Курс лекций по математике для 1 курса

ГБОУ СПО Калязинский колледж им.Н.М.Полежаева 3 Рассмотрено на П(Ц)К    «___»________2014 г.     Руководитель   П(Ц)К   _____________________ И.С. Пахтанова ОДОБРЕНО Зам. директора по УР   А.Ю.Кудрявцев «___»________2014г. __________________ УТВЕРЖДАЮ Директор  ГБОУ СПО   М.Г.Клементьева «___»________2014г. __________________ КУРС ЛЕКЦИЙ по дисциплине Математика для студентов 1 курса  НПО специальности  «Повар, кондитер» Разработчик: преподаватель                                               Н.В.Старикова                         математики Калязин, 2014 СОДЕРЖАНИЕ 4 Раздел 1. Линейная функция, её свойства и график. Решение линейных уравнений и неравенств. Решение систем линейных уравнений и неравенств. Раздел   2.  Квадратичная   функция,   её   свойства   и   график.   Решение квадратных уравнений и неравенств. Метод интервалов. Раздел   3.  Функция   вида   у   =   х функция, её свойства и график. к ,   её   свойства   и   график.   Степенная Раздел   4.  Степени   и   логарифмы.   Алгебраические   преобразования   Решение Решение   показательных   и   логарифмических   уравнений. показательных неравенств. Раздел   5.  Тригонометрические   функции   и   их   свойства.   Формулы тригонометрии и их следствия. Раздел 6.  Производная функции. Приложение производной к решению задач. Раздел 7. Приложение определенного интеграла к решению задач. Раздел 8. Геометрические фигуры и их свойства. Раздел 9. Геометрические тела и их свойства. 5 Пояснительная записка Курс лекций по дисциплине Математика для студентов1 курса   специальности  260807­Технология продукции общественного питания  включает краткие теоретические сведения по следующим темам: 1. Функции, их свойства и графики; 2.  Свойства степени и логарифмов; 3. Алгебраические преобразования; 4. Решение линейных уравнений и неравенств; 5. Решение квадратных уравнений и неравенств; 6. Решение систем линейных уравнений и неравенств; 7.   Решение   показательных   и   логарифмических   уравнений.   Решение показательных и логарифмических неравенств; 8. Тригонометрические преобразования; 9. Решение простейших тригонометрических уравнений; 10. Производная функции. Приложение производной к исследованию и построению графиков функций; 11. Приложение определенного интеграла к решению задач. 12. Свойства и площади плоских фигур; 13. Свойства, площади поверхностей и объемы многогранников; 14. Свойства, площади поверхностей и объемы круглых тел; Также в курсе лекций представлены основные формулы, упражнения с решениями, задачи для самостоятельного решения. 6 Объем   материала,   и   уровень   сложности   соответствует   требованиям учебной   программы   к   знаниям,   умениям   и   навыкам   по   математике учащихся, окончивших 9 классов общеобразовательной школы. РАЗДЕЛ 1 Линейная функция, ее свойства и график. Решение линейных уравнений и неравенств. Решение систем линейных уравнений и неравенств 1.1. Линейная функция у = кх + в, ее свойства и график. Определение: Функция вида у = кх +в, где к и в действительные числа называется линейной функцией. к ­ угловой коэффициент, в ­ свободный коэффициент к  tg                                               ­ угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ b ) Для построения графика необходимы две точки А(0; в) и В (­ k Если угловой коэффициент положительный, то угол наклона прямой к оси ОХ острый, если угловой коэффициент отрицательный, то угол наклона прямой к оси ОХ тупой. Свойства линейной функции 1. Область определения функции любое действительное число. 2. Область значений функции любое действительное число. 3. Возрастает, если  к 0 , убывает, если  к   0 .  Не является монотонной, если  к = 0 4. Функция общего вида, т.е. ни четная, ни нечетная. b . 5. Корень функции х = ­ k 6. Графиком функции является прямая. y = ­ kx + b 7 x = ­  y y = ­kx b  y = kx +b  X 1. 2. Функция вида у = кх, ее свойства и график. Графиком  функции является прямая, проходящая  через начало  координат О (о;о). Для построения графика достаточно двух точек   А (1; к) и О ( 0; 0). Свойства функции y=­kx и у=kх 1.Область определения функции х любое действительное число. 2.