Квадратный корень

Арифметический квадратный корень
Свойства арифметического квадратного корня
Преобразования выражений, содержащих арифметический квадратный корень
Решение иррациональных уравнений

Арифметический квадратный корень

Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а.
Обозначение: знак называют знаком квадратного корня
(радикалом)

В «Геометрии» (1637) Декарт впервые ввел понятие независимой переменной,функции; ввел общепринятые теперь обозначения искомых величин: x, y, z…, постоянных буквенных коэффициентов: a, в, с…, обозначение степени и современный знак радикала.
В аналитической геометрии Декарт создал метод прямолинейных координат, установил связь между линиями на плоскости и алгебраическими уравнениями с двумя неизвестными.
Декарт разработал общий геометрический способ решения уравнений 3, 4, 5, 6 степеней.

Запись а а а а читают: «квадратный корень из а»

Выражение, стоящее под радикалом, называют подкоренным выражением.

Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Значит: если а а а а = в и в ≥ 0, то в²= а.

Действие извлечения арифметического квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня.
Оно является обратным к действию возведения числа в квадрат.

𝟗 𝟗 𝟗𝟗 𝟗 = 3, т.к. 3≥0 и 3² = 9
𝟐𝟓 𝟐𝟓 𝟐𝟐𝟓𝟓 𝟐𝟓 = 5, т.к. 5≥0 и 5² = 25
𝟐𝟓 𝟒 𝟐𝟓 𝟒 𝟐𝟓 𝟒 𝟐𝟐𝟓𝟓 𝟐𝟓 𝟒 𝟒𝟒 𝟐𝟓 𝟒 𝟐𝟓 𝟒 = 𝟓 𝟐 𝟓𝟓 𝟓 𝟐 𝟐𝟐 𝟓 𝟐 , 5 2 5 5 2 2 5 2 ≥ 0 и 5 2 2 5 2 5 2 5 5 2 2 5 2 5 2 5 2 2 2 5 2 2 = 25 4 25 25 4 4 25 4

0 0 0 0 = ?
144 144 144 144 =
361 361 361 361 =
961 961 961 961 =
101 101 101 101 =

Если натуральное число n не является квадратом натурального числа, то число 𝐧 𝐧 𝐧𝐧 𝐧 иррациональное.
Например: 3 3 3 3 ; 10 10 10 10 ; 485 485 485 485

1). Подкоренное выражение может принимать только неотрицательные значения. (т.е. из отрицательного числа не существует)
2). арифметический а а а а ≥ 0
3). а 𝟐 а а а а а а а 𝟐 𝟐𝟐 а 𝟐 = а

Читаем: стр.97
Пример 5 (1).

Свойства арифметического квадратного корня

Для любых действительных чисел:
1). а 𝟐 а 𝟐 а 𝟐 а а 𝟐 𝟐𝟐 а 𝟐 а 𝟐 = |а| 2). а 𝟐𝒏 а 𝟐𝒏 а 𝟐𝒏 а а 𝟐𝒏 𝟐𝟐𝒏𝒏 а 𝟐𝒏 а 𝟐𝒏 = | 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏 |
3). а∙в а∙в а∙в а∙в = а а а а ∙ в в в в , где а ≥ 0 и в ≥ 0
авс авс авс авс = а а а а ∙ в в в в ∙ с с с с , ????
4). а в а в а в а а в в а в а в = а в а а а а а в в в в в а в , где а ≥ 0 и в > 0

2). 𝟎,𝟖𝟏∙𝟐𝟐𝟓 𝟎,𝟖𝟏∙𝟐𝟐𝟓 𝟎𝟎,𝟖𝟖𝟏𝟏∙𝟐𝟐𝟐𝟐𝟓𝟓 𝟎,𝟖𝟏∙𝟐𝟐𝟓 = 𝟎,𝟖𝟏 𝟎,𝟖𝟏 𝟎𝟎,𝟖𝟖𝟏𝟏 𝟎,𝟖𝟏 ∙ 𝟐𝟐𝟓 𝟐𝟐𝟓 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟓𝟓 𝟐𝟐𝟓 =
= 0,9 ∙15= 13,5
𝟐𝟓∙𝟔𝟒∙𝟎,𝟑𝟔 𝟐𝟓∙𝟔𝟒∙𝟎,𝟑𝟔 𝟐𝟐𝟓𝟓∙𝟔𝟔𝟒𝟒∙𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟔𝟔 𝟐𝟓∙𝟔𝟒∙𝟎,𝟑𝟔 = 25 25 25 25 ∙ 64 64 64 64 ∙ 0,36 0,36 0,36 0,36 =
= 5 ∙8 ∙0,6 = 40 ∙0,6 = ???
Найдите значение выражения: 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟏𝟖𝟖 𝟏𝟖 ∙ 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 =

