Контрольная работа по предмету высшая математика

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

 

 

 

 

 

 

Факультет экономики и права

Кафедра педагогического образования

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

по дисциплине "Математика"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

		Руководитель работы:
		_____________
		«_____» ____________2019г.
		Выполнил студент группы:
		_____________
		«______» ___________2019г.

 

 

 

 

 

 

 

 

2019 год

Задание 1.Дана матрица А и многочлен F(х)= х ^-1  + 3х² - 5х + 7. Вычислите F(А):

 

2в.   A=

 

Вычислим

1)                 

 

 

 

 

2)   

 

3)   

 

4)   

 

Задание 2.  Вычислить алгебраическое дополнение ; определитель , разложив его по элементам - строки; разложив его по элементам  - столбца, предварительно получить нули.

 

2.в

 

Решение:

 

 

1)      Вычислим определитель, предварительно получив нули третьей строке 

Умножим  элементы первого столбеца на (-2) и сложим с элементами второго столбца, получим

Умножим  элементы первого столбеца на (-2) и сложим с элементами четвертого столбца, получим

 

Вычислим определитель, разложив его по строке

 

2)      Вычислим определитель, предварительно получив нули во втором столбце

Умножим  элементы первой строки  на (-2) и сложим с элементами третьей строки, получим

 

Умножим  элементы первой строки  на (-4) и сложим с элементами четвертой  строки, получим

 

Вычислим определитель, разложив его по столбцу

 

 

Задание 3.Найти общее решение для каждой из данных систем и проанализироватьее структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства, выделить частное решение неоднородной системы).

2в.

Решение:

 

1)

 

Теорема Кронекера-Капелли: Система совместна тогда и только тогда, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы

 

Найдем ранг матрицы системы

 

С помощью элементарных преобразований приведем ее к виду трапеции:

1 шаг: умножим первую строку матрицы на (-2) и прибавим ко второй, получим:

2 шаг: умножим первую строку матрицы на (-1)  и прибавим к третьей, получим:

Очевидно, что ранг матрицы ,следовательно система не совместна,  , .

Система при  является неопределенной.

Пусть - базисная неизвестная, - свободные неизвестные. Заменим исходную матрицу системой

 

 

 

Пусть , тогда ,

пусть , тогда ,

пусть , тогда ,

Получена фундаментальная система решений

; ;

 

Общее решение системы можно записать в виде:

 

, где - любые произвольные числа.

 

 

 

2)

 

Найдем ранг матрицы системы

 

 

 

С помощью элементарных преобразований приведем ее к виду трапеции:

1 шаг: умножим первую строку матрицы на (-3) и прибавим ко второй, получим:

3 шаг: умножим первую строку матрицы на (-2) и прибавим к третьей, получим:

;

 

4 шаг:умножим  вторуюстроку матрицы на (-1) и прибавим к третьей, получим:

;

 

 

Очевидно, что ранг матрицы ,следовательно система не совместна,  , .

Система при  является неопределенной.

Пусть ,- базисные неизвестная, - свободная неизвестная.

Заменим исходную матрицу системой

 

 

 

 

Пусть , тогда ,

пусть , тогда ,

Получена фундаментальная система решений

;

 

Общее решение системы можно записать в виде:

 

, где - любые произвольные числа

 

Задание 4.Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти а) уравнение медианы и ее длину, уравнение высоты и ее длину, уравнение биссектрисы, проведенных из вершины С; б) уравнение прямой параллельной стороне АВ; в) угол А. Выполнить чертеж.

 

2 в.  А (-3; -7);   В (2; 5);       С (-2; 8).

 

Решение:

 

1.       Длины сторон определим по формуле

 

 

2.       Уравнение сторон

 

 

 

 

 

а) уравнение медианы и ее длину, уравнение высоты и ее длину, уравнение биссектрисы, проведенных из вершины С;

 

Медиана

 

Для нахождения уравнения медианы СМ найдем координаты точки М (середина отрезка АВ)

.

Уравнение медианы СМнайдем используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана СМ проходит через точки С (-2; 8) и

 

 

Найдем длину медианы, как расстояние между двумя точками С (-2; 8) и

, имеем

 

Высота

 

Для нахождения уравнения высоты СN найдем ее угловой коэффициент из условия перпендикулярности прямых СN и АВ.

Для стороны АВ имеем уравнение

Имеем .

Теперь используя формулу уравнения прямой, проходящей через заданную точку , составим уравнение высотыпроходящей через заданную точкуС (-2; 8)

 

 

Длину высоты СNнайдем по формуле- расстояние от точки С до прямой

Имеем .

