Конспект урока "Теорема о пересечении высот треугольника"

На этом уроке мы узнаем, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Эту точку называют ортоцентром и она является еще одной замечательной точкой треугольника. Конспект урока "Теорема о пересечении высот треугольника" Сегодня на уроке мы продолжим изучение темы замечательные точки треугольника и познакомимся с теоремой о пересечении высот треугольника. На прошлых уроках мы доказали, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и серединные перпендикуляры к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке. До этого мы также доказали, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Оказывается, таким же свойством обладают и высоты треугольника. Теорема. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Доказательство. Рассмотрим . Значит, четырехугольник параллелограмм. Значит, четырехугольник параллелограмм. Точка является серединой отрезка Точка является серединой отрезка серединный перпендикуляр серединный перпендикуляр . .Точка является серединой отрезка Значит, высоты пересекаются в одной точке, в точке . серединный перпендикуляр . Что и требовалось доказать. В любом треугольнике медианы и биссектрисы принадлежат самому треугольнику. Чего нельзя сказать о высотах треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Точку их пересечения называют ортоцентром треугольника. В остроугольном и прямоугольном треугольниках высоты принадлежат треугольнику. Их точка пересечения – ортоцентр – в остроугольном треугольнике находится внутри треугольника, в прямоугольном треугольнике находится в прямом угле. А вот в тупоугольном треугольнике точка пересечения высот – ортоцентр – находится вне треугольника. – тупой, . У него – не принадлежит отрезку . – высота. Докажем, что Рассмотрим тупоугольный точка – основание высоты Доказательство. Пусть точка .. Что не может быть. Точка пересечения тупоугольного треугольника лежит вне треугольника. Итак, с каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника и точка пересечения высот (или их продолжений). Эти четыре точки называются замечательными точками треугольника. Из истории замечательных точек треугольника. В четвертой книге "Начал" Евклид решает задачу: "Вписать круг в данный треугольник". Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанного круга. Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в одной точке – центре описанного круга. В "Началах" не говорится о том, что и три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. Четвертой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан. Архимед доказал, что она является центром тяжести (барицентром) треугольника. На вышеназванные четыре точки было обращено особое внимание, и начиная с XVIII века они были названы "замечательными" или "особенными" точками треугольника. Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – "геометрии треугольника" или "новой геометрии треугольника", одним из родоначальников которой стал Леонард Эйлер. Повторим главное: На этом уроке мы узнали, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Эту точку называют ортоцентром и она является замечательной точкой треугольника.