MathCad — система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы.
Основные возможности:
MathCad содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции со скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.курсовая работа на тему:
Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
196781.rtf
Тема: «Mathcad: Решение дифференциальных уравнений и их систем»
Курсовая работа Задание на курсовую работу
Задача 1. Получить точное решение дифференциального уравнения
вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до
5 элемента ряда) на интервале [0;1], численное решение методами Эйлера и
РунгеКутты, представить совместное графическое решение ДУ всеми
способами. Рассчитать относительную и абсолютную погрешность методов
Эйлера и РунгеКутты. Рассчитать относительную и абсолютную погрешность
всех методов с использованием точного решения.
Задача 2. Решить систему дифференциальных уравнений, получить
точное решение вручную, операторным методом, приближенное решение с
помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0;1], численное решение
методами Эйлера и РунгеКутты. Представить совместное графическое
решение, рассчитать локальную относительную и абсолютную погрешность. Содержание
Введение
Задача 1
Классический способ
Операторный метод
Решение с помощью рядов
Метод Эйлера
Метод РунгеКутты
Совместное графическое решение
Задача 2
Классический способ
Операторный метод
Решение с помощью рядов
Метод Эйлера
Метод РунгеКутты
Совместное графическое решение
Заключение
Список использованных источников Введение
MathCad — система компьютерной алгебры из класса систем
автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку
интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением,
отличается легкостью использования и применения для коллективной работы.
Основные возможности:
MathCad содержит сотни операторов и встроенных функций для
решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять
численные и символьные вычисления, производить операции со скалярными
величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни
единицы измерения в другие.
Среди возможностей MathCad можно выделить:
Решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными
методами
Построение двумерных и трёхмерных графиков функций (в разных
системах координат, контурные, векторные и т. д.)
Использование греческого алфавита, как в уравнениях, так и в тексте
Выполнение вычислений в символьном режиме
Выполнение операций с векторами и матрицами
Символьное решение систем уравнений
Аппроксимация кривых
Выполнение подпрограмм
Поиск корней многочленов и функций
Проведение статистических расчётов и работа с распределением
вероятностей
Поиск собственных чисел и векторов
Вычисления с единицами измерения Интеграция с САПР системами, использование результатов вычислений
в качестве управляющих параметров
[1] Задача 1.
Классический метод
x''
x'
2x
2
1(
t
)
x 0( )
x' 0( )
1
1
Решим характеристическое уравнение:
k2
k
2
0
D 1
(
k1
8
1
9
3
)
2
k2
(
1
3
)
2
1
2
Общее решение ЛОДУ:
x_
c1 et
t
c2 e 2
Найдем частное решение: f t( )
2
t
2
x
x'
x''
At
B
A
0
A 2At
2B
2
t
2
2 A
2
A 1
A 2B
2
2 B
3
B
x
3
2
t
3
2
Общее решение данного ДУ:
x_
x
x
c1 et
t
c2 e 2
t
3
2
Подставим начальные условия и решим задачу Коши: 1
c1
c2
3
2
c1
c2
x'
1
1
2
2c2 e 2
t
1
c1 et
c1
2c2
1
c1
2c2
c1
c2
0
1
2
c1
2c2
3c2
1
2
c2
c1
1
6
1
3
Частное решение ДУ:
x t
3
2
et
1
3
1
6
e 2
t
График точного решения вручную:
x t( )
t
3
2
1
