Курсовая работа на тему "История развития понятия функции".

Оглавление Введение...................................................................................................................2 Глава 1. История развития понятия функции........................................................3 1.Пропедевтический период (с древнейших времен до 17 века).....................3 1.1 Возникновение и понятие функции в древнем мире................................3 1.2 Возникновение и понятие функции в древнем Египте.............................4 1.3 Возникновение и понятие функции в Древнем Вавилоне........................4 1.4 Возникновение и понятие функции в Древней Греции.............................5 1.5 Графическое изображение зависимостей, история возникновения........5 2.Введение понятия функции через механическое и геометрическое представления (17 век.).......................................................................................6 3.Аналитическое определение функции (17 - начало 19 века).........................6 4.Идея соответствия (19 век)...............................................................................8 5.Дальнейшее развитие понятия функции (с 20 века)......................................9 6.Развитие понятия функции в школе...............................................................10 Глава 2. Исторические сюжеты о функциях........................................................11 1.Древнегреческий взгляд на функцию............................................................11 2.Задачи прошедших веков, связанные с понятием функции.........................14 2.1. Задача Лейбница о трактрисе.................................................................14 2.2.Пушки и ученые..........................................................................................15 2.4.Оптические свойства параболических зеркал.........................................15 Заключение.............................................................................................................16 Список использованных источников и литературы.............................................17 Введение. Функция ­ одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Идея функциональной   зависимости   восходит   к   древности.   Ее   содержание обнаруживается   уже   в   первых   математически   выраженных   соотношениях между   величинами,   в   первых   правилах   действий   над   числами.  Изучение поведения функций является важным разделом математики.  2 Цель   курсовой   работы   –   рассмотреть   различные   подходы   к происхождению и развитию понятия функции. Для достижения цели, мы решаем следующие задачи: 1. Проанализировать   литературу   по   теме   «Происхождение   и   развитие понятия функции»; 2. Выделить основные этапы развития понятия;  3. Рассмотреть   методические   рекомендации   о   введении   понятия «функция» в школе; 4. Рассмотреть исторические сюжеты о функциях; 5. Систематизировать старые знания.  Данная   работа   является   актуальной,   поскольку   история   помогает осознать   важность   изучения   поведения   функции,   дает   возможность рассмотреть различные методы и подходы для решения задачи.  По данной работе существует много различной литературу [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]. Глава 1. История развития понятия функции. 1. Пропедевтический период (с древнейших времен до 17 века). 1.1 Возникновение и понятие функции в древнем мире. Понятие функции уходит своими корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они еще не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на 3 охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем дольше горит костер, тем теплее будет в пещере. С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами. Многие из них выражались   с   помощью   чисел.   Это   позволило   формулировать   их   словами "больше на", "меньше на", "больше во столько­то раз". Если за одного быка давали 6 овец, то двух быков обменивали на 12 овец, а трех быков на 18 овец. Такие   расчеты   привели   к   возникновению   понятия   о   пропорциональности величин. 1.2 Возникновение и понятие функции в древнем Египте. Но   когда   возникли   первые   цивилизации,   образовались   большие   (по тогдашним масштабам), армии, началось строительство гигантских пирамид, то понадобились писцы, которые учитывали поступающие налоги, определяли количество   кирпичей,   потребное   для   возведения   дворцов,   подсчитывали, сколько   продовольствия   надо   заготовить   для   дальних   походов.  