Область значения функции у любое действительное число. 3.Функция нечетная.      y 4. Возрастает, если к 0 , убывает, если к 0 5. Корень функции х = 0.  .                                                                                                                                0                          х Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график У = 2 х – 4. Решение: 1. Область определения х ­ любое действительное число. 2. Область значений у ­ любое действительное число. 3. У (­ х) = 2 (­ х) – 4 = ­ 2 х – 4 ­ функция общего вида. 4. Корень функции х = 2. 5. Функция возрастает на всей области определения. 6. Графиком функции является прямая, проходящая через точки (0; ­ 4)  (2; 0). у                                                                                            у = ­ 8х у = 2х ­ 4     о 2  ­ 4  х 8 у  0            ­8              х Рис. к примеру 1                                                     Рис. к примеру 2 Пример 2. Исследовать функцию и построить ее график У = ­ 8 х . Решение: 1. Область определения х – любое действительное число. 2. Область значений у – любое действительное число. 3. у (­ х) = ­ 8 (­ х) = 8 х функция четная , значит ее график симметричен  относительно начала координат. 4. Корень функции х = 0. 5. Функция убывает на всей области определения 6. Графиком функции является прямая, проходяший через начало  координат. 9 2. Решение линейных уравнений и неравенств. Определение  Уравнение   вида  ах   +   в   =   0  называется     линейным уравнением. Решить линейное уравнение – это значит найти его корни или доказать, что их нет. Корень   уравнения   –   это   такое   число,   при   подстановки   которого   в уравнение оно обращается в верное равенство. Корень линейного уравнения: х = ­  a b , если a 0  и b 0  или a 0 b , если a 0  и b 0  и b  0  или a  0  и b 0 , . х =  a Во всех случаях решение более сложных линейных уравнений сводится к простейшему.  5x 4 10 x 1  2 7  5(7 Пример 3. Решить уравнение  Решение: 1. Наименьший общий знаменатель двух дробей 14 2. Дополнительный множитель первой дроби 7, второй дроби 2 3. Уравнение приводим к виду  4 Умножаем обе части уравнения на 14 5. Решаем уравнение 35х – 28 = 20 х + 2 35х – 20х = 2 + 28 15х = 30 х = 30 : 15 х = 2 Ответ: х = 2  x 14 x 14 10(2  )1 )4    Неравенства вида ax + b 0 , ax + b 0 , ax + b 0 , ax +  b 0  называются линейными   неравенствами.   Решить   неравенство   –   это   значит   найти множество   его   решений.   Решение   неравенства   –   это   такое   число,   при подстановки   которого   в   неравенство   оно   обращается   в   верное   числовое неравенство. Основные свойства неравенств. 1. Если  a b ,  то a ­  b  0  и b a . 10 2. Если a b ,  то a – b  0  и b  a . 3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменяется на противоположный. 4. При переносе числа из одной части неравенства в другую знак числа изменяется на противоположный. 5. Минус, стоящий перед дробью означает то же самое, что и минус, стоящий   перед   скобками,   то   есть   в   ходе   преобразований   знак   каждого слагаемого, стоящего в числителе дроби, изменяется на противоположный. 6. Обе части неравенства можно возводить в одну и ту же натуральную степень, при условии, что правая и левая части положительны. Множество   решений   неравенства   изображается   на   числовой прямой. Для неравенства строгого знака (  или   ) точки на оси светлые, а  для неравенств нестрогого знака (  или  ) точки на оси темные. Пример 4. Решить неравенство  2 получаем неравенство вида  2 x  5 x 20   x 1 .   1 5 3 1   4 x 1  x 5  x 5 3 5 Решение: 1. Приводим обе части неравенства к общему знаменателю и 2.   Приводим   подобные   слагаемые   в   числителях   каждой   из   дробей   и умножаем обе части неравенства на 5, число 5 положительное, поэтому знак неравенства  не изменится.  Получаем  неравенство  вида:  2x  – 21   , 1 решая это неравенство, получаем 0 20 , НЕРАВЕНСТВО РЕШЕНИЙ НЕ ИМЕЕТ, так как обратилось в неверное числовое неравенство. 2   x Пример 5. Решить неравенство  5  x 6 x 7  2  2  7 11 Решение: 1. Приводим обе части неравенства к  общему знаменателю 42, (6 )7  5(7  x 42 тогда неравенство имеет вид:  )2  2 .  