3). 𝟏𝟔 𝟒𝟗 𝟏𝟔 𝟒𝟗 𝟏𝟔 𝟒𝟗 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟔 𝟒𝟗 𝟒𝟒𝟗𝟗 𝟏𝟔 𝟒𝟗 𝟏𝟔 𝟒𝟗 = 𝟏𝟔 𝟒𝟗 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟒𝟗 𝟒𝟗 𝟒𝟗 𝟒𝟒𝟗𝟗 𝟒𝟗 𝟏𝟔 𝟒𝟗 = 𝟒 𝟕 𝟒𝟒 𝟒 𝟕 𝟕𝟕 𝟒 𝟕
𝟖𝟏 𝟐𝟓𝟔 𝟖𝟏 𝟐𝟓𝟔 𝟖𝟏 𝟐𝟓𝟔 𝟖𝟖𝟏𝟏 𝟖𝟏 𝟐𝟓𝟔 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟔𝟔 𝟖𝟏 𝟐𝟓𝟔 𝟖𝟏 𝟐𝟓𝟔 = 𝟖𝟏 𝟐𝟓𝟔 𝟖𝟏 𝟖𝟏 𝟖𝟖𝟏𝟏 𝟖𝟏 𝟖𝟏 𝟐𝟓𝟔 𝟐𝟓𝟔 𝟐𝟓𝟔 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟔𝟔 𝟐𝟓𝟔 𝟖𝟏 𝟐𝟓𝟔 = ???
Найдите значение выражения: 24 150 24 24 24 24 24 150 150 150 150 150 24 150 = 𝟒 𝟏𝟓𝟎 𝟒 𝟏𝟓𝟎 𝟒 𝟏𝟓𝟎 𝟒𝟒 𝟒 𝟏𝟓𝟎 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎 𝟒 𝟏𝟓𝟎 𝟒 𝟏𝟓𝟎 = ???

Работаем по учебнику:
стр. №

Преобразования выражений, содержащих  арифметический  квадратный корень

Чтобы множитель вынести из-под знака корня надо представить подкоренное выражение в виде произведения, и воспользоваться свойством квадратного корня из произведения.

Т.е. используя свойство а∙в а∙в а∙в а∙в = а а а а ∙ в в в в , где а ≥ 0 и в ≥ 0 можем преобразовать 𝟒𝟖 𝟒𝟖 𝟒𝟒𝟖𝟖 𝟒𝟖 .
𝟒𝟖 𝟒𝟖 𝟒𝟒𝟖𝟖 𝟒𝟖 = 𝟑∙𝟏𝟔 𝟑∙𝟏𝟔 𝟑𝟑∙𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟑∙𝟏𝟔 = 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 ∙ 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟔 = 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 ∙ 4 = 4 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑

Вынесите множитель из-под знака корня:
1). 𝟏𝟓𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎 =
2). 𝟕𝟐 а 𝟖 𝟕𝟐 а 𝟖 𝟕𝟕𝟐𝟐 а 𝟖 а а 𝟖 𝟖𝟖 а 𝟖 𝟕𝟐 а 𝟖 =
3). а 𝟐 в 𝟑 а 𝟐 в 𝟑 а 𝟐 а а 𝟐 𝟐𝟐 а 𝟐 в 𝟑 в в 𝟑 𝟑𝟑 в 𝟑 а 𝟐 в 𝟑 =
4). в 𝟑𝟓 в 𝟑𝟓 в 𝟑𝟓 в в 𝟑𝟓 𝟑𝟑𝟓𝟓 в 𝟑𝟓 в 𝟑𝟓 =

Чтобы внести множитель под знак корня надо представить произведение в виде арифметического квадратного корня, и воспользоваться свойством квадратного корня из произведения.

