Курсовая работа по математике *Действительные. рациональные. иррациональные числа*

Введение План 1 Исторические аспекты возникновения и формирования понятия «Число» 2 Натуральные и действительные числа, актуальность их использования в  математике и других точных науках 3 Развитие рациональных и иррациональных чисел, их место в современной  математике 4 Практическое применение чисел при решении задач и написании единого  государственного экзамена    1. Исторические аспекты возникновения и формирования понятия  «Число» Наши первоначальные представления о числе и форме относятся к очень  отдаленной эпохе древнего каменного века ­ палеолита. В течении сотен  тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях, мало  отличавшихся от жизни животных, и их энергия уходила преимущественно на  добывание пищи простейшим способом ­ собиранием её, где только это было  возможно. Люди изготовляли орудия охоты и рыболовства, вырабатывали  язык для общения друг с другом, а в эпоху позднего палеолита украшали своё существование, создавая произведения искусства, статуэтки и рисунки. Пока не произошёл переход от простого собирания пищи к активному её  производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало  продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. Лишь с наступлением этого фундаментального перелома, переворота, когда  пассивное отношение человека к природе сменилось активным, мы вступаем в новый каменный век, в неолит. Самым трудным этапом, который прошло человечество при выработке  понятия о числе, считается выделение им понятия единицы из понятия  «много». Оно произошло, по всей вероятности, ещё тогда, когда человечество  находилось на низшей ступени развития. В.В. Бобынин объясняет такое  выделение тем, что человек обычно захватывает рукой один предмет, а это, по его мнению, и выделило единицу из множества. Таким образом, начало  счисление Бобынин мыслит, как создание системы, состоящей из двух  представлений: единица и неопределенное множество.  Так, например, племя ботокудов, жившее в Бразилии, выражало числа только  словами «один» и «много». Появление элемента «два» объясняется  выявлением возможности взять по одному предмету в каждую руку. На  первоначальном этапе счёта человек связывал это понятие с понятием обеих  рук, в которых находится по одному предмету в каждой. При выражении  понятия «три» встретилось затруднение: у человека нет третьей руки; это  затруднение было преодолено, когда человек догадался помещать третий  предмет у своих ног. Таким образом, «три» характеризовалось поднятием  обеих рук и указанием на ноги. Отсюда сравнительно характерно произошло  выделение и понятие «четыре», так как с одной стороны, к этому побуждало  сопоставление двух рук и двух ног, а с другой ­ возможность поместить по  одному предмету у каждой ноги. На первой ступени развития счета человек  еще отнюдь не пользовался наименованием чисел, а выражал их или у ног, или  соответствующими телодвижениями или жестами. Дальнейшее развитие счета относится, вероятно, к той эпохе, когда  человечество ознакомилось с некоторыми формами производства ­ охотой и рыболовством. Человеку пришлось изготавливать простейшие орудия для  овладения этими производствами. Кроме того, продвижение человека в  холодные страны заставило его делать одежду и создавать орудия для  обработки кожи. На этой ступени развития человек уже отказывается от необходимости брать  пересчитываемые предметы в руку или класть к ногам. В математику входит  первая абстракция, заключающаяся в том, что пересчитываемые предметы  заменяются какими­либо другими однородными между собой предметами или знаками: камешками, узелками, ветками, зарубками. Операция производится  по принципу взаимно­однозначного соответствия: каждому  пересчитываемому предмету в соответствие один из предметов, выбранных в  качестве орудия счета (то есть один камешек, один узелок на веревке и т.д.).  Следы такого рода счета сохранились у многих народов и до настоящего  времени. Иногда такие примитивные орудия счета (камешки, раковины,  косточки) нанизывали на шнурок или палочку, чтобы не растерять. Это  впоследствии привело к созданию более совершенных счётных приборов,  сохранивших своё значение и до наших дней: русские счёты и сходный с ними  китайский суан­пан. Ученые считают, что история возникновения чисел зародилась еще в  доисторические времена, когда человек научился считать предметы. Но знаки  для обозначения чисел появились значительно позже: их изобрели шумеры —  народ, живший в 3000—2000 гг. до н. з. в Месопотамии (ныне в Ираке).  