x 42 2. Умножаем обе части неравенства на 42 , число 42 положительное, значит, знак неравенства не изменится. Получаем неравенство вида 35x – 49 – 6x – 12  84 3. Приводим подобные слагаемые, получаем 29х   145 . Разделим обе части неравенства на 29, число 29 положительное, значит, знак неравенства не изменится. 145 4. Получаем х 29   или х  5 . 12 5. Изображаем решения неравенства на числовой прямой.                                            х                                                             5 Ответ: х  5 3. Решение систем линейных уравнений и неравенств Определение: Система уравнений вида: a1x + b1y = c1                              называется линейной системой двух уравнений с двумя  a2x  +  b2y  =  c2 неизвестными.   Действительные   числа  a  1  ,  b1   ,  a2     ,  b2 называются коэффициентами  при неизвестных, числа с1,  с  2  –свободными коэффициентами.   Решить систему уравнений – значит найти все её решения или доказать, что их нет. Методы решения: 1. Метод подстановки 2. Метод алгебраического сложения. 3. Графический метод. Если   в   системе   уравнений   коэффициенты   при   неизвестных   х   и   у пропорциональны, а свободные коэффициенты не равны нулю, то система решений   не   имеет.   Если   же   коэффициенты   при   неизвестных   х   и   у пропорциональны,   а   свободные   коэффициенты   равны   нулю,   то   система имеет бесконечное множество решений.  Пример 6: Решить систему уравнений                                                                                    Х + у       х ­ у                                                                                    ­­­­­­­­ + ­­­­­­­­ = 6     ( 1 ) 2          3                                                                                            ­­­­­­­­ =  ­­­­­­­­          ( 2 ) Способ подстановки                            х + у         х ­ у Решение:   1.   Умножаем   обе   части   уравнения   (1)   на   6,   а   обе   части уравнения (2) на 12, тогда система уравнений имеет вид: 4             3 13 3 (х +у) + 2 (х – у) = 36                                                                                                                                                             3 (х + у) = 4(х – у) 2. После преобразований система имеет вид:                                                                               5х – у = 36                                                                                х – 7у = 0 4.Выражаем   из   второго   уравнения     х   и   подставляем   его   в   первое уравнение, получаем: х = 7у , 35у + у =36 или у = 1. 5.Найденное значение у подставляем в выражение для х, тогда х = 7. 6.Чтобы   исключить   вычислительные   ошибки   в   системе уравнений   рекомендуется   делать   проверку,   путем   подстановки найденных значений х и у в каждое уравнение или в то уравнение, из которого не выражали переменную х или у. Проверка:                                          7 + 1              7 – 1                                                                  ­­­­­­­­­   +    ­­­­­­­­ = 6; 4 + 2 = 6 (В) 2 3                                           7 + 1             7 ­ 1                                         ­­­­­­­­­   =    ­­­­­­­­­­          ; 2 = 2 (В)                                              4                   3 Ответ: х = 7, у = 1. Графический способ. 1. Приведем систему уравнений к виду:                                                                           у = 5х­36                                                                                 1                                                                          у = ­­­­ х                                                                                 7 2. Построим графики полученных функций и найдем координаты точки их пересечения. Чтобы   точно   найти   координаты   точки   пересечения,   необходимо 1 , отсюда х=7. Для приравнять функции друг к другу. Тогда, 5х­36 =   7 того чтобы найти значение у, необходимо найденное значение х подставить в любое уравнение системы.                                    