3
et
1
6
t
e 2
t
0 0.1
1 x t( )
1.6
1.4
1.2
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
Операторный метод
x''
x'
2x
2
1(
t
)
x 0( )
1
x' 0( )
1
f t( )
2
1(
t
)
Найдем изображения для каждого члена ДУ:
x t( )
x' t( )
x'' t( )
XX
s X
X
1
s2X s
X
1
f t( ) laplace t
F t( )
2
s2
2
2
s
s
1(
2 s
)
s2
дифференциальное уравнение погрешность
Найдем Х:
Given
x'' t( )
x' t( )
2x t( )
F t( ) Find X(
)
s
2
s
2
2
s2
2
invlaplace s
t
t
e 2
6
e2 t
3
3
2
s
s2
1
6
xo t( )
t
3
2
exp 2
t(
)
exp t( )
1
3
График точного решения, полученного операторным методом:
t
0 0.1
1
xo t( )
1.6
1.4
1.2
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
Сравнение решений, полученных классическим и операторным методом
x t( )
t
3
2
1
3
t
e
e
1
6
2
t
xo t( )
t
3
2
1
6
exp 2
t(
)
exp t( )
1
3 Решение с помощью рядов
x''
x'
2x
2
1(
t
)
x 0( )
x' 0( )
1
1
Разложим в ряд Маклорена:
xr t( )
x 0( )
x' 0( )
1
t
x'' 0( )
2
t
x''' 0( )
3
t
x'''' 0( )
4
t
x0
x1
1
1
x2
x1
2x0
2
x2
1
x3
x2
2x1
2
x3
1
x4
x3
2x2
x4
3
xr t( )
x0
x1t
xr t( )
t3
6
t4
8
x2
2
t2
2
t2
t3
x3
3
t4
x4
4
t
1
xr t( )
1
t
t2
1
2
t3
1
6
t4
1
8
Сравним решения, полученные операторным методом и с помощью
рядов
xo t( )
t
3
2
1
6
exp 2
t(
)
exp t( )
1
3
t2
1
2
t3
1
6
t4
1
8
xr t( )
1
t
t
0 0.1
1 xr t( )
xo t( )
1.6
1.4
1.2
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
Вычислим погрешности
(
xo t( )
x t( )
) 100
xr t( )
xo t( )
x t( )
0
5
3
3
3.669∙10
1.05∙10
7.227∙10
0.028
0.079
0.182
0.369
0.68
1.165
1.889
x t( )
xo t( )
xr t( ) x t( )
0
7
5
5
4
3
3
3
4.018∙10
1.241∙10
9.096∙10
3.703∙10
1.092∙10
2.628∙10
5.495∙10
0.01
0.018
0.03
Метод Эйлера
x''
x'
2x
2
1(
t
)
x 0( )
1
x' 0( )
1
z0
1
n
11
x0
1
h
0.1
t0
0
euler t0 z0
(
x0
n
h
)
for
1 n
i
t0
t
z0
z
x0
x
t
V0 i
V1 i
V2 i
t0
z0
x0
t
z
x
z
x
h
z
(
z h
2x
2 t
2
) h
V
)
0
1
1
2
0.1
0.9
1.1
3
0.2
0.81
1.19
4
0.3
0.727
1.271
5
0.4
0.649
1.344
6
0.5
0.572
1.409
7
0.6
0.497
1.466
8
0.7
0.42
1.515
9
0.8
0.341
...
V euler t0 z0 x0 n h
(
0
1
V
0
1
2
0
0
0
i
t
0 11
0 0.1
1 T_ploti V0 i
X_ploti V2 i
xo t( )
t
3
2
1
6
exp 2
t(
)
exp t( )
1
3
xr t( )
1
t
t2
1
2
t3
1
6
t4
1
8
Для сравнения решений построим график
1.6
X_plot i
1.4
xo t( )
xr t( )
1.2
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
T_plot i t
xo t( )
1
1.095
1.181
1.259
1.328
1.389
1.442
1.488
1.525
1.553
1.571
X_ploti
0
1
1.1
1.19
1.271
1.344
1.409
1.466
1.515
1.558
1.592
1.618
x t( )
xo t( ) X_plott 10
1
Вычислим погрешности:
xo t( ) X_plott 10
X_plot10t 1
1
100
x t( )
x t( )
0
0.44
0.744
0.977
1.181
1.38
1.594
1.836
2.119
2.454
2.855 x t( )
0
3
3
4.845∙10
8.854∙10
0.012
0.016
0.019
0.023
0.028
0.033
0.039
0.046
Метод РунгеКутты
x'' x'
2x
2
1(
t
)
x 0( )
x' 0( )
origin
x
1
1
1
1
1
D t x(
)
x1
2 x0
2t
2
x1
(
X rkfixedx 0 3 30 D
)
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1
1
1.095
1.181
1.259
1.328
1.389
1.442
1.488
1.525
1.553
1.571
1.58
1.578
1.565
1.538
1.498
2
1
0.905
0.816
0.733
0.653
0.573
0.493
0.411
0.325
0.235
0.139
0.036
0.076
0.198
0.331
... xo t( )
t
3
2
1
6
exp 2
t(
)
exp t( )
1
3
t
0 0.1
1
Сравним решение, полученное методом РунгеКутты 4 порядка, с
точным решением:
xo t( )
X 1
1.4
1.2
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
t X 0
Вычислим погрешности
x t( )
100
xo t( ) X 1
X 1 xo t( )
1
1.095
1.181
1.259
1.328
1.389
1.442
1.488
1.525
1.553
1.571
x t( )
0
0
X 1
0
1
1
1.095
2
1.181
3
1.259
4
1.328
5
1.389
6
1.442
7
1.488
8
1.525
9
1.553
10
1.571
11
1.58
12
1.578
13
1.565
14
1.538
15
...