История гласит, что на табличках из глины они выдавливали клинообразные  черточки, а потом изобрели знаки. Некоторые клинописные знаки обозначали  числа 1, 10, 100, то есть были цифрами, остальные числа записывались  посредством соединения этих знаков. Пользование цифрами облегчало счет:  считали дни недели, головы скота, размеры земельных участков, объемы  урожая. История цифр началась 5 тысячелетий назад в Египте и Месопотамии. И хотя  эти два культурных пласта мало пересекались друг с другом, их системы  исчисления очень похожи. Первоначально для записей использовали камень  или выполняли засечки на дереве. Впоследствии в Месопотамии стали  пользоваться глиняными табличками, а в Египте писали на папирусе. Внешний вид цифр в этих культурах отличается, однако одно можно сказать точно:  найденные археологами артефакты подтверждают, что это были не просто  записи чисел, а именно математические действия. Искусство счета развивалось с развитием человечества. В те времена, когда  человек лишь собирал в лесу плоды и охотился, ему для счета хватало четырех слов: один, два, три и много. Именно так считают сейчас некоторые  племена, живущие в джунглях Южной Америки. Знакомясь с числами, мы не можем не заняться знаками, с помощью которых  числа обозначаются на бумаге. Знаки эти мы называем цифрами. Самыми древними цифровыми знаками являются вавилонские знаки. Если мы  взглянем на карту, то увидим на ней реки Тигр и Ефрат. Древние греки назвали эту страну Месопотамией, что по­русски обозначает  междуречье, так как расположена она была в долине между двумя реками­ близнецами. Часть Месопотамии занимало могучее государство, столицей  которого был город Вавилон. Уже четыре тысячелетия назад в Вавилоне  расцветала наука и существовали библиотеки. Правда, в те времена еще не  было печатных книг, но зато существовали глиняные таблички, на которых  вавилонские мудрецы писали свои труды. Современные ученые нашли 44  таблички, на которых записана вся математическая наука, известная  вавилонцам. Ученые Вавилона пользовались, так называемой, клинописью.  Вавилонские числа являются, собственно говоря, комбинации трех  клинописных знаков: единица, десятка и сотни. С помощью этих знаков можно было написать число тысяча, а также любое  другое число, при этом использовались, как принцип сложения, так и  умножение, а более крупные числа всегда предшествовали меньшим.    Почти столь же древними являются египетские цифры. Для выражения своих мыслей и слов на бумаге египтяне использовали знаки, которые мы в  настоящее время называем иероглифами. Затем иероглифное письмо было заменено более простым и иератическим  письмом. В обоих видах письма египтяне имели специальные знаки для цифр.  Египтяне вначале писали числа высшего порядка, а затем низшего. При этом  использовался принцип сложения или умножения. Египтяне также умели  пользоваться дробями. Все египетские дроби имели в числителе единицу,  других дробей они не умели даже выговорить (исключение составляло 2/3).  Дроби писали так же, как и натуральные числа, только над ними ставилась  точка, причем для 1/2 и для 2/3 имели специальные знаки. Римские цифры общеизвестны и используются еще сейчас, между прочим, на  циферблатах часов, надписях на мемориальных досках, при нумерации  страниц книг и т.д. Известно, например, что L­это 50, С­это 100, D­это 500,  M­это 1000. Знаки C и M это первые буквы слов “centum” ­100 и “mille” –  1000. Знаки L и D очевидно также были первыми буквами каких­то слов, однако слова эти до нас не дошли. Можно только предполагать, что это были  этрусские слова или же выражения какого­то латинского наречия. С помощью этих цифр римляне писали числа, используя правила сложения и вычитания,  например, LX=60(50+10); XL=40(50­10); CM=900(1000­100);  MC=1100(1000+100) и т.д.  Цифры, которыми мы пользуемся в настоящее время, пришли к нам из  Индии.Европейские народы познакомились с ними благодаря арабам.  