Конспект урока "Скалярное произведение векторов"

Этот урок посвящён скалярному произведению двух векторов, в том числе правилу вычисления  скалярного произведения двух векторов в координатах. Проводится анализ формулы вычисления  скалярного произведения, в результате которого выделяют несколько частных случаев. Так же  учащиеся вспомнят понятие скалярного квадрата вектора и правило его вычисления. Конспект урока "Скалярное произведение векторов"    Вы уже знакомы с понятием угла между векторами в пространстве. Поэтому на этом уроке мы приступим к рассмотрению скалярного произведения векторов в пространстве. Как и на плоскости, скалярное произведение двух векторов в пространстве равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Задание: по рисунку определить величину угла между векторами. Рассмотрим куб АBCDА1B1C1D1, сторона которого равна a, а точка О1 — центр грани А1B1C1D1. Мы с вами выполнили задание, где нашли скалярное произведение данных пар векторов. Можно заметить, что, если угол между векторами острый, то скалярное произведение больше нуля. А если угол между векторами тупой, то их скалярное произведение меньше нуля. И только лишь когда векторы перпендикулярны, ихскалярное произведение равно нулю. В данном случае, конечно, имеется в виду, что рассматриваемые векторы ненулевые. А сейчас попробуем разобраться, как находить скалярное произведение векторов по их координатам. На плоскости скалярное произведение двух векторов равнялось сумме произведений соответствующих координат. В пространстве имеет место такая же формула. Задание: по координатам векторов значения выражений: Решение: , , , , , . и найти Задание: пользуясь координатами векторов , прямым или тупым. , , выяснить, каким является угол между парами векторов: острым, а) б) в) Решение: Итак, мы узнали и использовали 2 формулы скалярного произведения. Выразив из первой формулы косинус угла между векторами, скалярное произведение можно расписать по второй формуле. А вот длины векторов запишем как корни квадратные из сумм квадратов их соответствующих координат. Так мы получили формулу вычисления косинуса угла между векторами по их координатам. Задание: найти угол между векторами а) , б) , в) , и . , , , , г) . Решение: , , д) Стоит отметить, что для скалярного произведения векторов в пространстве справедливы те же свойства, что и для скалярного произведения на плоскости. Скалярный квадрат вектора всегда больше либо равен нулю. ; , если А также можно записать переместительный, распределительный и сочетательный законы скалярного произведения. Они позволят в будущем преобразовывать выражения с векторами. (переместительный закон) (распределительный закон) (сочетательный закон) Итоги: На этом уроке мы сформулировали определение скалярного произведения двух векторов в пространстве, записали формулу вычисления скалярного произведения векторов по их координатам и получили формулу вычисления косинуса угла между двумя векторами. Помимо этого, для скалярного произведения в пространстве имеют место те же свойства, что и на плоскости.