Конспект урока "Третий признак равенства треугольников"

На этом уроке повторяем первый и второй признаки равенства треугольников. Сформулировав и  доказав третий признак, мы решаем несколько задач. А после ведём речь об интересном свойстве  треугольника, которое следует из третьего признака равенства треугольников. Конспект урока "Третий признак равенства треугольников"    Вспомним первый и второй признаки равенства треугольников. Первый признак равенства треугольников: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Второй признак равенства треугольников: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Сформулируем третий признак равенства треугольников: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Пусть АВС и А1В1С1 - два треугольника, у которых АВ=А1В1, ВС=В1С1 и СА=С1А1. Докажем, что ∆ АВС= ∆ А1В1С1.Приложим ∆ АВС к ∆ А1В1С1 таким образом, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, вершина В - с вершиной В1, а вершины С и С1 оказались по разные стороны от прямой А1В1. Возможны три случая. Рассмотрим первый случай. Так как по условию теоремы АС=А1С1, ВС=В1С1, то треугольники А1С1С и В1С1С являются равнобедренными. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника угол 1 равняется углу 2, а угол 3 равняется углу 4. Поэтому ∠А1СВ1=∠А1С1В1. Получаем, АС=А1С1, ВС=В1С1 и ∠С=∠С1. Следовательно, ∆ АВС= ∆ А1В1С1 по первому признаку равенства треугольников. Рассмотрим второй случай. Так как по условию теоремы АС=А1С1, то ∆ СА1С1 является равнобедренным. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника углы при основании С и С1 равны. Можем сказать, что треугольники АВС и А1В1С1 равны по первому признаку равенства треугольников, так как АС=А1С1 и ВС=В1С1 по условию теоремы, а ∠С=∠С1.И третий случай. По условию теоремы АС=А1С1 и ВС=В1С1. Из этого следует, что треугольники СА1С1 и СВ1С1 являются равнобедренными. Тогда по теореме о свойстве углов при основании равнобедренного треугольника ∠1=∠2 и ∠3=∠4. А следовательно, ∠С=∠С1. Итак, треугольники АВС и А1В1С1 равны по первому признаку равенства треугольников, так как АС=А1С1 и ВС=В1С1 по условию теоремы, а ∠С=∠С1. Теорема доказана. Пример. Отрезок АС - общее основание равнобедренных треугольников АВС и АDC. Доказать, что треугольники BAD и BCD равны. Рассмотрим ∆ BAD и ∆ BCD. У этих треугольников сторона АВ=ВС, сторона АD=DC, а сторона BD - общая. Получаем, что треугольники BAD и BCD равны по третьему признаку равенства треугольников. Что и требовалось доказать. Пример.Два равных отрезка АВ и CD пересекаются в точке Е так, что расстояния AD и СВ равны. Докажите, что АЕ=СЕ. Соединим точки А и С. И рассмотрим ∆ АВС и ∆ САD. У них сторона АС - общая, АВ=CD по условию, АD=СВ также по условию задачи. Тогда треугольники АВС и САD равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует, что ∠1=∠2. Соединив точки В и D аналогично можем доказать, что треугольники СВD и АDB равны, а следовательно, равны и углы 3 и 4. Тогда можно утверждать, что ∆ СЕВ=∆ АЕD по второму признаку, так как у них ∠1=∠2,  ∠3=∠4, а стороны АD и СВ равны по условию задачи. А следовательно, получаем, что сторона АЕ=СЕ. Что и  требовалось доказать. Рассмотрим свойство треугольника, которое следует из третьего признака равенства треугольников: Возьмём две рейки, у которых два конца скреплены. Если будем сдвигать и раздвигать свободные концы этих реек, то угол между ними будет изменяться. А вот если мы возьмём третью рейку и скрепим её концы со свободными концами первых двух реек, то у нас уже не получится сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, а значит, нельзя изменить ни один угол.Так как треугольник обладает таким свойством, то его называют жёсткой фигурой. Это свойство треугольника делает его незаменимым в технике и строительстве. Элементы конструкции в форме треугольника сохраняют свою форму. Например, чтобы закрепить столб в вертикальном положении к нему ставят подпорку. По такому же принципу устанавливается кронштейн. А также стойки стремянки могут свободно раздвигаться, если не будут зафиксированы перемычкой.