 11­12. x 1 x 1        x  3 x 2 2 x 2 3  x ,9 2 3  x ,3 3  .2 Третий метод, который применяется для решения СЛУ – матричный метод. (Слайд13) Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид                       , где BXA       xa 1 11 xa 1 21 xa 1 31    xa 12 2 xa 22 xa 32 2 2    xa 3 13 xa 23 3 xa 33 3 ,  b 1  b , 2  b . 3 A a 11 a a 31 21       a 12 a a 32 22 a 13 a a 33 23      ; X ; B x 1 x 2 x 3            . b 1 b 2 b 3            Пусть            . Тогда существует обратная матрица       . Если умножить обе части 0A 1A BXA  1A равенства                 на         слева, то получим формулу для нахождения матрицы­ столбца неизвестных переменных, т.е.       1 BA или                    .  Так мы получили решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными  BA XA A X 1   1 матричным методом. Рассмотрим пример: решить систему уравнений  (Слайд 14) x   ,9 x 3 2 3  ,3 x x 2 3 2 Решение на слайдах 14­16.  .2 x 2 3 x 1   2 x 1 x 1      5. Решение  СЛУ с помощью табличного процессора Microsoft Office Excel. Цель: формирование у обучающихся  умений решения СЛУ с помощью табличного процессора Microsoft Office Excel. Рассмотрим возможности табличного процессора Microsoft Office Excel для решения СЛУ методом обратной матрицы. Обучающиеся садятся за компьютеры открывают документ MS Excel. Краткое описание действий. В MS  Excel  обратная  матрица  вычисляется  функцией  МОБР(), а  перемножаются матрицы (или матрица на вектор) ­ функцией МУМНОЖ(). Составить матрицу коэффициентов A матрицу столбец В: Для этого в ячейках В14:Е17 вести значения коэффициентов уравнения. Имеются   "тонкости"   использования       матричных   действий   в   Excel.   Так,   чтобы вычислить обратную матрицу от матрицы А, нужно: 1. Мышкой выделить квадратную область клеток, где будет размещена     обратная матрица В20:Е23. 2. Начать вписывать формулу =МОБР( 3.   Выделить   мышкой   матрицу   А.   При   этом   правее   скобки   впишется соответствующий диапазон клеток. 4. Закрыть скобку, нажать комбинацию клавиш: Ctrl­Shift­Enter 5. Должна вычиститься обратная матрица и заполнить предназначенную     для неё область. Чтобы умножить матрицу на вектор: 1. Мышкой выделить область клеток, где будет размещён результат     умножения G20:G23. 2. Начать вписывать формулу =МУМНОЖ( 3.   Выделить   мышкой   матрицу   ­   первый   сомножитель.   При   этом   правее   скобки впишется    соответствующий диапазон клеток. 4. С клавиатуры ввести разделитель ; (точка с запятой) 5.   Выделить   мышкой   вектор   –   второй     сомножитель.   При   этом   правее   скобки впишется  соответствующий диапазон клеток. 6. Закрыть скобку, нажать комбинацию клавиш: Ctrl­Shift­Enter 7. Должно вычислиться произведение и заполнить предназначенную для него область. Итак, мы рассмотрели способ решения СЛУ с помощью MS Excel. Кроме вычисления обратной матрицы, умножения матриц, можно вычислять определители матриц. Для   этого   в   ячейке,   где   будет   выведен   результат,   необходимо   ввести   формулу =МОПРЕД(            , указать диапазон ячеек матрицы и нажать на Enter. 6. Закрепление учебного материала. Цель:   формирование   и   закрепление   у   учащихся   умений   и     навыков решения систем линейных уравнений различными методами. Для   закрепления   изученного   материала   каждому   необходимо   решить   с   помощью компьютера   СЛУ.   