Краткий справочник по геометрии

КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК по математике (геометрия) Аксиомы геометрии Основные свойства принадлежности точек и прямых А­I1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. А­I2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. Основные свойства взаимного расположения точек на прямой и на плоскости   А­II1 Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.   А­II2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Основные свойства измерения отрезков и углов   А­III1.   Каждый   отрезок   имеет   определенную   длину,   большую   нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. А­III2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. Основные свойства откладывания отрезков и углов  А­IV1. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один. А­IV2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один. Существование треугольника, равного данному А­IV3.   Каков   бы   ни   был   треугольник,   существует   равный   ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой. Основное свойство параллельных прямых А­V1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной. Основные свойства плоскостей в пространстве C1.  Какова   бы   ни   была   плоскость,  существуют   точки,  принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. С2.   Если   две   различные   плоскости   имеют   общую   точку,   то   они пересекаются по прямой. С3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну. Треугольники a, b, c ­ стороны треугольника. a, b, g ­ внутренние углы треугольника. aў, bў, gў ­ внешние углы треугольника. ha , hb , hc ­ высоты треугольника, опущенные из вершин треугольника на  прямые, содержащие соответствующие противоположные стороны   a, b, c. ma , mb , mc ­ медианы треугольника, соединяющие вершины треугольника  с серединами противолежащих сторон a, b, c. la , lb , lc ­ биссектрисы треугольника, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах a, b, c. MN ­ средняя линия треугольника. Р ­ периметр треугольника. р ­ полупериметр треугольника. R ­ радиус окружности, описанной около треугольника. r ­ радиус окружности, вписанной в треугольник.  ABC ­ площадь треугольника АВС. S Сумма углов треугольника a + b + g = 180°. Свойства внешних углов треугольника aў = b + g,   bў = a + g,   gў = a + b, aў > b,   aў > g,    bў > a,   bў > g,    gў > a,   gў > b,   Неравенство треугольника a < b + c,    b < a + с,    c < a + b. Теорема синусов Теорема косинусов a2=b2+c2­2bc cosa, b2=a2+c2­2ac cosb, c2=a2+b2­2ab cosg, Периметр и полупериметр треугольника Свойства средней линии треугольника Площадь треугольника ,        ,        ,        ,        (формула Герона) Равнобедренный треугольник a=c,   Рa=Рg, hb=mb=lb.  Равносторонний треугольник a=b=c,    a=b=g=60°; ha=la=ma,    hb=lb=mb,    hc=lc=mc; ,     ,     Прямоугольный треугольник a =90°, b, c ­ катеты, a ­ гипотенуза, a2=b2+c2 (теорема Пифагора);                                 Четырехугольники Параллелограмм a, b ­ стороны параллелограмма. ha, hb ­ высоты параллелограмма, опущенные из вершин параллелограмма на прямые, содержащие стороны параллелограмма a, b. d1,   d2  ­   диагонали   параллелограмма. a, g ­ углы параллелограмма, a + g = 180° Площадь параллелограмма S=aha , S=bhb , S=absin.  