От   одного поколения   писцов   к   другому   переходили   правила   решения   задач,   чтобы решить такие задачи, надо было знать, как зависят объемы геометрических фигур от их размеров, уметь учитывать наклон насыпи. Некоторые египетские задачи показывают, что в то время умели даже вычислить объем пирамиды. 1.3 Возникновение и понятие функции в Древнем Вавилоне. Высокого   уровня   достигла   математика   в   Древнем   Вавилоне.   Чтобы облегчить   вычисления,   вавилоняне   составили   таблицы   обратных   значений чисел, таблицы квадратов и кубов чисел и даже таблицы для суммы квадратов чисел их кубов. Говоря современным языком, это было табличное задание функций     y=1 ,    y = x2,  y = x3,  y = x2+x3 x .   Пользуясь   такими   таблицами,   вавилоняне   могли   решать   и   обратные задачи   ­   по   заданному   объему   куба   находить   длину   его   стороны,   т.е. Извлекать  кубические  корни. Они умели  даже  решать  уравнения  вида  a  = x2+x3 . Были у вавилонян и таблицы функций двух переменных, например таблицы сложения и умножения. Пользуясь различными таблицами, они могли вычислить   и   длину   гипотенузы   по   длинам   катетов,   т.е.   находить   значение функции. Разумеется,   путь   от   появления   таблиц   до   создания   общего   понятия функциональной зависимости был еще очень долог, но первые шаги по этому пути уже были сделаны. 4 1.4 Возникновение и понятие функции в Древней Греции. В   Древней   Греции   наука   приняла   иной   характер,   чем   в   Египте   и   в Вавилоне.   Появились   профессиональные   ученые,   которые   изучали   саму математическую науку, занимались строгими логическими выводами одних утверждений   из   других.   Многое   из   того,   что   делали   древнегреческие математики, тоже могло привести к возникновению понятия о функции. Они решали задачи на построение и смотрели, при каких значениях задача имеет решение, изучали, сколько решений может иметь эта задача, и т.д. Древние греки   нашли   много   различных   кривых,   неизвестных   писцам   Египта   и Вавилона, изучали зависимости между отрезками диаметров и хорд в круге, эллипсе и других линиях. Но все же древнегреческие математики не создали общего понятия функции. 1.5 Графическое изображение зависимостей, история возникновения. Исследование общих зависимостей началось в 14 веке. Средневековая наука   была   схоластической.   Для   доказательства   своей   правоты   ученые прибегли не к опыту, а к цитатам из Аристотеля и Платона или к ссылкам на библейские   сказания.   При   таком   характере   "научных   дискуссий"   не оставалось места изучению количественных зависимостей, речь шла лишь о качествах предметов и их связях друг с другом. Но среди схоластов возникла школа,   утверждавшая,   что   качества   могут   быть   более   или   менее интенсивными (платье человека, свалившегося в реку, мокрее, чем у того, кто лишь попал под дождь). Французский   ученый   Николай   Оресм   стал   изображать   интенсивность длинами   отрезков.   Когда   он   располагал   эти   отрезки   перпендикулярно некоторой   прямой,   их   концы   образовывали   линию,   названную   им   "линией интенсивностей" или "линией верхнего края". Мы сразу узнает в ней график соответствующей   функциональной   зависимости.   Оресм   изучал   даже "плоскостные" и "телесные" качества, т.е. функции, зависящие от двух или трех переменных. Важным   достижением   Оресма   была   попытка   классифицировать получившиеся   графики.   Он   выделил   три   типа   качеств:   Равномерные   (с постоянной   интенсивностью),   равномерно­неравномерные   (с   постоянной скоростью   изменения   интенсивности)   и   неравномерно­неравномерные   (все остальные), а также характерные свойства графиков таких качеств. Идеи   Оресма   на   много   обогнали   тогдашний   уровень   науки.   Чтобы развивать   их   дальше,   нужно   было   уметь   выражать   зависимости   между величинами не только графически, но и с помощью формул, а буквенной, алгебры в то время не существовало. Лишь после того, как в течение 16 века 5 была постепенно создана буквенная алгебра, удалось сделать следующий шаг в развитии понятия функции. 2. Введение понятия функции через механическое и геометрическое представления (17 век.) Начиная лишь с 17 века, в связи с проникновением в математику идеи переменных, понятие функции явно и вполне сознательно применяется.  Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые   Франсуа   Виет   и   Рене   Декарт;   они   разработали   единую   буквенную математическую  символику, которая вскоре получила  всеобщее признание. Введено   было   единое   обозначение:   неизвестных   ­   последними   буквами латинского   алфавита   ­  x,  y,  z,   известных   ­   начальными   буквами   того   же алфавита ­ a, b, c, ... и т.