Известный математик Леонардо Пизанский первым упоминает о них в своем  основном труде “Книга Араба” изданном в 1202 году. Польша была одной из  первых стран, которая ввела у себя индийскую нумерацию ­ произошло это в  14 веке. Арифметика, основанная на индийской нумерации, преподавалась в  Польше в Краковской академии. Наши предки пользовались алфавитной  нумерацией, то есть числа изображались буквами, над которыми ставится  значок – называемый «титло». Чтобы отделить такие буквы – числа от текста,  спереди и сзади ставились точки. Этот способ обозначения цифр называется цифирью. Он был заимствован  славянами от средневековых греков – византийцев. Поэтому цифры  обозначались только теми буквами, для которых есть соответствия в  греческом алфавите. 2. Натуральные и действительные числа, актуальность их использования в  математике и других точных науках Простейшее число — это натуральное число. Их используют в  повседневной жизни для подсчета предметов, т.е. для вычисления их  количества и порядка. Что такое натуральное число: натуральными числами называют числа,  которые используются для подсчета предметов либо для указывания  порядкового номера любого предмета из всех однородных предметов. Натуральные числа ­ это числа, начиная с единицы. Они образуются  естественным образом при счёте. Например, 1,2,3,4,5... –первые  натуральные числа. Наименьшее натуральное число ­ один. Наибольшего натурального  числа не существует. При счёте число ноль не используют, поэтому ноль натуральное число.  Натуральный ряд чисел ­ это последовательность всех натуральных  чисел. Запись натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ... В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на единицу. Числа окружают человека всю его жизнь: от момента рождения и до самых  последних его дней. На ранних ступенях развития общества люди почти не  умели считать. Они различали совокупности двух и трех предметов; всякая  совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в  понятие «много». Пифагор и его ученики, последователи сократили все числа до цифр от 1 до 9  включительно, поскольку они являются исходными числами, из которых  могут быть получены все остальные. Больше всего им нравилось число 4.  Считалось, что оно – символ основательности и стабильности. Ведь есть  четыре части света, четыре стихии, четыре времени года, четыре недели в  месяце… Стол и стул имеют четыре ножки, животные имеют четыре лапы, а  дом – четыре угла, то есть все, что обеспечивает устойчивость, делится на  четыре. О непонятном часто говорили, что эта книжка «за семью печатями», знахарки  в сказках давали больному «семь узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течение семи дней и принимать  каждодневно по семь ложек». Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Названия «больших» чисел часто строились на основе числа 10 – по количеству пальцев на руках.  На первых порах расширение запаса чисел происходило медленно. Сначала  люди овладели счетом в переделах нескольких первых десятков и лишь  позднее дошли до сотни. Число 13 зачастую расценивается как самое несчастливое число, однако  людям, родившимся тринадцатого числа, всегда везет. А вот 12, наоборот,  считается самым счастливым. Это особое число. В Евангелии говорится, что у Христа было двенадцать учеников­апостолов. У многих народов число 40 долгое время было пределом счета и названием  неопределенно большого количества. В русском языке слово «сороконожка»  имеет смысл «многоножка»; выражение «сорок сороков» означало в старину  число, превосходящее всякое воображение, равное 1600. Тот же смысл имеет слово «сорок» в ряде русских пословиц и поговорок.  Также словом «сорок» в древней Руси называли большой мешок, куда  укладывались ценные вещи. Позднее, когда число «сорок» уже перестало быть граничным, оно стало  играть большую роль в русской метрологии как основа системы мер: пуд имел сорок фунтов, бочка­сороковка – сорок ведер и т.д. Большой интерес вызывает история числа 60, которое часто фигурирует в  вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большого числа.  Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел  золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же  самым значением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число 60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной  системы исчисления, следы которой сохранились до наших дней при  измерении времени и углов. На следующей ступени счет достигает нового предела: десяти десятков, и  создается название для числа 100. Вместе с тем слово «сто» приобретает  смысл неопределенно большого числа. Такой смысл оно имеет, например, в  загадке: стоит поп низок, на нем сто ризок (капуста). Такой же смысл потом  приобретают последовательно числа 1 000, 10 000, 1 000 000. Вещественное или действительное число — математическая абстракция,  возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин  окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение  корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений. Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные — из  потребности оперировать частями целого, то вещественные числа  предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом,  расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству  вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также  другие элементы, называемые иррациональными числами. Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при  помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную  точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному  числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно,  вещественное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая  обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел. Понятие вещественного числа прошло долгий путь становления. Ещё в  Древней Греции в школе Пифагора, которая в основу всего ставила целые  числа и их отношения, было открыто существование несоизмеримых величин  (несоизмеримость стороны и диагонали квадрата), то есть в современной  терминологии — чисел, не являющихся рациональными. Вслед за этим  Евдоксом Книдским была предпринята попытка построить общую теорию  числа, включавшую несоизмеримые величины. После этого, на протяжении  более двух тысяч лет, никто не ощущал необходимости в точном определении понятия вещественного числа, несмотря на постепенное расширение этого  понятия. Лишь во второй половине XIX века, когда развитие математического анализа потребовало перестройки его основ на новом, более высоком уровне  строгости, в работах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда, Г. Кантора, Э. Гейне, Ш.  Мере была создана строгая теория вещественных чисел. С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел —  суть, непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная  система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том  смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма,  непрерывное упорядоченное поле. Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — R.  При конструктивном определении понятия вещественного числа, на основе  известных математических объектов (например, множества рациональных  чисел), которые принимают заданными, строят новые объекты, которые, в  определённом смысле, отражают наше интуитивное понимание о понятии  вещественного числа. Существенным отличием между вещественными  числами и этими построенными объектами является то, что первые, в отличие от вторых, понимаются нами лишь интуитивно и пока не являются строго  определённым математическим понятием. Эти объекты и объявляют вещественными числами. Для них вводят основные  арифметические операции, определяют отношение порядка и доказывают их  свойства. Исторически первыми строгими определениями вещественного числа были  именно конструктивные определения. В 1872 году были опубликованы  одновременно три работы: теория фундаментальных последовательностей  Кантора, теория Вейерштрасса (в современном варианте — теория  бесконечных десятичных дробей) и теория сечений в области рациональных  чисел Дедекинда. Математическая модель вещественных чисел повсеместно применяется в  науке и технике для измерения непрерывно меняющихся величин. Однако это  не главное её применение, потому что реально измеренные величины всегда  имеют конечное число десятичных знаков, то есть являются рациональными  числами. Основное назначение этой модели — служить базой для  аналитических методов исследования. Огромный успех этих методов за  последние три века показал, что модель вещественных чисел в большинстве  случаев достаточно адекватно отражает структуру непрерывных физических  