у                        у=5х­36 х                               1 14 0                                       7       х у =  1 7 х 15 Система линейных неравенств имеет вид: а1х+b1  V 0 “V’’ ­ обозначает любой знак строго или нестрого неравенства а2 х+b2 V 0 При   решении   линейного   неравенства   возможны   следующие   виды интервалов: 1. Числовой луч                                                   с                                      х 2. Числовой отрезок                                                                        с                                          к                     х 3. Открытый интервал                                                                                                           с                                              к             х 4. Полуинтервал                                                                                                       с                                             к           х Решить систему неравенств ­ значит найти множество общих решений двух или нескольких неравенств. Множество решений системы неравенств – это   пересечение   множеств   решений   каждого   неравенства,   входящего   в систему. Если пересечения множеств нет, то система неравенств решения не имеет. Значение   переменной,   при   котором   каждое   неравенство   системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы. Для   записи   и   изображения   решения   системы   неравенств необходимо   учитывать   строгие   и   нестрогие   знаки   неравенства (строгие   знаки   обозначают   светлыми   точками,   нестрогие   ­ темными) Пример 7. Решить систему неравенств:         3 х – 18    0 16 4 х ­  12    0  Решение: 1. Приводим систему к виду:            х     6                                                                                      х     3 2. Множество решений системы имеет вид:                                                                                  3                        6                            х        Ответ:   х     6 Пример 8: Решить систему неравенств:                                                                                         2 х     16                                                                                             х    ­3 Решение: 1. Приводим систему к виду:                                                                                          х    8                                                                                                                                                                                        х    ­3 2. Множество решений системы имеет вид                                                                                                           ­ 3                             8                           х     Ответ: система решений не имеет. Пример 9: Решить систему неравенств:          2х ­ 1 3                                                                                     2х –1   ­3                                                                                                                                                                                                                                                        х    2                                                                                                 х     ­1 Решение: 1. Приведем систему неравенств к виду: 2. Множество решений системы неравенств имеет вид:                                                                                                       Ответ: ­1   х   2. 17 ­ 1                            2                           х Во   всех   случаях   сложные   неравенства   приводятся   к   простым неравенствам. 