Конспект урока "Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника"

Повторив, какие виды треугольников выделяют в зависимости от величины угла, а также теорему о сумме углов треугольника, приводим формулировку теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника и доказываем её. Также на уроке рассматриваем признак равнобедренного треугольника. Конспект урока "Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника" Давайте вспомним, что по величине углов выделяют остроугольные, прямоугольные и тупоугольные треугольники. А также отметим, что сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны - катетами. Сумма углов любого треугольника равна 180 градусов. Теорема: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. Доказательство: 1. Докажем, что против большей стороны лежит больший угол. Возьмём некоторый треугольник АВС. Пусть АВ>ВС. Отложим сторону ВС на стороне АВ, то есть отрезок ВЕ=ВС. Так как получается, что треугольник ЕВС - равнобедренный, то углы при основании равны.В треугольнике АЕС ∠А<∠1, так как внешний угол больше любого внутреннего, не смежного с ним. В  треугольнике АВС ∠С>∠2. Получаем: То есть, против большей стороны АВ лежит больший ∠С. Что и требовалось доказать. 2. Докажем, что против большего угла лежит большая сторона. Пусть ∠С>∠А треугольника АВС. Предположим, что АВ<ВС, то по доказанной первой части данной теоремы ∠С<∠А. Получили противоречие. Если АВ=ВС, то получается, что треугольник АВС равнобедренный, а тогда ∠С=∠А. Снова  противоречие. Так как в каждом из предыдущих случаев наше предположение неверно, тогда получаем, что АВ>ВС. Теорема доказана. Следствие: В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ больше катетов АС и ВС. Действительно, верно, так как гипотенуза лежит против прямого угла, а катеты - против острых, градусная мера которых меньше 90 градусов. Признак равнобедренного треугольника: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.Доказательство: Пусть АВС треугольник, у которого углы А и С равны. Докажем, что равны стороны АВ и ВС, лежащие против этих углов. Предположим, что АВ>ВС. Тогда по предыдущей теореме ∠С, лежащий против большей стороны  АВ, будет больше ∠А, лежащего против меньшей стороны ВС. Получили противоречие условию равенства углов А и С. Предположение неверно и стороны АВ и ВС равны, то есть треугольник АВС является равнобедренным. Что и требовалось доказать. Пример. В треугольнике АВС сторона АВ=9 см, а сторона ВС=14 см. Какой из углов является большим - А или С? По теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника против большей стороны лежит больший угол. Следовательно, получаем: Так как ∠A лежит против большей стороны ВС. Пример. В треугольнике АВС ∠А=45 градусов, а ∠В=65 градусов. Верно ли, что сторона АС больше каждой из сторон  АВ и ВС?По теореме о сумме углов треугольника, получаем: Воспользовавшись теоремой о соотношениях между сторонами и углами треугольника, выяснили, так как против большего угла лежит большая сторона, а в нашем случае большую градусную меру имеет ∠С, то большей стороной треугольника является сторона АВ. Ответ: неверно, что сторона АС больше каждой из сторон АВ и ВС