величин. Сказанное, конечно, не означает, что вещественная числовая прямая есть  точный образ реальной непрерывной величины. Например, современной науке  пока не известно, дискретны ли пространство и время или делимы  неограниченно; однако даже во втором случае модель вещественных чисел  для этих величин должна рассматриваться как приближённая, поскольку  понятия точки пространства и момента времени представляют собой  идеализации, не имеющие реального аналога. Этот фундаментальный вопрос  широко обсуждается в науке, начиная с апорий Зенона. Приближённой эта  модель является и в применении к величинам, которые в классической физике рассматривались как непрерывные, но в действительности оказались  дискретными. 3.Развитие рациональных и иррациональных чисел, их место в современной  математике Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде   , где a — это числитель дроби, b — знаменатель дроби. Причем b не дроби   должно быть нулём, поскольку деление на ноль не допускается. К рациональным числам относятся следующие категории чисел: целые числа (например −2, −1, 0 1, 2 и т.д.) обыкновенные дроби (например , , и т.п.) смешанные числа (например десятичные дроби (например, 0,2 и т.п.) бесконечные периодические дроби (например, 0, (3) и и т.п.) , ,      т.п.) Каждое число из этой категории может быть представлено в виде дроби   . В реальной жизни множество рациональных чисел используется для счёта  частей некоторых целых делимых объектов, например, тортов или других  продуктов, которые разрезаются на части перед употреблением, или для  грубой оценки пространственных отношений протяжённых объектов. Иррациональное числоо — это вещественное число, которое не является  рациональным, то есть которое не может быть представленным в виде  дроби  иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком  , где m — целое число, n — натуральное число. О существовании единичной длины, знали уже древние математики: им была известна,  например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно  иррациональности числа  . Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской  буквой «и» в полужирном начертании без заливки —  . Таким  образом:  множеств вещественных и рациональных чисел. , т.е. множество иррациональных чисел есть разность  Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята  индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г.  до н. э. — ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых  натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены. Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно  приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу,  который нашёл это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Во  времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины,  достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой  отрезок. Однако Гиппас обосновал, что не существует единой единицы длины, поскольку предположение о её существовании приводит к противоречию. Он  показал, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника  содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть  одновременно и четным, и нечетным.  В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в  изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667—1754) и Леонард Эйлер  (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на  алгебраические и трансцендентные (доказав при этом существование  трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по  классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были  опубликованы работы Вейерштрасса, Гейне, Кантора и Дедекинда. Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с Гейне, именно 1872 год  принято считать годом рождения теории. Вейерштрасс, Кантор и Гейне  обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как  Дедекинд работал с (ныне так называемым) Дедекиндовым сечением  множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два  множества с определёнными характеристическими свойствами. Цепные дроби, тесно связанные с иррациональными числами (цепная дробь,  представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число  является иррациональным), были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание в работах Эйлера, а в начале XIX  века — в работах Лагранжа. Дирихле также внёс значительный