18 Самостоятельная работа № 1. Тема: Решение линейных уравнений и неравенств и их систем 1. Построить графики функций: а) у = 2 х = 4,б) у = 2 х – 4, в) у = ­ 2 х + 4, г) у = ­ 2 х – 4, д) у = 2 х, е) у = ­ 2 х. 2. Решить уравнения:                                           3. Решить неравенства: а) 3(х+1)(х+2)­(3х­4)(х+2) = 36                       а)  2 6 3 х  х 4 х 4  2 б) 2(3х­1)(2х+5)­6(2х­1)(х+2) = 48 б)  в)  г)  3 х 2  х 8 4  х 6 5 2 х 9 10   13  1                                                       в) 5х + 1  44 4                                                          г)  х х 8 1  2х 5   4  31 5 х  х д) 5  у 2 4 16   1 у 7                                                       д)   (2 х  3)1  х  3 х 2  1  2 х  х  25 12 х  34 8 х   91 5 )5  2 14 е)  х х ж)  2 з)   х 3  8  х ( 11 3( 2  3 ) 0                                                     е)5 (х­1) – 3   6 (х + 2)                                                          ж) 2х –3   7х – 2 (х – 3)  х )  3 3 8                                                       з) 2 (х­ 2) (2 + х )  19 – (2 х – и)   23 6 х 2  8  х 9 к)  5 х  6 7  2 4  х 7  2                                                  к)  5  2  х 4 х  23 5  1 4. Решить системы уравнений (графически и аналитически): а)      3х + у = 8                б)    2 х = ­у + 5             в)   10 х + 8 у = ­ 11   г)    3 х +2у = 5          3х – у = ­ 2                     2 х – 3 у = ­ 7                  2 х + 2 у = ­ 3            4 х + 3 у = 6 5. Решить системы неравенств а)      5 х – 2  6 х + 1                                      б)    7(х+1) – 2 х           4 – 3 х                                                 3 (5 – 2 х) – 1  2   х 6 9  х4   х54  19 в)     12 у – 3 (у + 2)  7  у 5                    г)   4         13 у + 6   (у – 5) 2 + 3                                х 7  5 6 х 5 3  х   1  4 14 8 3  х 2 д)       5 х – 4    х – 3                                    е)          3   х     5 – 6 х          ­ 2 х +11   х + 1                                              ­ 3 х + 1   4 х – 1           12 – 3 х     4 – 5 х                                            7 – 2 х    2 х + 9   20 Квадратичная функция у = а х 2  + вх + с. Решение квадратных уравнений и неравенств. Метод интервалов Раздел 2. 1.   Определение:  Функция   вида   у   =   а   х  2  +   в   х   +   с   называется квадратичной   функцией.   Графиком   такой   функции   является   парабола   с вершиной в точке с координатами: в 2 , у0 = у (х 0). Точки пересечения графика с осями координат х  0  = ­  а , с осью находятся по формулам: с осью абсцисс (О х) : х 1,2 = ординат (Оу) у = у (0) = с. 2  в а 2  ас 4 в Выражение    D  =  b2  –   4ac  называется   дискриминантом   и   может принимать следующие значения: 1.  D  = 0 (парабола пересекает ось Ох в одной точке)  в  у                                        хо = ­ а 2                                    2. D  0  (парабола пересекает ось Ох в двух точках):       х1 =  в  a 2 D , х 2  D  в  2 a   С                                 3. D   0 (парабола не пересекает Ось Ох и лежит в первой или                х0                   второй координатных четвертях, если первый коэффициент                                  х         положительный, в третьей и четвертой – если первый  у0    х1          х2                 коэффициент отрицательный)           график квадратичной функции для 1 и 2 значений дискриминанта в 4 ас 2.   Определение:  Уравнение   вида    а   х2  +   вх   +   с   =   0  называется квадратным. Корни квадратного уравнения находятся по формуле:  х  1,2  =  , где D = b2 – 4ас. Если D = 0, то уравнение имеет один корень 2  в 2 а в х = ­ а 2 . Если D  0 , то уравнение имеет два корня: х1 =  Если D   0, то уравнение действительных корней не имеет D  в  2 a  2 a  D в , х 2 3. Неполные квадратные уравнения. 21 1.а х  2  + вх = 0 , с = 0  .Уравнение  такого   вида  решается  методом вынесения общего множителя за скобки и приведения  к двум линейным уравнениям вида: в . х = 0, х = ­  а 2.ах2 + с = 0 , в = 0.Уравнение такого вида приводится к простейшему квадратному уравнению х2 = ­ а с  и имеет решение при с   0 или а  0 . 3.ах2 = 0 ,с = 0, в = 0. Приводятся к виду х2 = 0 и имеют один корень х = 0. 4.х2 = к, а = 1 имеет корни вида х  1,2 = к  и имеет решение только в случае положительного значения к. 4. Приведенные квадратные уравнения. Квадратное уравнение вида  х2  + р х +  q  = 0  называется приведенным квадратным уравнением. Корни такого уравнения находятся по формуле: х  1,   2  =    р 2 2 р 4 (дискриминанте).   