д. Под каждой буквой стало возможным понимать не только конкретные данные, но и многие другие; в математику пришла идея изменения. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы. Кроме того, у Декарта и Ферма (1601­1665) в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В своей “Геометрии” в 1637 году Декарт дает понятие функции,   как   изменение   ординаты   точки   в   зависимости   от   изменения   ее абсциссы; он систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно точно   представить   с   помощью   уравнений,   притом   преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом,   с   понятием   аналитического   выражения   ­   формулы.   В   1671   году Ньютон   под   функцией   стал   понимать   переменную   величину,   которая изменяется с течением времени (называл в “флюентой”).  В “Геометрии” Декарта и работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых ­ функция от абсцисс (x); путь и скорость ­ функция от времени (t) и т.п.  3. Аналитическое определение функции (17 ­ начало 19 века). Само слово “функция” (от латинского functio ­совершение, выполнение) впервые  было  употреблено  немецким  математиком  Лейбницем    в 1673г.  в письме   к   Гюйгенсу   (под   функцией   он   понимал   отрезок,   длина   которого меняется по какому­нибудь определенному закону), в печати ввел с 1694 года. Начиная   с   1698   года,   Лейбниц   ввел   также   термины   “переменная”   и “константа”. В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667­1748), который в 1718 6 году   определил   функцию   следующим   образом:   “функцией   переменной величины называют количество, образованное каким угодно способ из этой переменной величины и постоянных”. Для обозначения произвольной функции от  x  Бернулли   применил   знак  (x),   называя   характеристикой   функции,   а также буквы  x  или    ; Лейбниц употреблял  x1,  x2  вместо современных  f1(x), f2(x). Эйлер обозначил через f: y, f: (x + y) то, что мы ныне обозначаем через f(x), f(x+y). Наряду   с    Эйлер   предлагает   использовать   буквы  ,  и   другие. Даламбер   сделал   шаг   вперед   на   пути   к   современным   обозначениям, отбрасывая двоеточие Эйлера; он пишет, например, t, (t+s). Окончательную   формулировку   определения   функции   с   аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер (во “Введении в анализ бесконечного”): “Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким­либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств”. Так понимали функцию на протяжении почти всего 18 века Даламбер (1717­1783), Лагранж (1736­1813), Фурье (1768­1830) и   другие   видные   математики.   Что   касается   Эйлера,   то   он   не   всегда придерживался выше указанного определения; в его работах понятие функции подвергалось   дальнейшему   развитию   в   соответствии   с   запросами математического анализа. В “Дифференциальном исчислении”, вышедшем в свет в 1755 году, Эйлер дает общее определение функции: “Когда некоторые количества зависят друг от   друга   таким   образом,   что   при   изменении   последних   и   сами   они подвергаются   изменению,   то   первые   называют   функцией   вторых”.   “Это наименование,   ­   продолжает   далее   Эйлер   ­   имеет   чрезвычайно   широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других”. Как   видно   из   определенных   определений,   само   понятие   функции фактически   отождествлялось   с   аналитическим   выражением.   Новые   шаги   в развитии   естествознания   и   математики   вызвали   и   дальнейшее   обобщение понятия функции. Одним   из   нерешенных   вопросов,   связанных   с   понятием   функции,   по поводу которого велась ожесточенная борьба мнений, был следующий: можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями? Большой   вклад   в   разрешение   спора   Эйлера,   Даламбера,   Бернулли   и других ученых 18 века по поводу того, что стоит понимать под функцией, внес   французский   математик   Жан   Батист   Жозеф   Фурье   (1768­1830), занимавшийся в основном математической физикой. В представляемых им в Парижскую АН в 1807­1811 гг. Мемуарах по теории распространения тепла в твердом теле, Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.  7 Из трудов Фурье следовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она состоит, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые,   изображаемые   аналитическим   выражением.   