вклад в  развитие теории цепных дробей. π  не может быть рационально, а также  В 1761 году Ламберт показал, что  что en иррационально при любом ненулевом рациональном n. Хотя  доказательство Ламберта можно назвать незавершённым, принято считать его  достаточно строгим, особенно учитывая время его написания. Лежандр в 1794 году, после введения функции Бесселя­Клиффорда, показал, что  π иррационально, откуда иррациональность   следует тривиально  (рациональное число в квадрате дало бы рациональное). Существование  трансцендентных чисел было доказано Лиувиллем в 1844—1851 годах. Позже  Георг Кантор (1873) показал их существование, используя другой метод, и  обосновал, что любой интервал вещественного ряда содержит бесконечно  много трансцендентных чисел. Шарль Эрмит доказал в 1873 году, что e  трансцендентно, а Фердинанд и Линдеманн в 1882 года, основываясь на этом  π . Доказательство Линдеманна было  результате, показали трансцендентность  затем упрощено Вейерштрассом в 1885 году, ещё более упрощено Давидом  Гильбертом в 1893 году и, наконец, доведено до почти элементарного  Адольфом Гурвицем и Паулем Горданом. ² π 4.Практическое применение чисел при решении задач и написании  единого государственного экзамена    Структура базового ЕГЭ по математике; Базовый уровень ЕГЭ по математике ­ упрощенный вариант экзамена,  предназначенный для тех учеников, чье дальнейшее обучение не будет  напрямую связанно с математикой. Если в выбранном вами вузе при  вступлении не требуется сдавать ЕГЭ по математике, то вы смело можете  выбрать этот предмет. Структура базового ЕГЭ по математике, следующая: 20 заданий в формате  открытого теста (задачи могут быть как с вариантами ответов, так и без).  Ответ в каждом задании является или числом, или конечной десятичной  дробью, или последовательностью чисел. Основные темы заданий: счет,  линейные и квадратные уравнения, тригонометрия, геометрия базового  уровня, теория вероятности, производные, прогрессии, признаки делимости,  свойства чисел и прочее. Набор в общем соответствует и профильному  уровню, с тем лишь отличием, что задачи на порядок проще, чем в более  сложном варианте экзамена. Для решения задач базового уровня будет  достаточно знаний основных понятий каждой темы. Минимальный балл для  успешного прохождения ­ 7 заданий. Преобразование числовых рациональных выражений; Упорядоченность. Для всяких рациональных чисел a и b есть правило,  которое позволяет однозначно идентифицировать между ними 1­но и только  одно из 3­х отношений: «<», «>» либо «=». Это правило ­ правило  упорядочения и формулируют его вот так:  2 положительных числа a=ma/na и b=mb/nb связаны тем же отношением,  что и 2 целых числа ma⋅nb и mb⋅na;  2 отрицательных числа a и b связаны одним отношением, что и 2  положительных числа |b| и |a|;  когда a положительно, а b — отрицательно, то a> b.  Операция сложения. Для всех рациональных чисел a и b есть правило  суммирования, которое ставит им в соответствие определенное  рациональное число c. При этом само число c –это сумма чисел a и b и  ее обозначают как (a+b), а процесс нахождения этого числа  называют суммирование.  Правило суммирования выглядит так:  ma/na+mb/nb=(ma⋅nb+mb⋅na)/(na⋅nb).  ∀a,b∈Q ∃!(a+b)∈Q Операция умножения. Для всяких рациональных чисел a и b есть правило  умножения, оно ставит им в соответствие определенное рациональное число c. Число c называют произведением чисел a и b и обозначают (a⋅b), а процесс  нахождения этого числа называют умножение. Правило умножения выглядит так: mana⋅mbnb=ma⋅mbna⋅nb. ∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q Транзитивность отношения порядка. Для любых трех рациональных  чисел a, b и c если a меньше b и b меньше c, то a меньше c, а  если a равно b и b равно c, то a равно c. ∀a,b,c∈Q (a∧b⇒a∧(a = b∧b = c ⇒ a = c)     Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых  сумма не изменяется. ∀a,b∈Q  a+b=b+a      Ассоциативность сложения. Порядок сложения 3­х рациональных чисел не  оказывает влияния на результат. ∀a,b,c∈Q  (a+b)+c=a+(b+c)      Наличие нуля. Есть рациональное число 0, оно сохраняет всякое другое  рациональное число при складывании. ∃0∈Q ∀a∈Q  a+0=a      Наличие противоположных чисел. У любого рационального числа есть  противоположное рациональное число, при их сложении