q   при   неотрицательном   подкоренном   выражении Корни приведенного квадратного уравнения можно найти по теореме Виета. Теорема:   Сумма   корней   приведенного   квадратного   уравнения равна второму коэффициенту (р), взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному коэффициенту ( q ). х 1 +х 2 = ­ р , х 1 х 2 = q . 5.Разложение квадратного трехчлена на множители. у   =   ах2  +вх+с   =   а(х   –   х1  )(   х   –   х2),где   х1  и   х2  –корни   квадратного трехчлена, которые находятся по формуле корней квадратного уравнения при условии, что у = 0. 6. Выделение полного квадрата. в 2  , у0 = у (х0). у = ах2 +вх +с = а(х – х0)2 + у0 , где х0 = ­  а 7. Решение квадратных уравнений и уравнений, приводимых к ним. 22 Пример 10: Решить уравнения а) 3х2 –2х –1 =0, б) х2 – 2х –3 = 0, в) х4 – 7х2 – 12 = 0,  г)  3  4  х 3  3 х 2 Решение: а) корни уравнения находим по формуле х 1,2  = где а = 3,   в 2  в а 2 4 ас , 1 3 , в = ­ 2, с = ­ 1, отсюда х 1 = ­ 2 х 1 б) по теореме Виета х1 + х2 = 2, х1  в) х2 = к 0 ,тогда уравнение имеет вид: к2 – 7 к + 12 = 0,его корни к1 = , х2 4,к2 = 3, оба корня удовлетворяют решению х2 = 4, отсюда х 1, 2 = =3,отсюда х 3,4 =  , тогда х1 = ­ 1, х2 = 3 4  2 х 3 . 3 . 2 г) 1. Находим область допустимым значений переменной х:        х + 2  0        х – 3   0 , отсюда х   ­ 2,  х   3. 2.   Перенесем   все   слагаемые   в   одну   часть   и   приведем   к   общему знаменателю. О.З. (х + 2) (х – 3), дополнительный множитель первой дроби (х – 3), второй (х + 2), третьей (х + 2) (х – 3). 3. После преобразований уравнение имеет вид:  3 2 х  х  2  2 х   х 1  3  0 . Умножать обе части уравнения на общий знаменатель нельзя! Поэтому   учитывая   область   допустимых   значений   переменной   х, рассматриваем числитель 3 х 2 – 2 х – 1 = 0, так как знаменатель дроби не может   быть   равным   нулю.   Корни   числителя   будут   являться   корнями уравнения: х1 = ­ 2 х 1 . , 1 3 8. Решение квадратных неравенств. Метод интервалов. Суть   метода   состоит   в   том,   чтобы   определить   промежутки знакопостоянства множителя, который содержит квадратный трехчлен. Для этого необходимо  1. Найти корни квадратного трехчлена, 2.   Нанести   эти   корни   на   числовую   ось,   с   учетом   знака   самого квадратного неравенства, 23 3. Разложить квадратный трехчлен на множители, 4.Определить знаки каждого множителя и всего произведения, 5.   Выписать   в   ответ   интервалы   соответствующие   знаку   квадратного неравенства. Пример 11. Решить неравенство 2х2 + 3 х­ 2    0 Решение 1. Находим корни квадратного трехчлена 2 х2  + 3 х ­ 2 = 0, отсюда х1 = 0,5, х2  = ­ 2 . 2. Раскладываем квадратный трехчлен на множители 2 (х ­ 0,5) (х + 2) 0. 3.   Наносим   полученные   точки   на   числовую   ось,   с   учетом   знака неравенства, и исследуем знак каждого множителя и произведения в целом            +                      ­                        +                                                                                 х                      ­ 2                       0,5 4. Выбираем те интервалы, в которых квадратный трехчлен отрицателен Ответ: ­ 2   х   0,5. Если   квадратный   трехчлен   имеет   один   корень,   то   неравенство можно решить представив трехчлен в виде:  ха Пример 12: Решить неравенство   1  Решение: Неравенство представляем в виде  5,0 4 Если квадратный трехчлен не имеет действительный корней, то его  0х . 0 х . Откуда х 4 2 х 2  0 5,0 4 х  2   значение положительно при а    0 и отрицательно при а   0 . Пример 13: Решить неравенство  Решение: решение неравенства является любое действительное число, 6 2 х  х 4  010 так как   Dа ,0  0 9.Решение   дробно   ­   рациональных   неравенств   методом интервалов. Для решения дробно – рациональных неравенств методом интервалов необходимо числитель и знаменатель дроби разложить на множители точек. Независимо   от   того,   каков   знак   неравенства,   корни   знаменателя   не входят в область определения  дроби, поэтому точки, изображающие эти корни на числовой оси светлые. 24 2 х 12  х х   2 х 1 2 Пример 14: Решить неравенство    Находим   корни   числителя   по   теореме   Виета Решение:   1. . Тогда корни равны +   х 1 2. Корень знаменателя х = 2. 