В   своем   “Курсе алгебраического анализа”, опубликованном в 1721г., французский математик О.Коши   обосновал   выводы   Фурье.   Таким   образом,   на   известном   этапе развития физики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такими   функциями,   для   определения   которых   очень   сложно   или   даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом. Последний стал   тормозить   требуемое   математикой   и   естествознанием   расширение понятия функции. 4. Идея соответствия (19 век). В 1834 году в работе “Об исчезании тригонометрических строк” Н.И. Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755г., писал: “Общее понятие требует, чтобы функцией от x называть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции   может   быть   дано   и   аналитическим   выражением,   или   условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец,   зависимость   может   существовать,   или   оставаться   неизвестной... Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе”. Еще   до   Лобачевского   аналогичная   точка   зрения   на   понятие   функции была   высказана   чешским   математиком   Б.   Больцано.     Таким   образом, современное   определение   функции,   свободное   от   упоминания   об аналитическом   задании,   обычно   приписываемое   Дирихле,   неоднократно предлагалось и до него. В 1837 году немецкий математик П.Л. Дирихле так сформулировал   общее   определение   понятия   функции:   “y  есть   функция переменной x (на отрезке a  x  b), если каждому значению x на этом отрезке соответствует   совершенно   определенное   значение  y,   причем   безразлично каким   образом   установлено   это   соответствие   ­   аналитической   формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами”. Примером,   соответствующим   этому   общему   определению,   может служить так называемая “функция Дирихле” (x). Эта функция задана двумя формулами и словесно. Она играет известную роль в анализе. Аналитически ее можно определить лишь с помощью довольно сложной   формулы,   не   способствующей   успешному   изучению   ее   свойств. Таким   образом,   примерно   в   середине   19   века   после   длительной   борьбы мнений понятие функции освободилось от рамок аналитического выражения, от единовластия аналитической формулы. Главный упор в основном общем определении понятия функции делается на идею соответствия. 8 Во второй половине 19 века после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия была включена и идея множества. Таким образом,   в   полном   своем   объеме   общее   определение   понятия   функции формулируется следующим образом: если каждому элементу x множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент y из множества В, то говорят, что на множестве А задана функция y=f(x), или что множество А отображено   на   множество   В.   В   первом   случае   элементы  x  множества   А называют значениями аргумента, а элементы их множества В ­ значениями функции; во втором случае x ­ прообразы, y ­ образы. В современном смысле рассматривают функции, определенные для множества значений  x, которые возможно,   и   не   заполняют   отрезка  a    x    b,   о   котором   говорится   в определении Дирихле. Достаточно указать, например, на функцию­факториал y=n!,  заданную на  множестве  натуральных  чисел.  Общее  понятие  функции применимо,   конечно,   не   только   к   величинам   и   числам,   но   и   к   другим математическим объектам. Например, к геометрическим фигурам. При любом геометрическом   преобразовании   мы   имеем   дело   с   функцией.   Другими синонимами термина “функция” в различных отделах математики являются: соответствие, отображение, оператор, функционал и др. Дальнейшее развитие математической науки в 19 веке основывалось на общем определении функции Дирихле, ставшим классическим. 5. Дальнейшее развитие понятия функции (с 20 века). Уже   с   самого   начала   20   века   определение   Дирихле   стало   вызывать некоторые   сомнения   среди   части   математиков.   Еще   важнее   была   критика физиков, натолкнувшихся на явления, которые потребовали более широкого взгляда   на   функцию.   Необходимость   дальнейшего   расширения   понятия функции   стала   особенно   острой   после   выхода   в   свет   в   1930   году   книги “Основы   квантовой   механики”   Поля   Дирака,   крупнейшего   английского физика,   одного   из   основателей   квантовой   механики.   Дирак   ввел   так называемую   дельта­функцию,   которая   выходила   далеко   за   рамки классического определения функции. В связи с этим советский математик Н.