Квадратные уравнения

Инструкция по работе с презентацией

1.Внимательно изучаете теорию (есть теория на повторение), примеры.
2.Задания- Реши самостоятельно- решаете в тетради!
3. Тест «Квадратные уравнения»- выполняете в тетради!
4.У кого останутся вопросы после изучения презентации можно прочитать учебник, это параграфы 28-29, либо найти видео уроки по данным темам(Ещё одна формула корней квадратного уравнения, Теорема Виета).
5.В тетради выполняете номера-параграф 28 №№1-5(полностью: а,б,в,г), №7
Параграф 29- №№ 2,3,4,6,7,8 (полностью: а,б,в,г).
Всем желаю успеха! По всем вопросам ко мне можно обращаться в социальных сетях! Всем отвечу! Вероника Викторовна.

22.11.2020

2

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где x – переменная, а a,b и c -некоторые числа, причем a ≠ 0.
Число a называют первым или старшим коэффициентом,
число b называют вторым  коэффициентом,
число c называется свободным членом.

22.11.2020

3

Пример

Реши сам

Пример.

Назовите в квадратном уравнении коэффициенты:
а) 5х2-9х+4=0.
б) -х2+5х=0.

Решение:
а) a=5, b=-9, c=4.
б) a=-1, b=5, c=0.

Реши самостоятельно.

Назовите в квадратном уравнении коэффициенты:
а) х2+3х-10=0.
б) 6х2-30=0.
в) 9х2=0.

Полным квадратным уравнением называют такое, все коэффициенты которого отличны от нуля.
Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице.
x2+px+q=0;
Неполным квадратным уравнением называется такое, в котором хотя бы один из коэффициентов кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю.

 ax2 + bx + c = 0, (a, b, c ≠0)
Число D = b2 − 4ac - дискриминант.
По знаку дискриминанта можно определить,
сколько корней имеет квадратное уравнение.
Если D < 0, корней нет;
если D = 0, один корень (2 одинаковых корня);
если D > 0, два корня.

Пример

Реши сам

Сколько корней имеют квадратные уравнения:
1) x2 − 8x + 12 = 0;
2) 5x2 + 3x + 7 = 0;
3) x2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты и найдем дискриминант:1) x2 − 8x + 12 = 0;
a = 1, b = −8, c = 12;D = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16
D>0, поэтому уравнение имеет два различных
корня. 

2) 5x2 + 3x + 7 = 0;
a = 5; b = 3; c = 7;D = 32 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.
D<0, корней нет.

3) x2 − 6x + 9 = 0.
a = 1; b = −6; c = 9;D = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.
D=0 — один корень.

Реши самостоятельно.

Сколько корней имеют квадратные уравнения:
1) 2x2 + 3x + 1 = 0;
2) 9x2 + 6x + 1 = 0;
3) 3x2 +x + 2 = 0.
4) x2 + 5x -6 = 0;

Когда D > 0, корни можно найти по формулам:


Когда D = 0, можно найти по формуле


Когда D < 0, корней нет.

Пример

Реши сам

Пример

Решить квадратные уравнения:
2x2 − x − 5 = 0;
15 − 2x + x2 = 0;
3) x2 + 12x + 36 = 0.

Решение

1) 2x2 − x − 5 = 0; : a = 2; b = −1; c = −5;D = (−1)2 − 4 · 2 · (−5) = 41.
D > 0 - уравнение имеет два корня. Найдем их:

2) 15 − 2x + x2 = 0 
a = 1; b = −2; c = 15;D = (−2)2 − 4 · 1 · 15 = -56.
D < 0 , корней нет.
3) x2 + 12x + 36 = 0
a = 1; b = 12; c = 36;D = 122 − 4 · 1 · 36 = 0.
D = 0 , уравнение имеет один корень.

Реши самостоятельно.

Решить квадратные уравнения:
3x2 − 7x +4 = 0;
-y2 +3y -5  = 0;
3) 1-18p+81p2 = 0.

Формула корней квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Для уравнений вида ax2+2kx+c=0, то есть при чётном b , где   для нахождения корней можно
использовать выражение

пример

Реши сам

Пример

Решить квадратные уравнения:
3x2 − 14x +16 = 0;
x2 + 2x  − 80    = 0;
3) y2 - 10y -25 = 0.

Решение

3x2 − 14x +16 = 0; 
a = 3; b = −14; c = 16;k=-7.
D1 = (−7)2 − 3 · 16 = 1.
D1 > 0 - уравнение имеет два корня. Найдем их:

2) x2 + 2x  − 80    = 0
a = 1; b = 2; c = -80;k=1.
D1 = 12 −  1 · (-80) = 81.
D1 > 0 , 2 корня.



3) y2 - 10y +25 = 0.
a = 1; b = -10; c = 25;k=-5
D1 = (-5)2 −1 · 25 = 0.
D = 0 , уравнение имеет один корень.

Реши самостоятельно.

Решить квадратные уравнения:
8x2 − 14x +5 = 0;
4y2 +14y +1  = 0;
3) 80+32t+3t2 = 0.

Приведённые квадратные уравнения

Пусть дано приведенное квадратное
уравнение x2 +px +q = 0, тогда
D= p2 -4q


Также приведенное квадратное уравнение
можно решить при помощи теоремы Виета.

Пример

Реши сам

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 +bx +c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену .

Решить приведенное квадратное уравнение:
x2 -8x +12 = 0


Удобнее начинать подбор корней с произведения:
произведение корней положительное число, значит оба корня одинакового знака, а так как сумма тоже больше
нуля, то оба корня будут положительными.

Реши самостоятельно.

Найдите корни уравнения, используя теорему Виета.
x2 -15x -16 = 0

x2 -9x +20 = 0

x2 +x -56 = 0

ТЕСТ «КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

1. Какие из данных уравнений являются квадратными:
1)5х2-14х+17=0 2)-7х2-13х+8=0
3)-13х2+х3-1=0 4)17х+24=0?
Ответы:
А. Только 1; Б. 1) и 2); В. Только 3
Г. 1), 2) и 3); Д. 4) и 2)

2.Запишите квадратное уравнение, если его коэффициенты: а=2, b=3, с=4.
А. 3х2+2х+4=0;
Б. 4х2+2х+3=0;
В. 2х2+3х+4=0.
3. Не решая, определите, сколько корней имеет уравнение 2х2+5х-7=0?
А. Нет корней;
Б. Два корня ;
В. Один корень.
4.Найдите сумму и произведение корней уравнения х2-х-2=0.
А. 2 и -1;
Б. -2 и -1;
В. 1 и -2.

5.Запишите приведенное квадратное уравнение, имеющие кони 3 и -1.
А. х2-3х-2=0; Б. х2+3х-2=0; В. х2-2х-3=0
6. Корнями уравнения 2х2-50=0 являются числа:
А. 5 и -5
Б. 0 и 5
В. 2 и 25
7. Уравнение 3х2-6х=0 верно при х равном:
А. 2 и 3
Б. -2 и 0
В. 2 и 0
8. Решите квадратное уравнение 7х2-х-8=0.
9. Найдите корни уравнения, используя теорему Виета х2-5х+6=0.
10. Решите уравнение 3х2-2х-16=0.

Проверь себя