3. Раскладываем на множители   х ,4 2 ,12  0  0   3 х 2 х 1  х  х 1  3  4  х х 2 Умножать обе части неравенства на знаменатель нельзя! 25 4.   Отметим,   полученные   корни   на   числовую   ось   и   исследуем   знак каждого промежутка                                    ­                 +                ­                +                     х                                           ­3                 2                 4 Ответ: ­3    х   2, х   4. Самостоятельная работа № 2. Тема: Решение квадратных уравнений и неравенств 1.Решить уравнения: а)    1  1 2 х х    2 2  3  2 3                                              б)   х  2 3  х   2  х 2   х  2  5 3  в) х  4 х 2                                                       г) – 9х  х 42  13 0 1 д)  3  х 3  2 х  3 7 х  12  1 х   х 4                                    е) 5+ 2  х 2  17  х 3 ж)  2 х  х 6  5 0                                                        з)  2 2 х  х 3  2 0 и)  20  8 х  х 2  0                                                      к)  6 2 х  х 1 0 2. Решить неравенства: 2 2    2  3 5х                                                 б)  а) (х+15) (х + 4) 0  в)    х х 4 х 3                                                             е)  х  0                                                  з)    49 х  17х + 24                   г)   ж)    5 х 2    д) ­ 7 х х 5 х    8  2 х  2 2 2 х и)  24  х 2   х 1  0                                                   к)  2 х  х 4  2     37 – (х – 10) 2 10  4  0  2    5  3 2  2 х 3 2 3 х  2   х 25  03  х  х  2 12 0 3. Построить графики функций: а) у = 2 х 2 , б) у = х 2 ­ 5 х + 6 , в) у = х 2 ­8х –33, г) у = 2х 2 ­х – 3, д) у = 2  х10 , е) у = ­х х42  . 8х 26 Раздел 3. Функция вида у =  х к , ее свойства и график. Степенная функция, ее свойства и график 1. Определение: Функция вида у =  х к  называется функцией обратной пропорциональности   между   переменными   х   и   у.   Графиком   функции является   гипербола,   расположенная   в   первой   и   третьей   квадратных четвертях. Свойства функции: у У=К/Х 0 х 1. Область   определения   функции   х­   любое действительное число, кроме нуля. 2. Область значений функции у – любое действительное число, кроме нуля. 3. Функция   нечетная   у(­х)   =   ­ х к   =   ­   у   (х).График функции   симметричен   относительно   начала координат точки О(0;0 ). 4. Корней не имеет. 5. Положительна при х  0 , отрицательна при х 0 7. Если к   0 6. Убывает на всей области определения. , то свойства функции не изменяются, за . исключением свойства монотонности, так как в этом случае   функция   возрастает   на   всей   области определения. 2.Определение: Функция вида у = х  , где х 0 , называется степенной функцией х­основание степени, ­ показатель степени. Примеры степенных функций с натуральным показателем. 1                                    2                                        3                                                        у                  у = х 2                       у              у = х 2         у        у = х                                                  0               х                             0                     х                                 0               х 27 28 Примеры степенных функций с целым показателем. 0                                   1 2      у                                                  у       у =                                        у         у =                                    1 х 1 2 х у=1             0                  х                               0                   х                                   0                    х Примеры степенных функций с рациональным показателем. У = х 2 х 1                                         у =  х                            у=  3 1                       у= х 3 У                                 у                                         у                                 0          х                          0                х                          0      х Раздел 4. Степени и логарифмы. Алгебраические преобразования. Решение показательных и логарифмических уравнений. Решение показательных неравенств 1. Степень числа Степень   действительного   числа  a  с   натуральным   показателем  n  есть произведения n сомножителей, каждый из которых равен а. а1 = а              ;             а2 = а а             ;                аn  = а а а  ....... а                                                                                         n  раз                                                    аR, nN an    a ­ основание степени                                                  n ­ показатель степени 29 Показатель   степени   может   быть   натуральным,   целым   или   дробным (рациональным)   числом.   