Связь между сторонами и диагоналями параллелограмма d1 2+d2 2=2(a2+b2)  Прямоугольник Ромб Квадрат Трапеция Равнобокая трапеция MN­средняя линия трапеции; AB=CD,  d1=d2  Окружность и круг R ­ радиус окружности (круга), C=2 R ­ длина окружности, D=2к ­ диаметр ­ длина  дуги, ­ площадь круга, S= R2 =  2d 4 ­ площадь кругового  сектора, ­ площадь кругового  сегмента. Правильные многоугольники        R r Сумма углов 180° 360° 720° Вид правильного многоугольника Треугольник Четырехугольник a 60° 90° Шестиугольник 120° a Объемы и площади поверхностей тел Наклонная призма Объем наклонной призмы V=Sпсa, где  Sпс  ­   площадь   перпендикулярного   сечения   наклонной   призмы,  a  ­ боковое ребро. Площадь боковой поверхности наклонной призмы  Sб=Pпсa, где  Pпс  ­ периметр перпендикулярного сечения наклонной призмы,  a  ­ боковое ребро. Площадь полной поверхности наклонной призмы  Sп=Sб+2Sосн, где Sб, ­ площадь боковой поверхности наклонной призмы, Sосн ­ площадь её основания.          Объем прямой призмы Прямая призма V=Sоснa, где Sосн ­ площадь основания прямой призмы, a ­ боковое ребро. Площадь боковой поверхности прямой призмы  Sб=Pоснa, где Pосн ­ периметр основания прямой призмы, a ­ боковое ребро. Площадь полной поверхности прямой призмы  Sп=Sб+2Sосн, где  Sб, ­ площадь боковой поверхности прямой призмы,  Sосн  ­ площадь основания.  Прямоугольный параллелепипед Объем прямоугольного параллелепипеда  V=abc, где a,b,c ­ измерения прямоугольного параллелепипеда. Площадь боковой поверхности параллелепипеда  Sб=2c(a+b), где  a,   b  ­   стороны   основания,  c  ­   боковое   ребро   прямоугольного параллелепипеда. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда  Sп=2(ab+bc+ac), где a,b,c ­ измерения прямоугольного параллелепипеда. Куб V=a3, Sб=4a2, Sп=6a2, Пирамида где a ­ ребро куба.     Объем пирамиды где Sосн ­ площадь основания, H ­ высота. Площадь   боковой   поверхности   пирамиды   равна   сумме   площадей   её боковых граней. Площадь полной поверхности пирамиды Sп=Sб+2Sосн, где Sб ­ площадь боковой поверхности прямой пирамиды, Sосн ­ площадь основания. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды где Pосн ­ периметр основания правильной пирамиды, l ­ её апофема.  Усеченная пирамида    Объем усеченной пирамиды где S1 , S2 ­ площади оснований усеченной пирамиды, H ­ её высота. Площадь   боковой   поверхности   усеченной   пирамиды   равна   сумме площадей ее боковых граней. Площадь полной поверхности усеченной пирамиды Sп=Sб+S1+S2 , где  Sб  ­   площадь   боковой   поверхности   пирамиды,  S1  ,   S2  ­   площади оснований. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды где P1 , P2 ­ периметры оснований, а l ­ ее апофема.     Объем цилиндра Цилиндр V=p R 2H , где R ­ радиус основания цилиндра, а H ­ его высота. Площадь боковой поверхности цилиндра  Sб=2p R H , где R ­ радиус основания цилиндра, а H ­ его высота. Площадь полной поверхности цилиндра Sп=2p R H + 2p R2, где R ­ радиус основания цилиндра, а H ­ его высота.     Объем конуса Конус где R ­ радиус основания конуса, а H ­ его высота. Площадь боковой поверхности конуса. Sб=2p R L , где R ­ радиус основания конуса, а L ­ его образующая. Площадь полной поверхности конуса  Sп=2p R (R+L), где R ­ радиус основания конуса, а L ­ его образующая.  Усеченный конус    Объем усеченного конуса где R, r ­ радиусы оснований усеченного конуса, Н ­ его высота. Площадь боковой поверхности усеченного конуса  Sб=p L (R+r), где R, r ­ радиусы оснований усеченного конуса, L ­ его образующая. Площадь полной поверхности усеченного конуса Sп=p L (R+r)+p R2+p r2, где R, r ­ радиусы оснований усеченного конуса, L ­ его образующая.     Объем шара Сфера и шар где R ­ радиус шара. Площадь сферы (площадь поверхности шара) S=4p R2, где R ­ радиус сферы. Объем шарового сегмента где H ­ высота шарового сегмента, R ­ радиус шара. Объем шарового сектора где H ­ высота соответствующего шарового сектора, R ­ радиус шара.