М. Гюнтер и другие ученые опубликовали в 30­40 годах нашего столетия работы, в которых неизвестными являются не функции точки, а “функции области”,   что   лучше   соответствует   физической   сущности   явлений.   Так, например,   температуру   тела   в   точке   практически   определить   нельзя,   в   то время   как   температура   в   некоторой   области   тела   имеет   конкретный физический смысл. В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 году, 28­летний советский математик и механик С.Л.   Соболев   первым   рассмотрел   частный   случай   обобщенной   функции, включающей и  дельта­функцию,  и  применил  созданную  теорию  к  решению ряда   задач   математической   физики.   Важный   вклад   в   развитие   теории 9 обобщенной   функции   внести   ученики   и   последователи   Шварца   ­   И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов и др. 6. Развитие понятия функции в школе. Школьный курс изучения функции строится по аналогии с развитием в истории понятия функции. До   7   класса   идет   накопление   знаний,   необходимых   для   введения понятия функции. Рассматриваются зависимости площадей фигур от длины их сторон, радиусов; решаются задачи,  в которых одна величина зависит от другой и т.д. Этот курс можно назвать пропедевтическим.  В 7 классе впервые дается определение понятия “функция”. Дается   определение   функции   на   основе   идеи   зависимости   и   соответствия одной   величины   от   другой.   После   введения   определения   понятия   можно рассказать о том, где люди встречались с функциональными зависимостями, кто впервые ввел этот термин и что означает само слово “функция”. Также в этом классе изучаются различные способы задания функции. Можно более подробно рассказать о табличном способе задания функции как о наиболее старом: привести примеры из истории математики, рассказать о значении и роли математических таблиц для математиков прошлых столетий. Примерами могут   служить   таблицы   квадратов,   кубов   чисел,   арифметических   и квадратных   корней,   которые   учащиеся   могут   увидеть   на   форзацах   своих учебников, которыми они будут пользоваться позже. Чуть позже можно познакомить учащихся с тем, что функция может быть   не  только  от   одной   переменной,  но   и  от  нескольких.  Полезно  будет рассказать   о   французском   математике   Николе   Ореме   и   его   работе   “О конфигурации   качества”,   в   которой   он   высказал   идею   функциональной зависимости   от   одной,   двух   и   трех   переменных   и   ее   графическом изображении. В   9   классе   еще   раз   дается   определение   функции   на   основе   идеи зависимости   одной   переменной   от   другой:   “Функцией   называют   такую зависимость переменной  y  от переменной  x, при которой каждому значению переменной  x  соответствует единственное значение переменной  y”. Можно дать учащимся задание проследить  в истории математики, на каком этапе развития понятия функции появляется такое определение и кто его вводит. Кроме  того, в этом  классе  вводится  символическое   обозначение  функции. В   10­11   классах   вводится   современное   понятие   функции   как соответствие   между   двумя   множествами:   “числовой   функцией   с   областью определения  D  называется соответствие, при котором каждому числу  x  из 10 множества  D  сопоставляется по некоторому правилу число  y, зависящее от D”. Глава 2.  Исторические сюжеты о функциях. 1. Древнегреческий взгляд на функцию Знаменитый древнегреческий историк Геродот писал, что египетские цари, разделив землю между египтянами, брали с каждого из них ежегодный налог, пропорциональный   площади   занимаемого   участка.   Конечно,   ни   египетские цари, ни землевладельцы, ни сам Геродот не произносили слова «функция», но ведь   речь   идет   о   том,   что   каждому   значению   площади   соответствовало некоторое значение налога. Мысль о графическом изображении связей между величинами   возникла   еще   у   ученых   Александрийской   школы.  Начнем   издалека.   Вспомним   вавилонский   способ   извлечения   квадратного корня. Можно рассмотреть его на примере решения квадратного уравнения 2 x . Грекам удобнее было представлять себе это уравнение в x 1 =2 x  . Получалось, что между числами 1 и 2 «вставлялось» их   среднее   пропорциональное.   Эта   пропорция   имеет   простой   наглядный смысл. виде пропорции x2 = 2 или  x= (рис. 1) Пусть ABCD — квадрат со стороной, равной 1 м. (рис 1). Его площадь равна 1м2. Требуется построить квадрат, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Ясно, что сторона такого квадрата должна быть равна √2 м, т. е. искомый квадрат надо строить на диагонали данного. Таким искомым   квадратом   будет   квадрат ACEF.   