получается 0. ∀a∈Q ∃(−a)∈Q  a+(−a)=0      Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных  множителей произведение не изменяется. ∀a,b∈Q  a⋅b=b⋅a      Ассоциативность умножения. Порядок перемножения 3­х рациональных  чисел не имеет влияния на итог. ∀a,b,c∈Q  (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)     Наличие единицы. Есть рациональное число 1, оно сохраняет всякое другое  рациональное число в процессе умножения. ∃1∈Q ∀a∈Q  a⋅1=a      Наличие обратных чисел. Всякое рациональное число, отличное от нуля  имеет обратное рациональное число, умножив на которое получим 1. ∀a∈Q ∃a−1∈Q  a⋅a−1=1     Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция  умножения связана со сложением при помощи распределительного закона: ∀a,b,c∈Q  (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c       Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям  рационального неравенства прибавляют одно и то же рациональное число. ∀a,b,c∈Q  a⇒a+c Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части  рационального неравенства можно умножить на одинаковое неотрицательное  рациональное число. ∀a,b,c∈Q  c>0∧a⇒a⋅c⋅c       Аксиома Архимеда. Каким бы ни было рациональное число a, легко взять  столько единиц, что их сумма будет больше a. (+19) + (+23) = 42; (­16) + (­307) = ­ 323. (+107) + (­56) = 51; (­23,6) + 7,5 = ­16,1.     (­3,24) + (+3,24) = 0. (+35) + 0 =+35; 0 + (­97) = 35 Преобразование числовых иррациональных выражений;  В отличие от чисел, записанных бесконечной десятичной дробью, только  иррациональные числа записываются непериодическими бесконечными  десятичными дробями. • Сумма двух неотрицательных иррациональных чисел в итоге может быть  рациональным числом. • Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения в множестве  рациональных чисел, в нижнем классе у которых нет самого большого числа, а в верхнем нет меньшего. • Любое вещественное трансцендентное число является иррациональным. • Все иррациональные числа являются либо алгебраическими, либо  трансцендентными. • Множество иррациональных чисел на прямой располагаются плотно, и  между его любыми двумя числами обязательно найдется иррациональное  число. • Множество иррациональных чисел бесконечно, несчетно и является  множеством 2­й категории. • При выполнении любой арифметической операции с рациональными  числами, кроме деления на 0, его результатом будет рациональное число. • При сложении рационального числа с иррациональным, в результате всегда  получается иррациональное число. • При сложении иррациональных чисел в результате мы можем получить  рациональное число. • Множество иррациональных чисел не есть четным. Примеры иррациональных чисел; Например, бесконечная непериодическая десятичная  дробь 4,10110011100011110000… (количество единиц и нулей каждый раз  увеличивается на одну) является иррациональным числом. Приведем еще  пример иррационального числа: −22,353335333335… (число троек,  разделяющих восьмерки, каждый раз увеличивается на две). Например,   в   уравнении √x+2=3  присутствует   квадратный   корень.   А квадратный   корень   не   имеет   смысла,   если   подкоренное   выражение отрицательно.   То   есть,   в   данном   случае   ОДЗ   –   это   решения неравенства x+2≥0. Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень. Взять, например, такую задачу: √x2+3x>2. При   возведении   в   квадрат   получаем  выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?  x2+3x>4 ,   то   есть   подкоренное Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример просто найдя ОДЗ. Например: √2x−6>−2. Но ведь мы помним, что квадратный корень всегда неотрицателен. Поэтому он всегда будет больше −2. Значит, решением задачи будет ОДЗ: 2x−6≥0 ⇔ x≥3 Ответ: [3;+∞) Задания; 1.√x2−x+2>√x+1 √x2−x+2>√x+1 ⇔ {x2−x+2>x+1x+1≥0 ⇔ {x2−2x+1>0x≥−1⇔ ⇔ {(x−1)2>0x≥−1 ⇔  {x≠1x≥−1 ⇔ x∈[−1;1)∪(1;+∞) 2. √2x2−6x−17≥√x−2 √2x2−6x−17≥√x−2 ⇔ {2x2−6x−17≥x−2x−2≥0 ⇔ ⇔ {2x2−7x−15≥0x≥2 ⇔ ⎩⎨⎧2(x−5)(x+23)≥0x≥2 x≥5. 