Иррациональные   числа   в   качестве   показателя степени не рассматриваются. Любая степень положительного числа есть число положительное. Правило знаков an    0, если а   0  и  n  R. Чётная степень отрицательного числа есть число положительное. (­а )n   0 , если n ­ чётное число. Нечётная степень отрицательного числа есть число отрицательное. (­a )n   0 , если n ­ нечётное число. Любое действительное число в нулевой степени равно единице! Нулевой показатель степени а0=1 Отрицательный показатель степени За степень с отрицательным  показателем принимается дробь, числитель которой   равен   единице,   а   знаменатель   равен   тому   же   числу,   но   с положительным   показателем   равным   абсолютной   величине   (модулю) отрицательного показателя. аn = 1 a n , если а  0. Дробный (рациональный) показатель степени Степень положительного числа с дробным показателем означает корень, показатель   степени   которого   равен   знаменателю,   а   показатель   степени подкоренного числа равен числителю дробного показателя. аn= a m n , a   0 . Свойства арифметического корня  =  а b т т , если а  0, b   0 . abт 1.  2.  3.  4.  a b n n a n b a a m n  n nm , если а   0, b   0 . m a , если, а   0 , n   2 , n   , если а  0 , N m N n m n N m N . ,  2  2   , , , . mn a 30 Действия над степенями Для   степени   с   любым   действительным   показателем,   кроме иррациональных показателей, справедливы равенства: 1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.  1.  1.  2.  3.  4.  5.  аnam  = an+m  an am = an­m  (an)m = anm  (ab)n = anbn        nR, mR    a  b  an  bn , если  a b a  ,0 ,  an  bn , если  a b a  , ,0    , 0 b   n n n a b 0    b 0     n N  b Алгебраические преобразования Формулы сокращённого умножения Квадрат суммы двух чисел: (a + b)2  = a2 + 2ab + b2. Квадрат разности двух чисел:  (a ­ b)2 = a2 ­ 2ab + b2. Разность квадратов двух чисел: a2 ­b2 = (a ­b) (a + b). Куб суммы и разности двух чисел: (a   b)3 = a3   3a2b + 3ab2   b3. Сумма и разность кубов двух чисел: a3   b3 = (a   b) (a2   ab + b2). Самостоятельная работа № 3 Тема: «Решение задач на свойства степени. Алгебраические преобразования». 1. В пустое место вставьте недостающее слагаемое, чтобы получился квадрат суммы или разности двух чисел. 1)  2)  3)  х2 + 2х +                                   4) а2 ­     + 6,25  4а2 + а +                                  5) с2 + 8с +        1 х2 ­ 6х +                                    6) 9 у2 ­       + 4 2х   2. Разложите на множители 1)  х2 + 2рх + р2                    3)  16х2 ­ 8ху + у2                 5)   х2у2 + 1 + 2ху 31 2) ­ 4х2 + 4х – 1                    4) ­ 3а2 + 30а – 75                6)      а4 ­ с4 + с2 ­ а2 3. Сократите дроби. 1)  3 а 2 3   27 3 а а а                              2)  2 а  2 2 4  а 8  а 4 3) 2 25 х  5 (  х 4 х 2 )                                        4)   5 3 х 2 х 2  3 х   х 1  4. Найдите числовое значение алгебраического выражения: 2 а . 2 а 2 5. Упростите выражения. 1  3 п и а р   и с 2 2 1 2 с с  2 1)     х  у х  х  у х     (  х у 22 х )2   2)    1  а 1  1  1      1  а 2 а  1   3)   а с  с а 5)      4 ас  а с  4 2 у                               4)  х 3 3                                       6) 3 3 3 а х  6 3 х у 3  6 х  6. Представьте в виде степени числа с выражения : 1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  6.  1)  с2   с3 с­2 с3 : с4 ( с с2 )3 ( с4 : с3 ) с с5 : ( с2 : с ) 1 : с5  с­2 с3 : с4  ( с2 с4 с6 ) ( с­3 : с )  ( с­1 с­3 )­1  ( с2 )­2   с6 с6  Представьте число в виде : с  ап , где п , а ­ натуральные числа.  5 3                                 2) 2 3   = 3 3) 24 729                              4)  1 2 3  = 32