В этой статье вы узнаете
• Как решать квадратные уравнения?
• Сколько существует способов решения квадратных уравнений?
• Какие квадратные уравнения с параметром могут попасться на ОГЭ и ЕГЭ?
Числа a, b и c называются коэффициентами уравнения. Выражение:
a𝑥2+bx+c, в котором a≠0, называется квадратным трехчленом.
Если
D>0, то уравнение имеет два корня: ;
•
![]() |
• Если D<0, не имеет корней: x∈∅.
Примеры
1. 𝑥2-5x-6=0
D=𝑏2 − 4𝑎𝑐=(−5)2 − 4 ∗ 1 ∗ (−6) = 25 + 24 = 49
Ответ: -1;6
2. 𝑥2-12x+36=0
Ответ: 6
3. 𝑥2-10x+26=0
D=𝑏2 − 4𝑎𝑐=(−10)2 − 4 ∗ 1 ∗ 26 = 100 − 104 =−4
Ответ: нет корней
Теорема Виета
Оказывается, корни квадратного уравнения связаны с его коэффициентами весьма простыми соотношениями.
−𝑏
𝑥1+𝑥2
=
{ 𝑐𝑎 𝑥1∗𝑥2
=
Пример
1. 𝑥2-3x+2=0 2. 2𝑥2-5x+3=0
1 2 1 2
𝑥1 = 1; 𝑥2 = 2 𝑥1 = 1; 𝑥2 = 1,5
Ответ: 1;2 Ответ: 1;1,5
a𝑥2+bx+c=0
1. Если a+b+c=0, то 2. Если a+c=b, то
1. 2𝑥2-5x+3=0 2-5+3=0, значит: 𝑥1 = 1,𝑥2 = 1,5 |
2. 𝑥2+3x+2=0 1+2=3, значит: 𝑥1 = −1,𝑥2 = −1,5 |
Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b и c равны 0.
Если b = 0, то уравнение имеет вид: a𝑥2+c=0:
𝒙𝟐-4=0 4 способа решения:
1. 𝑥2-4=0 𝑥2=4 |
3. 𝑥2-4=0 D=02 − 4 ∗ 1 ∗ (−4) = |
𝑥1=2
|
𝑥2=-2 |
𝑥1 = 2
𝑥2 = −2
2. 𝑥2-4=0
(x-2)(x+2)=0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. x-2=0 или x+2=0
Если с = 0, то уравнение имеет вид: a𝑥2+bx=0:
𝒙𝟐-4x=0
3 способа решения:
1. 𝑥2-4x=0 x(x-4)=0
Вынесем общий множитель за скобки
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. x=0 или x-4=0
𝑥1=0 𝑥2=4
2. 𝑥2-4x=0
D=(−4)2 − 4 ∗ 1 ∗ 0 = 16
3.
{𝑥1 + 𝑥2 = 4
𝑥1 ∗ 𝑥2 = 0 𝑥1 = 0; 𝑥2 = 4
a𝑥2+bx+c=𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
Задание: Найдите все значения параметра 𝒂 при каждом из которых уравнение (𝒂 − 𝟑)𝒙𝟐 − 𝟐𝒂𝒙 − 𝟏 = 𝟎 имеет ровно один корень.
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.