Конспект урока "Вычисление углов между прямыми и плоскостями"

На этом уроке будут введены понятия направляющего вектора прямой и нормального вектора к плоскости. А также получены формулы косинуса угла между прямыми и синуса угла между прямой и плоскостью. Эти формулы найдут своё применение при решении геометрических задач. Конспект урока "Вычисление углов между прямыми и плоскостями" Вы уже знакомы с понятиями угла между прямыми и угла между векторами. А также знаете, что такое двугранный угол и угол между прямой и плоскостью. Сегодня мы научимся вычислять углы между прямыми, а также между прямой и плоскостью. Но для начала введём понятие направляющего вектора. Определение: Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой а, если он лежит либо на прямой а, либо на прямой, параллельной прямой а.Понятно, что таких векторов бесконечно много и все они коллинеарны. Задача: найти угол между прямыми, если известны координаты направляющих векторов этих прямых. Будем работать с прямыми а и b. Для прямой a направляющим является вектор p, а для прямой b — вектор q. Итак, возможны два случая. Если угол прямыми между направляющими векторами острый, то он равен углу между . И если угол прямыми равен 180о – . между направляющими векторами тупой, то угол междуТак как в первом случае косинус угла между прямыми равен косинусу угла между направляющими векторами, то мы можем вычислить его по известной формуле косинуса угла между векторами. Ну, а во втором случае записан косинус угла смежного с углом . Косинусы смежных углов противоположны по знаку, поэтому мы получим выражение противоположное тому, которое было получено в первом случае. Угол между прямыми всегда меньше либо равен 90о, поэтому его косинус соответственно будет являться числом неотрицательным. Тогда оба случая можно объединить в один и записать, что косинус угла между прямыми равен частному модуля скалярного произведения направляющих векторов и произведения их длин. А сейчас найдём угол между прямой и плоскостью, если известны координаты направляющего вектора к прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости.Вам уже известно, что углом между прямой и плоскостью является угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Обозначим этот угол за . А угол между направляющим вектором и вектором, перпендикулярным к плоскости обозначим за . Эти углы в сумме дают 90о (то есть углы нам известно, что синус угла равен косинусу дополнительного угла. Это означает, являются дополнительными). А и что Ну, а формуле: . между векторами и мы без труда найдём по уже известной Но ведь возможен и случай, когда угол между векторами и тупой. Тогда углы равна . и являются дополнительными, то есть их сумма Отсюда можно записать, что .Ну, а формула косинуса угла между векторами нам уже известна. Чтобы объединить две полученных формулы в одну, можно вспомнить, что синус угла от нуля до 180о является числом неотрицательным. Тогда можно записать, что Таким образом, мы получили формулы косинуса угла между прямыми и синуса угла между прямой и плоскостью. Причём правые части эти формул абсолютно совпадают. Отличие лишь в том, что две прямые задают направляющие векторы. А прямую и плоскость — направляющий вектор прямой и вектор, перпендикулярный к плоскости. Такой вектор называют нормальным вектором к плоскости. Решим несколько задач. Задача: прямоугольный параллелепипед, . Найти где Решение: ранее в таких случаях мы пытались по рисунку находить величины углов. Но теперь мы владеем формулой косинуса угла между прямыми. и .Только для этого необходимо знать координаты направляющих векторов прямых. В данном случае, для прямой для прямой направляющим может является вектор , а — вектор . Для удобства изобразим прямоугольную систему координат так, чтобы точка совпадала с точкой начала координат. Взяв длину рёбер отрезки, можно утверждать, что длина отрезка за единичные и равна 2. Тогда не трудно определить координаты точек , , и . Точка . Точка . Точка . А точка . Теперь не трудно найти координаты векторов и соответствующих координат конца и начала вектора. как разности Получаем, что вектор вектор . . А Теперь можем воспользоваться формулой косинуса угла между прямыми. Подставим координаты направляющих векторов.А теперь, пользуясь фрагментом из таблицы Брадиса, найдём величину данного угла, помня о том, что поправка для косинуса имеет знак минус: Итак, угол между прямыми . Теперь найдём угол между прямыми и . В качестве направляющих векторов для данных прямых удобно взять векторы и . Найдём координаты точек , и . Точка А имеет координаты . Точка . А точка Тогда вектор . А вектор . .Подставим значения координат направляющих векторов в формулу косинуса угла между прямыми. В ходе вычислений получаем Вычислив примерное значение этой дроби, можем воспользоваться таблицей Брадиса: Так получаем, что угол между прямыми . Вот так по координатам направляющих векторов находят величину угла между прямыми. тетраэдр. Задача: а Вычислить синус угла между прямой, проходящей через середины рёбер , и плоскостью: а) ; б) ; в) . . . , и Решение: По условию рёбра можно изобразить прямоугольную систему координат так, чтобы точка совпадала с точкой начала координат. взаимно перпендикулярны. Поэтому и ,Тогда зная длины рёбер определить координаты всех вершин. и , не трудно отметить единичные отрезки и Мы с вами будем находить синус угла между прямой и каждой из данных плоскостей. Сначала разберёмся с прямой. Она проходит через середины рёбер пусть это будут точки координаты направляющего вектора. В качестве направляющего вектора можно взять вектор и . И для вычисления синуса угла нужно знать и , . Координаты точки них равна полусумме соответствующих координат точек найдём как координаты середины отрезка и . Так получаем, . Каждая из , . Аналогично найдём координаты точки координат точек . Получаем и , как полусумму соответствующих . , Теперь можем найти координаты вектора координат. как разности соответствующих Получаем, что направляющий вектор данной прямой имеет координаты .Также для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью необходимо знать координаты нормального вектора к плоскости, то есть перпендикулярного к ней. Задача: Доказать, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен Решение: изобразим прямоугольную координатную плоскость так, чтобы координатные оси совпадали с рёбрами куба. .Обозначим буквами вершины куба, через которые проходят данные скрещивающиеся прямые. Найдём угол между прямыми . Пусть длина единичных отрезков на осях равна длине ребра куба. Тогда в такой системе координат нетрудно найти координаты точек О, О1, О2 и О3. А теперь найдём координаты векторов ОО1 и О2О3, которые являются направляющими для данных прямых. Вектор . А вектор . Найдём косинус угла между данными прямыми, подставив в формулу координаты направляющих векторов. В ходе вычислений получаем, что А значит, угол между прямыми . Что и требовалось доказать. Итоги:На этом уроке мы получили формулу вычисления косинуса угла между прямыми по координатам их направляющих векторов. А также формулу вычисления синуса угла между прямой и плоскостью по координатам направляющего вектора данной прямой и нормального вектора данной плоскости.