 

Биссектриса

Угол тупой

Тангенс угла наклона ВС равен

Биссектриса проходит через точку С (-2; 8) , тогда по формуле

 

 

б) уравнение прямой параллельной стороне АВ;

 

Уравнение прямой параллельной АВ определим по формуле

, где

 

 

 

 

в) угол А

внутренний угол А определим по формуле

Уравнение 

Уравнение

Угол между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами  и вычислим по формуле

 

 

 

Выполним чертеж

 

Задание 5.Даны координаты вершин пирамиды. Средствами векторной алгебры найти:

1)                 объем пирамиды А₁ А₂ А₃ А₄;

2)                 длину ребра А₂ А₃;

3)                 площадь грани А₁ А₂ А₃;

4)                 угол между ребрами А₁ А₂ и А₁ А₄;

5)                 угол между гранями А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄;

6)                 уравнение высоты, проведенной  из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃ и ее длину.

7)                 выполнить чертеж.

 

2 в.  А₁ (4; 2; 5);    А₂ (0; 7; 2);       А₃ (0; 2; 7);         А₄ (1; 5; 0);

 

Решение:

 

1)                 объем пирамиды найдем по формуле:

 

, где – смешанное произведение векторов, исходящих из вершины пирамидыА₁(4; 4; 10), которое вычисляется с помощью определителя, составленного из координат этих векторов. Найдем координаты векторов:

; ;

 

2)  длину ребра

Длину ребра  определим по формуле

 

3)    Найдем площадь грани A₁A₂A₃

 

;

 

Векторное произведение:

 

4)    угол между ребрами А₁ А₂ и А₁ А₄

 

Найдем угол между ребрами ;

 

 

 

 

5)    угол между гранями А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄

 

 

Уравнение плоскости  найдем как уравнение прямой проходящей через три данные точки А₁ (4; 2; 5);    А₂ (0; 7; 2);       А₃ (0; 2; 7)по формуле:

 

 

- уравнение плоскости , ее нормальный вектор имеет координаты

 

Уравнение плоскости  найдем как уравнение прямой проходящей через три данные точки А₁ (4; 2; 5);    А₂ (0; 7; 2);       А₄ (1; 5; 0)

по формуле:

 

 

- уравнение плоскости , ее нормальный вектор имеет координаты

 

 

 

6)      уравнение высоты, проведенной  из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃ и ее длину.

 

Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскостиимеет направляющий вектор (A;B;C).

Уравнение плоскости A₁A₂A₃:  , координаты точки А₄ (1; 5; 0)

 

Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины А₄ (1;5;0). 

Расстояние d от точки M₀(x₀;y₀;z₀) до плоскости равно абсолютному значению величины:

Уравнение плоскости A₁A₂A₃:  , координаты точки А₄ (1; 5; 0)

Чертеж

 

Задание 6 Найти область определения и построить графики функций.

2в

а) б)

 

Решение:

а)

Требуется найти область определения функции, для этого нужно знать области определения элементарных функций

 

Так как область определения элементарной функции   , то  данной функции ,.

 

 

б)

 

Требуется найти область определения функции, для этого нужно знать области определения элементарных функций

 

Так как область определения элементарной функции   , то  данной функции , .

 

Задание 7Найдите пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя

 

2 в. а) ;	в)	д)
б)	г)

 

Решение:

а)

Имеем неопределенность . Раскроем эту неопределенность, поделив числитель и знаменатель дроби на :

б)

 

Имеем неопределенность . Раскроем неопределенность применяя первый замечательный предел

 

в)

 

 

г)

 

Имеем неопределенность . Раскроем эту неопределенность, используя второй замечательный предел     

 

 

 

д)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 8Найти точки разрыва функции  и установить их характер. Укажите односторонние пределы в точках разрыва. Построить график функции

 

2 в.

Решение:

Функция  определена на всей числовой оси. Но из этого не следует, что она и непрерывна на всей числовой оси, так как эта функция неэлементарная; она задана двумя различными формулами для различных интервалов изменения аргумента  и может иметь разрыв в точках

Исследуем функцию в точке , для этого найдем

 

 

                                     

 

Функция определена, пределы слева и справа существуют  и равны, следовательно  в точках  функция непрерывна;      

 

 

График

Задание 9Найти производные первого порядка данных функций

2 в. а) ;       б);          в) ;         г) ;                                    д) ;

 

Решение:

 

а)

   

     

 

б)

       

 

в)

 

  

 

 

г)

д)

 

Задание10 Построить график функции у=f(x), используя общую схему исследования функции

 

2 в.