3. √2x2−x−5≤√3x2−6x+1 √2x2−x−5≤√3x2−6x+1 ⇔ {3x2−6x+1≥2x2−x−52x2−x−6≥0 ⇔ ⇔ ⎩⎨⎧(x−6)(x−1)≥02(x−2)(x+23)≥0 x∈ (−∞; −3/2]∪[6; +∞) Заключение Число является одним из основных понятий математики, оно  зародилось в глубокой древности. Понятие числа развивалось в тесной  связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Любопытно отметить, что у многих народов для обозначения числа 1 применялся один и тот же символ ­ вертикальная чёрточка. Это самое  древнее число в истории человечества. Оно возникло из простой черты  на земле, из зарубки на дереве или кости. Около 3 ­ 2,5 тыс. лет до новой эры древние египтяне придумали  свою числовую систему. В ней ключевые числа: 1, 10, 100 и т. д. ­  изображались специальными значками ­ иероглифами. Египтяне высекали их на стенах погребальных камер, писали тростниковым пером  на свитках папируса. Величина числа, записанного в иероглифической системе, не  зависит от того, в каком порядке расположены составляющие его знаки.  Даже если записать их справа налево, один под другим или вперемешку ­ число от этого не изменится. В результате упрощений и стилизаций от иероглифов позднее  произошли условные знаки, облегчающие письмо от руки. Они легли в  основу так называемого иератического письма (от греч. "иератикос" ­  "священный"). Эту систему записи чисел можно обнаружить в более  поздних египетских папирусах. С развитием алгебры, уже при решении линейных уравнений с  одним неизвестным, возникает необходимость в отрицательных числах.  Еще до нашей эры их стали употреблять китайские математики. Широко использовали отрицательные числа и индийские математики  (Брахмагупта, VII в.). Замечательным достижением индийских  математиков было введение понятия нуля и знака для него, что  позволило им создать десятичную систему записи натуральных чисел и  разработать правила операций над записанными так числами. Эту запись  чисел стали применять математики многих восточных стран, откуда она  попала в Европу. В XV в. самаркандский ученый ал Каши ввел десятичные дроби.  Это нововведение оставалось неизвестным европейским математикам. Постепенно складывалось представление о бесконечности  множества натуральных чисел. В 3веке до н.э. Архимед разработал  систему обозначения чисел вплоть до такого громадного числа, как  10^8000. Наряду с натуральными числами применяли дроби­числа,  составленные из целого числа долей единицы. Множества натуральных  чисел и дробей было достаточно, чтобы выразить результат любого  измерения. Долгое время полагали, что результат измерения всегда  выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения двух  таких чисел, т.е. дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что "элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в целом является гармонией и числом". К настоящему времени существует семь общепринятых уровней  обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные,  комплексные, векторные, матричные и трансфинитные числа.  Отдельными учеными предлагается считать функции функциональными  числами и расширить степень обобщения чисел до двенадцати уровней. Современная наука встречается с величинами такой сложной  природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды  чисел. При введении новых чисел большое значение имеют два  обстоятельства: ­ правила действий над ними должны быть полностью определены и не вели к противоречиям; ­ новые системы чисел должны способствовать или решению новых  задач, или усовершенствовать уже известные решения. Список используемой литературы 1. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел.– М.:  Просвещение, 1975 г. 2. Андронов И.К., Окунев А.К. Арифметика рациональных чисел. – М.:  Просвещение, 1971 г. 3. Архангельская В.М. Элементарная теория чисел: учебное пособие.  Издательство саратовского университета, 1962 г. 4. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.:Физмат,  1963г. 5. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. ­ Москва:  Государственное издательство физико­математической литературы,  1960 г. ­ 368 с. 6. Гейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. ­ М.:  Просвещение, 1981. ­ 239 с. 7. Клюйков С.Ф. Числа и познание мира. ­ Мариуполь: Полиграфический  центр газеты «ИнформМеню». 1997г. ­ 112 с. 8. Крутецкий Р.О., Фадеев Д.К. Алгебра и арифметика комплексных  чисел: Пособие для учителей средних школ. – Л.: Учпедгиз,  ленинградское отделение, 1939 г. 9. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л.Математика: Учеб.пособие для  техникумов. 10.Рывкин А.А., Рывкин А.З., Хренов Л.С. Справочник по математике для  техникумов. 3­е издание. ­ Москва, «Высшая школа», 1975г. ­ 554 с.