xo t( ) X 1
x t( )
x t( )
0 Совместное графическое решение ДУ всеми способами
x t( )
0
5
3
3
3.669∙10
1.05∙10
7.227∙10
0.028
0.079
0.182
0.369
0.68
1.165
1.889
x t( )
0
7
5
5
4
3
3
3
4.018∙10
1.241∙10
9.096∙10
3.703∙10
1.092∙10
2.628∙10
5.495∙10
0.01
0.018
0.03
погрешность решения с помощью рядов
x t( )
x t( )
0
0
погрешность решения с помощью метода РунгеКутты 4 порядка x t( )
0
0.44
0.744
0.977
1.181
1.38
1.594
1.836
2.119
2.454
2.855
x t( )
0
3
3
4.845∙10
8.854∙10
0.012
0.016
0.019
0.023
0.028
0.033
0.039
0.046
погрешность решения с помощью метода Эйлера 1.6
xo t( )
xr t( )
1.4
X_plot i
X 1
1.2
1
0
0.2
0.4
0.6
t t T_plot i
X 0
0.8
Задача 2
Классический способ x'
y'
2 x
5y
1
x
2y
1
x 0( )
y 0( )
0
2
x''
x''
5y
2 x'
5y'
2 x'
5x
10y
5
x'
2x
1
x''
2 x'
5x
2x'
4x
2
5
3
k2
c2 e3t
x'' 9x
k2
9
3
0
k1
x_
x
x'
x''
3
t
c1 e 3
A
0
0
3
0
A
9A
1
3
x
1
3
t
c1 e 3
c2 e3 t
x 0( )
0
c1
x'
0
1
3
c1
c2
c2
1
3
3 c1 e 3
t
3c2 e3t
x' 0( )
2 0
5 2
1
11
11
3 c1
3c2
11
1
3c2
3c2
c2
c1
x
2
1
3
2
5
3
1
3
5
3
e 3
t
2 e3t
Найдем у y''
y''
x'
2y'
2 x
5y
1
2y'
x
y'
2y
1
y''
2 y'
4y
2y'
5y4x
2
1
y''
9y
3
0
k2
9
0
k1
y_
y
y'
y''
3
k2
3
t
c1 e 3
c2 e3t
A
0
0
3
0
A
9A
1
3
y
1
3
t
c1 e 3
c2 e3 t
y 0( )
2
2
c1
y'
1
3
c1
c2
c2
7
3
3 c1 e 3
t
3c2 e3t
y' 0( )
0
2 2
1
5
5
5
c2
c1
y
3 c1
3c2
7
3c2
3 c2
2
7
3
1
3
1
3
e 3
t
2
1
3
2 e3t Операторный метод
x'
y'
2 x
5y
1
x
2y
1
x 0( )
y 0( )
0
2
Найдем изображения
s X
x XX
0
x' 0( )
y YY
0
y' 0( )
s Y
2
1 laplace t
1
s
Найдем Х и Y
Given
s X
2 X
5 Y
s Y
2
X 2 Y
Find X Y
)
(
X s( )
Y s( )
11 s
(
s s2
2 s2
s s2
5 s
3
9
1
s
1
s
11 s
9 s
2 s2
9 s
3
)
9
3
s3
5 s
3
s3
Найдем x(t) и y(t):
X s( ) invlaplace s
2 e3 t
5 e 3
t
3
1
3
Y s( ) invlaplace s
t
e 3
3
2 e3 t
1
3
xo t( )
yo t( )
1
3
1
3
2 exp 3 t(
)
exp 3
t(
)
5
3
2 exp 3 t(
)
exp 3
t(
1
3
)
Сравним с решением, полученным классическим способом
xo t( )
1
3
yo t( )
1
3
2 exp 3 t(
)
exp 3
t(
)
5
3
2 exp 3 t(
)
exp 3
t(
1
3
)
x
y
1
3
5
3
e 3
t
2 e3t
1
3
e 3
t
2 e3t
1
3 Решение с помощью рядов
x'
y'
2 x
5y
1
x
2y
1