 

Решение:

1.      Элементарные исследования

1)

2)

     не симметрична; нечетная, ни нечетная.

3)  предельное значение

4) существование асимптот:

а) вертикальных асимптот нет

б) - горизонтальная асимптота

в)

- наклонных асимптот нет

 

5) определить точки пересечения с осями координат:

 

Пересечения с осью Оx: ,

(0;-2) – точка пересечения с осью Оy

2.      Исследования графика с помощью I производной

1)

 

 

 

 

     

 

 

2) точки подозрительные на экстремум

 

	-	0	+	0	-

 

3)

       – максимум

       – минимум

        -  график функции убывает

        -  график функции возрастает

3. Исследования графика с помощью II производной

1)

         

2) Точки подозрительные на перегиб

	-	+	-	+

 

  3)    

       - график вогнутый

       - график выпуклый

4.  По проведенным исследованиям строим график

 

 

 

 

 

 

Задание 11.Изобразить  комплексные числа z_1,z₂  на комплексной  плоскости. Произвести  указанные действия  над комплексными  числами и записать  результаты в  алгебраической, показательной  и тригонометрической формах:

    1) ;      2) ;    3)        4) .

2в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учебно-методическое обеспечение дисциплины

Основная литература

-          Стойлова, Л.П. Математика: учебник для студ. учр. высш. проф. образования / Л. П. Стойлова. – 2-е изд., перераб. и доп. – Москва: Издательский центр «Академия», 2012. – 464 с. – (Сер. Бакалавриат).  – ISBN 978-5-7695-7970-7

- Редькин, Н.П. Дискретная математика : учебник [Электронный ресурс]. / Н.П. Редькин. - Москва : Физматлит, 2009. - 263 с. - ISBN 978-5-9221-1093-8;

- URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=75709.

 

- Судоплатов, С.В. Дискретная математика : учебник [Электронный ресурс].  / С.В. Судоплатов, Е.В. Овчинникова. - 4-e изд. - Новосибирск : НГТУ, 2012. - 278 с. - (Учебники НГТУ). - ISBN 978-5-7782-1815-4; - URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=135675.

5.2 Дополнительная литература

-     Грес, П.В. Математика для гуманитариев: Общий курс: методическое пособие [Электронный ресурс]/ П.В. Грес . 2-е изд., перераб. и  доп. –Москва: логос, 2009.-288с.-(Новая университетская библиотека).– ISBN 978-5-98699-113-9; Режим доступа:  URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=89783

-     Пенчанский, С.Б. Основы начального курса математики в примерах и задачах : учебное пособие / С.Б. Пенчанский. - Минск : РИПО, 2018. - 240 с. : ил. - Библиогр. в кн. - ISBN 978-985-503-830-7 ; То же [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=497498

-     Ельчанинова, Г.Г. Элементарная математика : учебное пособие [Электронный ресурс].  / Г.Г. Ельчанинова, Р.А. Мельников ; Минобрнауки РФ, Елецкий гос. университет им. И.А. Бунина. - Елец : Елецкий гос. университет им. И. А. Бунина, 2016. - Ч. 4. Геометрия. Начальные сведения. Треугольник. - 93 с. - Библиогр. в кн. - ISBN 978-5-94809-852-4. - ISBN 978-5-94809-853-1 (ч. 4) ; - Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=498154

-     Бережной, В.В. Дискретная математика : учебное пособие [Электронный ресурс]. / В.В. Бережной, А.В. Шапошников ; Минобрнауки РФ, ФГАОУ ВО «Северо-Кавказский федеральный университет». - Ставрополь : СКФУ, 2016. - 199 с. : ил. - Библиогр. в кн. ;– Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=466802

-                   Пенчанский, С.Б. Основы начального курса математики в примерах и задачах : учебное пособие [Электронный ресурс]. / С.Б. Пенчанский. - Минск : РИПО, 2018. - 240 с. : ил. - Библиогр. в кн. - ISBN 978-985-503-830-7 ;– Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=497498  

- Баженова, Н.Г. Теория и методика решения текстовых задач: курс по выбору для студентов специальности 0500201 - Математика : учебное пособие [Электронный ресурс]. / Н.Г. Баженова, И.Г. Одоевцева. - 4-е изд., стер. - Москва : Издательство «Флинта», 2017. - 89 с. : табл., граф., схем. - ISBN 978-5-9765-1411-9; Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=103321.

 

Скачано с www.znanio.ru