Координатно-векторный метод Геометрия 10-11 класс ЕГЭ Задача 14

1. Координаты точки

,

2. Координаты вектора

3. Длина вектора

4. Скалярное произведение векторов

где α – угол между векторами

5. Скалярное произведение в координатах

6. Угол между векторами

Т.о. зная координаты точек можно найти координаты векторов и пользуясь формулой (п.6) косинус угла между этими векторами.

Через любые две точки проходит прямая и притом только одна.

N

- направляющий вектор прямой MN.

Уравнение прямой MN:

M

M

N

P

Через любые три точки проходит плоскость и притом только одна.

– вектор нормали плоскости
– это вектор перпендикулярный
этой плоскости

и

Уравнение плоскости:

где A, B, C – координаты вектора нормали плоскости, т.е.

* Если плоскость проходит через начало координат,
то D = 0, если нет, то D = 1.
Чтобы найти координаты вектора нормали (составить уравнение плоскости(MNP)) надо подставить координаты точек M, N, и P и решить систему из трех уравнений с
тремя неизвестными A, B, C.

В  задачах типа C2 никаких координат и векторов нет.
Поэтому их придется вводить самостоятельно.

Заметим, что координаты точек верхней плоскости отличаются от соответствующих координат точек нижней плоскости только
координатой z.

Стандартное введение системы координат для куба показано на рис.
Теперь у каждой вершины куба есть координаты.
Выпишем их:

А(0; 0; 0) В(1; 0; 0) С(1; 1; 0) D(0; 1; 0)
А1(0; 0; 1) В1(1; 0; 1) С1(1; 1; 1) D1(0; 1; 1)

Обозначим АВ = а, AD = b, АА1 = с.
Выпишем координаты точек:
А(0; 0; 0) В(а; 0; 0) С(a; b; 0) D(0; b; 0)
А1(0; 0; c) В1(a; 0; c) С1(a; b; c) D1(0; b; c)

это угол между их направляющими векторами

* При этом помним, что угол между прямыми может быть
только острым или прямым, поэтому мы вычисляем

это угол между их нормалями

* При этом помним, что угол между плоскостями может быть
только острым или прямым, поэтому мы вычисляем

это угол равный разности (90°− угол между их
направляющим вектором и нормалью)

Искомый угол α = 90 – β
По формулам приведения имеем соsβ = соs(90 – α) = sinα
Следовательно, мы пользуемся той же формулой,
но вычисляем

В кубе ABCDA1B1C1D1 отмечены точки E и F — середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно.
а) Найдите угол между прямыми AE и BF.

Решение.

Найдем координаты направляющих векторов прямых AE и BF.

А(0; 0; 0), Е(1; 0; 2), В(2; 0; 0), F(2; 1; 2)

Введем стандартную систему координат и выпишем координаты необходимых нам точек.

обозначим AB = 2.

Ребро куба не указано,

Получаем

Вычисляем косинус угла между ними

Ответ: arccos 0,8

б) Найдите угол между плоскостями (AEС) и (BFD).

Сначала найдём координаты вектора нормали плоскости (АЕС). Выпишем коор-ты необходимых точек А(0; 0; 0), Е(1; 0; 2), С(2; 2; 0)
Т.к. эта плоскость проходит через начало координат, то в уравнении плоскости Ax+By+Cz+D=0 коэф-т D = 0.
Получаем систему:

Теперь найдём координаты вектора нормали плоскости (BFD). Выпишем коор-ты необходимых точек В(2; 0; 0), F(2; 1; 2), D(0; 2; 0)
Т.к. эта плоскость не проходит через начало координат, то в уравнении плоскости Ax+By+Cz+D=0 коэф-т D = 1. Получаем систему:

Осталось найти угол между нормалями

в) Найдите угол между прямой АС1 и плоскостью (BFD).

Вектор нормали плоскости (BFD) найден

Найдём направляющий вектор прямой АС1

А(0; 0; 0), С1(2; 2; 2).
Значит

Вычисляем синус искомого угла

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между:
а) прямыми A1С и BD
б) плоскостями (АВС) и (BDD1)
в) прямой A1С и плоскостью (A1B1C1)

2. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между:
а) прямыми AB и CA1
б) плоскостями (BA1C1) и (AB1D1)
в) прямой АВ и плоскостью (СB1D1)

Вводим систему координат:
Начало координат — в точке A;
Сторону призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;
Ось x направляем по ребру AB, z — по ребру AA1, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.
ГЛАВНОЕ учесть, что ось y НЕ совпадает с ребром AC, т.к. треугольник ABC — равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°, поэтому вид сверху будет выглядеть так: рис.1.

Проведем в этом треугольнике высоту CH. Треугольник ACH — прямоугольный, причем AC = 1, поэтому
AH = 1 · cos A = cos 60°;
CH = 1 · sin A = sin 60°.
Это надо для вычисления координат точки С.

Теперь рассмотрим всю призму вместе с построенной системой координат рис.2:

Получаем следующие координаты точек:

Введем систему координат как показано на рис.
Пусть все ребра равны 1.

Обозначим ее SABCD, где S — вершина. Введем систему координат.

Рассмотрим плоскость OXY.
В основании лежит квадрат, его
координаты известны.
Найдем координаты точки S.
Т.к. SH — высота к плоскости OXY,
точки S и H отличаются лишь координатой z.
Длина отрезка SH — это и есть координата z
для точки S, координаты точки H = (0,5; 0,5; 0).

Заметим, что треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам
(AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC — общая). Следовательно,
SH = BH. Но BH — половина диагонали квадрата ABCD,
т.е. BH = AB · sin 45°. Т.о. получаем координаты всех точек:

находим cosα
( * Если он «-», то находим cos β )
из прямоугольного ΔMBS
( * или ΔMАS ) находим MS

вычисляется по формуле:

B1 C1

А D

Рассмотрим его нахождение на примере: ABCDA1B1C1D1 – единичный куб. Найдём расстояние между скрещивающимися прямыми BD1 и AB1.

И для определения его координат воспользуемся формулой для нахождения координат точки делящей отрезок в заданном отношении.

E

F

A(0; 0; 0) В1(0; 1; 1) В(0; 1; 0) D1(1; 0; 1)

Обозначим EF их общий перпендикуляр и

Получаем

Делаем замену

Получаем E(0; p; p) F(q; 1-q; q)

Т.к.

и

то их скалярное произведение равно нулю.
Решив систему

получаем

Следовательно

.