Т.е. используя свойство а∙в а∙в а∙в а∙в = а а а а ∙ в в в в , где а ≥ 0 и в ≥ 0 можем наоборот внести множитель под корень:
4 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 = 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟔 ∙ 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 = 𝟏𝟔∙𝟑 𝟏𝟔∙𝟑 𝟏𝟏𝟔𝟔∙𝟑𝟑 𝟏𝟔∙𝟑 = 𝟒𝟖 𝟒𝟖 𝟒𝟒𝟖𝟖 𝟒𝟖

Внесите множитель под знак корня:
1). а 𝟕 𝟕 𝟕𝟕 𝟕 =
2). с с 𝟕 с 𝟕 с 𝟕 с с 𝟕 𝟕𝟕 с 𝟕 с 𝟕 =
3). −𝟐𝟐 𝟕 𝟕 𝟕𝟕 𝟕 =
4). 𝟖𝟖 а 𝟖 а 𝟖 а 𝟖 а а 𝟖 𝟖𝟖 а 𝟖 а 𝟖 =

- это означает что надо преобразовать дробь так, чтобы её знаменатель не содержал квадратного корня.

Освободится от иррациональности в знаменателе дроби:
1). 𝟏𝟓 𝟐 𝟑 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟏𝟓 𝟐 𝟑 𝟐𝟐 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟏𝟓 𝟐 𝟑 =
2). 𝟏𝟒 𝟓 𝟐 −𝟏 𝟏𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟒 𝟓 𝟐 −𝟏 𝟓𝟓 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 −𝟏𝟏 𝟏𝟒 𝟓 𝟐 −𝟏 =

Работаем по учебнику стр. №

Уравнение называется иррациональным, если оно содержит неизвестную по знаком корня.
Например:

Одним из способов решения иррациональных уравнений является возведение в степень обоих частей уравнения.
Но при возведении в чётную степень могут появится посторонние корни, поэтому обязательно надо: - найти ОДЗ
- или сделать проверку корней

𝟏𝟏). 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 х х х х - 3 = 0
Решение.

𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 х х х х = 3
х х х х = 6
х х х х х х ² = (6)²
х = 36
Ответ: 36

2). 𝟏+ х+𝟐 𝟏+ х+𝟐 𝟏𝟏+ х+𝟐 х+𝟐 х+𝟐𝟐 х+𝟐 𝟏+ х+𝟐 = 2
Решение.
𝟏+ х+𝟐 𝟏+ х+𝟐 𝟏+ х+𝟐 𝟏𝟏+ х+𝟐 х+𝟐 х+𝟐𝟐 х+𝟐 𝟏+ х+𝟐 𝟏+ х+𝟐 ² = (2)²
𝟏𝟏+ х+𝟐 х+𝟐 х+𝟐𝟐 х+𝟐 = 4
х+𝟐 х+𝟐 х+𝟐𝟐 х+𝟐 = 3
х+𝟐 𝟐 х+𝟐 х+𝟐 х+𝟐 х+𝟐𝟐 х+𝟐 х+𝟐 х+𝟐 𝟐 𝟐𝟐 х+𝟐 𝟐 = (3)²
х + 2 = 9; х = 7

(стр. 97)

|∙2

(стр. 97)

Работаем по учебнику стр. №

Надпись/https://p.calameoassets.com/170423095729-6c5a0a38afba0f6fec49dd2e27441eb6/p1.jpg
Картинка на титульном листе/https://img2.freepng.ru/20180421/pye/kisspng-crazy-school-di-poluzzi-andrea-cartoleria-vicino-cluster-clipart-5adb9768094223.8416007915243405840379.jpg
Картинка/http://s3.photopeach.com/images/farm5/l/r/a/rasgo04/6022020dfb70d763b474b6b01de49ffe.jpg
А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Алгебра: 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Вентана-Граф, 2018
А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М. Рабинович и др.: Алгебра : 8 класс: самостоятельные и контрольные работы: пособие для учащихся общеобразовательных организаций / – М.: Вентана-Граф, 2017
А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М. Рабинович, М.С. Якир.: Алгебра : 8 класс: дидактический материал: пособие для учащихся общеобразовательных организаций / – М.: Вентана-Граф, 2016 
Девиз/

http://открытыйурок.рф/статьи/632179/presentation/img1.JPGhttp://открытыйурок.рф/статьи/632179/presentation/img1.JPG