Из   подобия   треугольников ACD и АЕС следует  AB= AE AC AC   или   1 =2 x x .  Все   очень   просто   и   понятно, задачу можно решить с помощью циркуля и линейки. 11 А   дальше   —   легенда. На   острове   Делос   (в   Эгейском   море)   была страшная   чума.   И   тогда   бог   возвестил   людям:   чтобы   избавиться   от чумы,   они   должны   построить   жертвенник,   вдвое   больший   старого. Строители не смогли этого сделать. Дело в том, что жертвенник имел форму куба, и чтобы удвоить его объем, надо было сначала построить ребро нового куба, равное. А эта задача никак не решалась при помощи одних только циркуля и линейки. Тогда строители обратились к великому философу Платону, но тот ответил, что бог дал им это предсказание не потому, что ему нужен вдвое больший жертвенник, а что он возвестил это в укор грекам, которые не думают, о математике и не дорожат геометрией. Конечно,   греки   думали   о   математике   и   дорожили   геометрией,   да   и   сама задача «об удвоении куба» возникла задолго до Платона, а легенда появилась позднее именно потому, что задачу, действительно, не удавалось решить с помощью   циркуля   и   линейки.   Лишь   в   XIX   в.   было   доказано,   что   этими средствами решить ее невозможно. (рис. 2) А тогда, в V в. до н. э. Гиппократ Хиосский заметил (рис 2), что как для удвоения квадрата, надо между 1 и 2 вставить среднее пропорциональное, т. е. x 1 =2 составить пропорцию  x , так и для удвоения куба надо вставить между числами   1   и   2   средние   пропорциональные,   но   уже   не   одно,   а   два,   т.   е. y=y x=x 1 2 .  1 x=x y .  Так   ли   это?   Найдем   из   этой   пропорции  x.   Во­первых,   из  составить   пропорцию 12 получим x2= y. Во­вторых, из x y=y 2 .  получим 2x= y2 или x = 1 2 y2 . Теперь вместо y подставим во второе уравнение x2, получим x = 1 2 3√2 , т. е. рассуждения Гиппократа были правильными.    т.е. 1= 1 2 x4 x3 , следовательно, x=   другой.   их   Только построение­то все равно не получается, одна задача свелась к современном 1 x=x     Но   из   записи   y=y 2 следуют   интереснейшие   выводы. Сформулируем языке. на Итак, x2 = y или, привычнее, y = x2. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Далее, 2x = y2 или, привычнее, y=√2x ­ это арифметический корень, графиком   этой   функции   тоже   служит   ветвь   параболы,   только   по­иному расположенная.   Из   рассматриваемой   пропорции   также x=y 1 x .   А   это   обратная пропорциональность,   графиком   ее   служит   гипербола. Значит,   найдя   точку пересечения   этих   кривых,   найдем   ее   координаты   и,   найдем   средние пропорциональные   —   две   «вставки»,   извлечем   корень   третьей   степени   из двух, фактически его не извлекая! И задача об удвоении куба будет решена, только совсем не таким путем, который требовался. 2   или x⋅y=2,   привычнее   записать y=2   И   еще. следует  (рис. 3) Строим все три графика (рис 3), получаем искомую точку. С точностью до 0,01 получится: x= 1,26; x2 = 1,59;  1,59 =1,59 2 1 1,26 =1,26 можно   считать,   что увидим,   13 2 x = 1,59; √2x = 1,59. Действительно  .   А   если   заглянуть   в   таблицы,   то 3√2 =1,26. что x= Но   так   получилось   у   нас,   людей   знающих,   что   такое   функция,   умеющих строить графики, в том числе и графики функций y= x2 — параболу. k x   ­ гиперболу,  Y= Кстати,   с   параболой   впервые   мы   встретились   в   алгебре   именно   при изучении   функций.   Позднее   эта   кривая   понадобилась   в   физике,   когда   мы изучали полет тела, брошенного под углом к горизонту. Еще первобытные люди бросали камни, видели, как они летят, видели параболу, значит, этой кривой   должны   были   заинтересоваться   в   глубокой   древности.   Видимо, существует   способ   построения   параболы   без   всяких   иксов   и   игреков,   без формул, геометрический. уравнений, способ   чисто     без     2. Задачи прошедших веков, связанные с понятием функции 2.1. Задача Лейбница о трактрисе. (рис. 4) Пусть по оси абсцисс бежит собака (рис 4), а ее хозяин (первоначально находившийся   на   оси   ординат)   бежит   за   ней   так,   что   поводок   все   время натянут.   В   этом   случае   поводок   будет   направлен   по   касательной   к   пути хозяина. Требуется найти, по какой линии бежит хозяин собаки. 14 Решение: эту   кривую   называют   трактрисой.   