x 0( )
y 0( )
0
2
Перейдем от системы ДУ 1 порядка к двум ДУ 2 порядка:
x'' 9x
3
y''
9y
3
Разложим в ряд Маклорена:
x
0
y
2
Given
a0
a1
a2
a3
a4
a5
0
2 x
5 y
1
9 x
3
9
(
2 x
5y
1
)
3(
9 9x
)
[
9 9
(
2 x
5y
1
)
]
Find a0 a1
(
a2
a3
a4
a5
)
0
11
3
99
27
891
t
11
1
297t5
40
3
2
t2
t3
99
3
t4
27
4
t5
891
5
9 t4
8
33 t3
2
3 t2
2
11 t
xr t( )
xr t( )
Given
a0
a1
a2
a3
a4
a5
2
x
2y
1
9y
3
9
(
2 x
5y
1
)
9 9y
(
3
)
[
9 9
(
2 x
5y
1
)
]
Find a0 a1
(
a2
a3
a4
a5
)
2
5
21
99
189
891
t3
99
3
33 t3
2
t4
891
5
t5
5 t
2
t2
yr t( )
yr t( )
2
5
1
297t5
40
t
21
2
63 t4
8
189
4
21 t2
2
Для сравнения, построим графики решения операторным методом и с
помощью рядов
xo t( )
1
3
yo t( )
1
3
2 exp 3 t(
)
exp 3
t(
)
5
3
2 exp 3 t(
)
exp 3
t(
1
3
)
xr t( )
2
5 t
t2
21
2
33
2
t3
t4
63
8
t5
297
40
yr t( )
11 t
t
0 0.1
t2
3
2
1
t3
33
2
t4
9
8
t5
297
40 40
30
xo t( )
xr t( )
20
10
0
0
30
yo t( )
yr t( )
20
10
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
Вычислим погрешности
(
xo t( )
x t( )
) 100
xr t( )
xr t( ) xo t( )
0
1.132
2.396
3.908
5.805
8.258
11.49
15.795
21.562
29.314
39.755
xr t( )
0
1.132
2.396
3.908
5.801
8.24
11.427
15.613
21.102
28.266
37.55
x t( )
0
5
3
4.395∙10
1.761∙10
0.015
0.07
0.222
0.554
1.168
2.18
3.708
5.872 yo t( )
2
2.613
3.494
4.721
6.407
8.704
11.821
16.04
21.743
29.449
39.854
yr t( )
2
2.622
3.567
4.972
7.014
9.912
13.942
19.443
26.827
36.585
49.3
x t( )
y t( )
xr t( )
xo t( )
yo t( )
100
yr t( )
yr t( )
y t( )
yo t( )
yr t( )
x t( )
0
7
5
4
3
4.973∙10
4.221∙10
6.015∙10
4.078∙10
0.018
0.063
0.182
0.46
1.048
2.205 y t( )
0
0.345
2.05
5.047
8.645
12.181
15.212
17.504
18.949
19.506
19.16
y t( )
0
3
9.038∙10
0.073
0.251
0.606
1.207
2.121
3.403
5.083
7.136
9.446
Метод Эйлера
x0
x'
t0
y'
y0
0
2 x
0
5y
1
1
2y
x
2
x 0( )
0
n
100
y 0( )
2
h
0.1 euler t0 x0 y0
(
n h
)
for
V euler t0 x0 y0 n h
(
V
)
1 n
x0
t0
y0
t
x
y
i
x
t
y
V0 i
V1 i
V2 i
t0
x0
y0
h
t
2 x
x
(
(
x
y
2y
5y
) h
1
) h
1
0
1
2
3
4
5
V
0
1
2
0
0
0
0
0
2
0.1
1.1
2.5
0.2
2.23
3.21
0.3
3.489
4.175
0.4
4.979
...