Задания   выбираем   в   соответствии   со   своим   вариантом. (Приложение 1). 7. Подведение итогов урока. Давайте   подведем   итог.   Достигли   ли   мы   поставленной   цели?   (обучающиеся высказывают   свое   мнение,   аргументируют   его.   В   беседе   выясняется,   что   цель достигнута: мы научились решать систему ЛУ с тремя неизвестными и выработали свой   алгоритм.   Учитель   предлагает   обучающимся   дома   составить   алгоритм   для решения СЛУ с тремя неизвестными методом Крамера в MS Excel. На уроке сегодня все хорошо работали, кого вы отметите сегодня? Оцените свою работу  на уроке. Обучающиеся проводят оценивание на листочках рефлексии.   Нарисуйте свою оценку. (5 – отлично поработал, новый  материал мне пригодится, 4 – мог бы поработать и получше, если бы был уверен в необходимости изучаемого материала, 3 – в целом я собой 8. Задание на дом. доволен). Учитель выставляет оценки.  Изучить теоретический материал из источника [1] Гл.4, §4  Решить СЛУ из источника [2] №227, №229  Разработать алгоритм для  решения СЛУ  с тремя неизвестными  методом Крамера в MS Excel. Приложение 1. Практическое задание Решить систему уравнений. (30 вариантов)  № 1      x 1 x5 x3  1 1 x x2 2  x4  x 2 3 x  x 2   0 3 2  x 2 3 .№ 2 x         1 x4 x2 1 1  x2 3  x3  x3 2 2 2    1 x4 x 3  3  0 2 .№ 3      x4 1 x4 1 x3 1    x2 x x 2 2   x3 5 2 3   x2 7 3   x6 3 4 . № 4       x7 1  x4  x 1 x 1 x 2  x  2  2 x  7 x2 3   x2 13 3  2 3 .№ 5       x 1  x x2 1 x2 2  x 2  x12  3 x 3   x2 5 3   x 5 3 1 2 .№ 6      1  x5  x8 1  x2 1 x3 x  2 x  x3 2  x4 3  x  7 3  1  4 3 2 № 7      x3 x  1  1 x 1 x3 2   x 2  x 2  x 8 3  x2 4 3   x 4 3 .№ 8      x2 1  x 1  x2  x 2  x2  x 1  x 3  x3  3 3 2 3 1  2 .№ 9      x2 1  x 1 x3 1    x3 2 x2 2  x 2  x3  x x3 3 3 3  1  4  12 . № 10      x4 1  x 1  x3 1   x 2  x2 2  x2 x3 3  x3 3  x4  5  17  10 3 2 .№ 11      1 x2 x2 1  x 1    2 x x 2 x 2  5 x 3   x2 2 3   x3 8 3 .№ 12      x 1 x2 x3  x4 2  x2  x2 1 1 3   x3 12  14 x 3   x3 2 3 2 2 . № 13      № 16  x 1 x3 1 x2 1 x    1 x 3 2  x2 x 2 3  x 5 x 2  3 2 .№ 14      2 3 2 x 1 x 1 x 1    3 4 x x x 2 2  2 x 3   2 x 3 2   3 6 x 3 1 .№ 15      x3 x  1  1 x2  x 1 x2 2  x 2   x3   x2 2 3  1 3  x2 1 3 . 2      x5 1 x3 1 x4 1    x3 x 2 x 2 2     3 x4 3  x2 1 3  x 1 3 № 17      x4 x3 x 1 1 1   x 2  x2 x3 2  x 3  x 2  x2  1  1  0 3 3 .№ 18 x 1 x2 x4       x   1 1 2 x 2 x3  3  x5 0  5 x 3   x2 4 3 2 . № 19 № 22           x3 1 x4 x   1  x 1 2 x2 x5 2  2 1   x 3  x3 3  x 0 3  0 .№ 20 1 x2 x3 1 x4 1    x 2 x2 x4  2 2  1 x 3  x3 3  x5 0 3   2 .№ 23           x 1 x4 x5  1 1 x3  x  x 2 2 2    x 3 x3 x4  1  1  0 3 3 .№ 21      1 x2 x3 1 x2 1    x3 x4 x 2 2  x 3  x2 2  x3 3  2  3  6 1 . x3 1 x4 x5 1 1    x3 x 2 x3   x2 2 3 2  2 x 3   x2 3 2      .№ 24 2 x3 1 x2 x 1  1  x4  x3 x5 2 2 3 x x   2   1 3 2  12 x 3 . № 25      x 1 x5 1 x6  x   1  x 2 3 2  x4 x 0  x x2 2  3 3 2      .№ 26 2    10 x x3 x 3 2 1    x6 x3 x 3 1 3 2   x x 0 x 3 1 2 .№ 27      x 1 x5 x3  1 1 x2 2  x4  x 2 3 x  x 2   0 2 3  2 x 3 . № 28 x         1 x4 x2 1 1 x  x2 3  x3  x3 2 2 2    1 x4 x 3  3  0 2 .№ 29      x4 1 x4 1 x3 1    x2 x x 2 2   x3 5 2 3   x2 7 3   x6 3 4 .№ 30 x         1 x x 1 1 x2 2  x2  x2  2 2  8 x3 3   x3 8 3  0 x 3 .