Через   полтора   столетия после ее открытия она сыграла роль в утверждении неевклидовой геометрии Лобачевского:   если   повернуть   трактрису   вокруг   оси   абсцисс,   то   на полученной   поверхности   вращения   будет   выполняться   геометрия Лобачевского. 2.2. Пушки и ученые. 2.3. (рис. 5) Траекторией снарядов интересовались многие ученые. Особенный интерес возник   с   момента   изобретения   пороха   (в   XIII   веке).   Ни   одна   тогдашняя крепость   не   могла   долго   выдержать   артиллерийский   огнь.   Сначала применяли лишь настильный огонь, а это не давало возможности располагать артиллеристов в укреплении за холмом. Лишь позже догадались применять навесный   огонь,   позволяющий   стрелять   из­за   укрытия.   Чтобы   обеспечить прицельность   навесного   огня,   нужно   было   изучить   движение   тела, брошенного под углом к горизонту. Ученые доказали, что тело движется по параболе.   Если   при   заданной   начальной   скорости   снаряда   менять   угол,   то получится   бесконечное   множество   парабол   (рис   5).   Все   параболы,   для которых 45°, α , 90°, касаются одной и той же линии, имеющей уравнение y= 2 ( V2 1 точка N находится   вне   ограниченной   ею   области,   то   при   начальной скорости V снаряд не попадёт в N ни при каком угле наклона. Её   называют   параболой   безопасности. g−gV2 V2 )   Если .  2.4. Оптические свойства параболических зеркал. По дошедшей до нас легенде Архимед построил вогнутые зеркала и с их помощью сжег римские корабли. Большинство ученых отвергают эту легенду, поскольку такие зеркала должны были бы иметь слишком большие размеры, а это техники.  невозможно тогдашнем уровне         при   15 Но если даже история о сожжении кораблей легендарна, то все­таки сжечь римский   флот   при   помощи   параболических   зеркал   возможно. Результаты,   полученные   Архимедом,   были   основаны   на   следующем утверждении: любая прямая, параллельная оси симметрии параболы, после отражения от параболы проходит через ее фокус. Это же свойство параболы можно сформулировать и так: касательная к любой точке параболы делит пополам   угол   между   прямой,   соединяющей   точку   касания   с   фокусом,   и перпендикуляром,   опущенным   из   этой   точки   на   директрису. Для   того   чтобы   построить   зеркало,   собирающее   солнечные   лучи   в   одной точке,   нужно   отшлифовать   его   по   параболоиду   вращения   –   поверхности, получаемой   при   вращении   параболы   вокруг   ее   оси.   Если   направить   такое параболическое зеркало на Солнце, то все отраженные лучи пройдут через фокус параболы, и температура в нем окажется настолько большой, что с помощью солнечных лучей можно будет вскипятить воду, расплавить свинец и т.д.   Отсюда   происходит   и   само   название   «фокус»,   означающее   по­латыни «очаг» (рис 6). (рис. 6 Заключение. Для   того   чтобы   иметь   возможность   с   успехом   применять математические методы при изучении того или иного вопроса, нужно, прежде всего,   иметь   необходимые   знания,   уметь   правильно   обращаться   с математическим   аппаратом,   знать   границы   допустимого   использования рассматриваемой математической модели. В данной работе мы попыталась наиболее полно рассмотреть историю происхождения и развития понятия функции.  16 Можем выделить следующие этапы: 1.Установление отдельных зависимостей между величинами (6­5 вв. до н.э.­ 13в.); 2. Выделение идеи функциональной зависимости, а именно осознание понятий «зависимая»   и   «независимая»   переменная   величина   и   её   выражение   в механической и геометрических формах (14 ­16 вв.); 3.   Доминирование   идеи   задания   функции   аналитической   формулой   и   её логический анализ (конец 16 – 19 вв.); 4.   Современный   этап   становления   понятия   функции   (с   20   века):   его обобщение, расширение и исследование. При выполнении  данной курсовой  работы была  достигнута цель  и  решены поставленные задачи. Список использованных источников и литературы. 1. Глейзер   Г.И.   История   математики   в   школе:   7­8   класс   ­   М.: Просвещение. ­ 1982. 2. Глейзер   Г.И.   История   математики   в   школе:   9­10   класс   ­   М.: Просвещение. ­ 1983. 3. Чистяков В.Д. Исторические экскурсы на уроках математики в средней школе. ­ Минск: “Народная освета”. ­ 1969. 17 4. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. ­ М.:Учпедгиз. ­ 1958. 5. Прохоров   Ю.В.   Математический   энциклопедический   словарь.   ­ М.: Сов. энциклопедия. ­ 1988. 6. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. ­ М.: Педагогика. ­ 1989. 7. http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=531211 18