i
0 100
T_ploti V0 i
Y_ploti V2 i
X_ploti V1 i
40
30
X_plot i
Y_ploti
20
10
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
T_plot i
Построим графики решений операторным методом и методом Эйлера
2 exp 3 t(
)
exp 3
t(
)
5
3
2 exp 3 t(
)
exp 3
t(
1
3
)
xo t( )
1
3
yo t( )
1
3
t
0 0.1
1
80
60
X_plot i
xo t( )
40
20
0
0
0.2
0.4
0.6
T_plot i t
0.8
60
40
Y_ploti
yo t( )
20
0
0
0.2
0.4
0.6
T_plot i t
0.8
Вычислим погрешности
x t( )
y t( )
xo t( ) X_plot10t 1
X_plot10t 1
yo t( ) Y_plot10t 1
Y_plot10t 1
100
100 xo t( )
0
1.132
2.396
3.908
5.805
8.258
11.49
15.795
21.562
29.314
39.755
X_ploti
0
0
1.1
2.67
4.909
8.1
12.647
19.124
28.348
41.482
60.184
86.812
124.722
178.695
255.533
...
x t( )
0
2.881
10.254
20.386
28.337
34.704
39.916
44.282
48.022
51.293
54.206 yo t( )
2
2.613
3.494
4.721
6.407
8.704
11.821
16.04
21.743
29.449
39.854
Y_ploti
0
2
2.5
3.21
4.219
5.654
7.694
10.598
14.73
20.611
28.981
40.896
57.856
82
116.369
...
y t( )
0
4.533
8.842
11.908
13.329
13.126
11.54
8.892
5.494
1.612
2.547 x t( )
y t( )
xo t( ) X_plot10t 1
yo t( ) Y_plot10t 1
x t( )
0
0.032
0.166
0.419
0.826
1.446
2.366
3.716
5.677
8.506
12.563
y t( )
0
0.113
0.284
0.546
0.948
1.556
2.462
3.796
5.743
8.559
12.607
Метод РунгеКутты
x'
2 x
5y
1
y'
x
2y
1
origin
1
origin
1
x
0
2
x 0( )
y 0( )
0
2
5x1
2x1
1
1
X rkfixedx 0 1 30 D
)
D t x(
)
2 x0
x0
(
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0
0
0.033
0.067
0.1
0.133
0.167
0.2
0.233
0.267
0.3
0.333
0.367
0.4
0.433
0.467
0.5
1
0
0.369
0.745
1.132
1.533
1.953
2.396
2.867
3.369
3.908
4.49
5.12
5.805
6.551
7.366
8.258
2
2
2.179
2.382
2.613
2.874
3.166
3.494
3.86
4.268
4.721
5.226
5.786
6.407
7.096
7.859
...
Построим графики решений операторным методом и методом Рунге
Кутты
xo t( )
1
3
yo t( )
1
3
2 exp 3 t(
)
exp 3
t(
)
5
3
2 exp 3 t(
)
exp 3
t(
1
3
)
t
0 0.1
1 40
30
xo t( )
X 1
20
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
t X 0
40
30
yo t( )
X 2
20
10
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t X 0
Вычислим погрешности
xo t( )
0
1.132
2.396
3.908
5.805
8.258
11.49
15.795
21.562
29.314
39.755 yo t( )
2
2.613
3.494
4.721
6.407
8.704
11.821
16.04
21.743
29.449
39.854
X 2
0
2
2.179
2.382
2.613
2.874
3.166
3.494
3.86
4.268
4.721
5.226
5.786
6.407
7.096
7.859
...
