Контрольная работа по теме «Теория целых чисел»

Контрольная работа по теме «Теория целых чисел»

Вариант 1

1.  Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов. 
Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?

 2.  Наибольший общий делитель (НОД) натуральных чисел m и n равен 1. Каково наибольшее возможное значение НОД чисел m+2000n и n+2000m?

3. Докажите, что произведение любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 6.   

4. Найдите все натуральные  n > 1,  для которых  n³ – 3  делится на  n – 1.

5. Докажите, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 3-х  одинаковых цифр, делится на 37.

6. Сумма трёх различных наименьших делителей некоторого числа A равна 8. На сколько нулей может оканчиваться число A?

7. Докажите, что число, имеющее нечётное число делителей, является точным квадратом.

Вариант 2

1.       Найдите наименьшее натуральное n, для которого 

 (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)  делится на 1000.

2.     Даны числа: 4, 14, 24, ..., 94, 104. Докажите, что из них нельзя вычеркнуть сперва одно число, затем из оставшихся ещё два, затем ещё три и, наконец, ещё четыре числа так, чтобы после каждого вычёркивания сумма оставшихся чисел делилась на 11.

3.       Докажите, что все числа 10017, 100117, 1001117, ... делятся на 53.

4.      Доказать, что  7 + 7² + ... + 7^4K,  где K - любое натуральное число, делится на 400.

5.         Найдите все такие числа a, что для любого натурального n число  an(n + 2)(n + 3)(n + 4)  будет целым.                         

7.     Доказать, что  1¹⁹⁸³ + 2¹⁹⁸³ + ... + 1983¹⁹⁸³  делится на  1 + ... + 1983.

Скачано с www.znanio.ru