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15 X 1
0
0
0.369
0.745
1.132
1.533
1.953
2.396
2.867
3.369
3.908
4.49
5.12
5.805
6.551
7.366
...
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
x t( )
y t( )
x t( )
y t( )
0
0
0
0
Совместное графическое решение
x t( )
0
2.881
7.454
12.017
16.595
21.222
25.934
30.762
35.735
40.876
46.204 y t( )
0
4.533
8.842
13.087
17.373
21.765
26.3
31.003
35.891
40.975
46.266
x t( )
0
0.032
0.166
0.419
0.826
1.446
2.366
3.716
5.677
8.506
12.563
y t( )
0
0.113
0.284
0.546
0.948
1.556
2.462
3.796
5.743
8.559
12.607
погрешности решения с помощью метода Эйлера x t( )
y t( )
x t( )
y t( )
0
0
0
0
погрешности решения с помощью метода РунгеКутты 4 порядка
x t( )
0
5
3
4.395∙10
1.761∙10
0.015
0.07
0.222
0.554
1.168
2.18
3.708
5.872
y t( )
0
0.345
2.05
5.047
8.645
12.181
15.212
17.504
18.949
19.506
19.16 x t( )
0
7
5
4
3
4.973∙10
4.221∙10
6.015∙10
4.078∙10
0.018
0.063
0.182
0.46
1.048
2.205
y t( )
0
3
9.038∙10
0.073
0.251
0.606
1.207
2.121
3.403
5.083
7.136
9.446
погрешности решения с помощью рядов 80
60
xo t( )
xr t( )
40
X_plot i
X 1
20
0
0
80
60
yo t( )
yr t( )
40
Y_ploti
X 2
20
0
0
0.2
0.4
t t T_plot i
0.6
X 0
0.8
0.2
0.4
t t T_plot i
0.6
X 0
0.8 Заключение
Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления,
могут быть записаны в виде дифференциальных уравнений. Эти уравнения
описывают изменение соответствующих физических величин с течением
времени и могут служить в качестве математической модели
соответствующего процесса.
Дифференциальные уравнения играют важную роль в прикладной
математике, физике и в других науках, таких как биология, экономика и
действительности, они возникают везде, где есть
электротехника; в
необходимость количественного (числового) описания явлений окружающего
мира.
Теория численного решения дифференциальных уравнений хорошо
разработана и на ее основе создано множество прикладных программ,
позволяющих пользователю получить решение и вывести его в графическом
виде. Среди этих программ следует в первую очередь отметить такие
математические пакеты, как MATLAB, MATHEMATICA, MAPLE и
MATHCAD. [3]
В представленной работе были использованы различные методы
решения дифференциальных уравнений и их систем:
Классический метод
Операторный метод
Решение ДУ с помощью рядов
Метод Эйлера
Метод РунгеКутты 4 порядка
Продемонстрированы возможности пакета MathCad,
показаны
расхождения решений разными методами.
В ходе проведения работы было выявлено, что наиболее точные
решения получаются при использовании метода РунгеКутты 4 порядка и метода Эйлера. Наивысшей точностью обладает метод РунгеКутты 4 порядка
точности. Список использованных источников
Казанцева Н. В. Численное решение задач высшей математики с
использованием программных пакетов MathCad и MATLAB : метод. указания
– Екатеринбург, УрГУПС, 2009 – 56 с.
Шампайн Л. Ф., Гладвел И., Томпсон С. Решение обыкновенных
дифференциальных уравнений с использованием MATLAB: Учебное пособие /
Пер. с англ. И. А. Макарова. — СПб.: Издательство «Лань», 2011. — 304с:
ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература).
Размещено на Allbest.ru
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая работа на тему: Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
12.05.2018
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
О портале
