Лабораторная работа №2 по теме «Алгебра логики. Основные логические операции»

Лабораторная работа №2 по теме «Алгебра логики. Основные логические операции»

Цель:

1.      развитие логического и алгоритмического мышления, памяти, внимательности

2.      получить представление о том, как в компьютере при помощи логических элементов выполняются арифметические и логические операции.

3.      развитие познавательного интереса

Основные понятия

Алгебра логики (булева алгебра) – это раздел математики, возникший в XIX веке благодаря усилиям английского математика Дж. Буля. Поначалу булева алгебра не имела никакого практического значения. Однако уже в XX веке ее положения нашли применение в описании функционирования и разработке различных электронных схем. Законы и аппарат алгебры логики стал использоваться при проектировании различных частей компьютеров (память, процессор). Хотя это не единственная сфера применения данной науки.

Что же собой представляет алгебра логики? Во-первых, она изучает методы установления истинности или ложности сложных логических высказываний с помощью алгебраических методов. Во-вторых, булева алгебра делает это таким образом, что сложное логическое высказывание описывается функцией, результатом вычисления которой может быть либо истина, либо ложь (1, либо 0). При этом аргументы функции (простые высказывания) также могут иметь только два значения: 0, либо 1.

Что такое простое логическое высказывание? Это фразы типа «два больше одного», «5.8 является целым числом». В первом случае мы имеем истину, а во втором ложь. Алгебра логики не касается сути этих высказываний. Если кто-то решит, что высказывание «Земля квадратная» истинно, то алгебра логики это примет как факт. Дело в том, что булева алгебра занимается вычислениями результата сложных логических высказываний на основе заранее известных значений простых высказываний.

Логические операции. Дизъюнкция, конъюнкция и отрицание

Так как же связываются между собой простые логические высказывания, образуя сложные? В естественном языке мы используем различные союзы и другие части речи. Например, «и», «или», «либо», «не», «если», «то», «тогда». Пример сложных высказываний: «у него есть знания и навыки», «она приедет во вторник, либо в среду», «я буду играть тогда, когда сделаю уроки», «5 не равно 6».

Логический элемент компьютера – это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

Как мы решаем, что нам сказали правду или нет? Как-то логически, даже где-то неосознанно, исходя из предыдущего жизненного опыта, мы понимает, что правда при союзе «и» наступает в случае правдивости обоих простых высказываний. Стоит одному стать ложью и все сложное высказывание будет лживо. А вот, при связке «либо» должно быть правдой только одно простое высказывание, и тогда все выражение станет истинным.

Булева алгебра переложила этот жизненный опыт на аппарат математики, формализовала его, ввела жесткие правила получения однозначного результата. Союзы стали называться здесь логическими операторами.

              Алгебра логики предусматривает множество логических операций. Однако три из них заслуживают особого внимания, т.к. с их помощью можно описать все остальные, и, следовательно, использовать меньше разнообразных устройств при конструировании схем.

             Такими операциями являются конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ) и отрицание (НЕ). Часто конъюнкцию обозначают &, дизъюнкцию - ||, а отрицание - чертой над переменной, обозначающей высказывание.

             При конъюнкции истина сложного выражения возникает лишь в случае истинности всех простых выражений, из которых состоит сложное. Во всех остальных случаях сложное выражение будет ложно.

             При дизъюнкции истина сложного выражения наступает при истинности хотя бы одного входящего в него простого выражения или двух сразу. Бывает, что сложное выражение состоит более, чем из двух простых. В этом случае достаточно, чтобы одно простое было истинным и тогда все высказывание будет истинным.

             Отрицание – это унарная операция, т.к выполняется по отношению к одному простому выражению или по отношению к результату сложного. В результате отрицания получается новое высказывание, противоположное исходному.

Высказывание (суждение) - это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать истинно оно или ложно.

Пример1.
Определите  какие из следующих выражений  являются высказываниями:

o      Число 6 – четное.

o      Здравствуйте!

o      Все роботы являются машинами.

o      Кто отсутствует?

o      Выразите 1 ч 15 мин в секундах.

o      А – первая буква в алфавите.

Пример2.
Определите истинность высказываний.

o      Треугольник – геометрическая фигура.

o      У каждой лошади есть хвост.

o      Париж  - столица Китая.

o      Лед – твердое состояние воды.

o      Все люди космонавты.

В алгебре логики высказывания обозначаются именами логических переменных (А, В, С), которые могут принимать значения истина (1) или ложь (0).

Истина, ложь – логические константы.         

Логическое выражение – простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится из простых с помощью логических операции.

Логические операции.

Рассмотрим сегодня три логические операции.

Конъюнкция( логическое умножение) – соединение двух логических выражений (высказываний ) с помощью союза И. Эта операция обозначается символами & и ∧.

Правила выполнения логической  операции  отражаются в таблице, которая называется таблицей истинности: 
А – У меня есть знания  для сдачи зачета.
В – У меня есть  желание для сдачи зачета.
A&B – У меня есть знания и желание для сдачи зачета.

Вывод: Логическая операция конъюнкция истинна только в том случае, если оба простых высказывания истинны, в противном случае она ложна.

Дизъюнкция (логическое сложение) – соединение двух логических высказываний с помощью союза ИЛИ. Эта операция обозначается значком V. 
Рассмотрим таблицу истинности для данной логической операции.
Обозначим через A  - летом я поеду в лагерь, B – летом я поеду в к бабушке.
AVB -  Летом я поеду в лагерь или поеду  к бабушке.

Вывод: логическая операция дизъюнкция  ложна, если оба простых высказывания ложны. В остальных случаях она истинна

Отрицание  или инверсия – добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО,ЧТО, обозначается символом  ¬  , ¯.
Пусть  A –  Сейчас на дворе лето.

Вывод: если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то оно будет истинным.

Последовательность выполнения операций: 
отрицание, конъюнкция, дизъюнкция.
Кроме того, на порядок выполнения операции влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах.

Задания:

1.      Из двух простых высказываний постройте сложное высказывание, используя логические операции И, ИЛИ.

o    Все ученики изучают математику. Все ученики изучают литературу.

o    Все ученики изучают математику и  литературу.

o    X>=3.

o    Синий кубик меньше красного. Синий меньше зеленого.

o    В кабинете есть учебники. В кабинете есть справочники.

2.       Вычислить значение логической формулы: не Х и У или Х и Z, если логические переменные имеют следующие значения: Х=0, У=1, Z=1

3.      Оформить отчет по лабораторной работе.

Контрольные вопросы:

Основные понятия.
Что такое логика?
Чем занимается алгебра логики?
Логическое сложение? Логическое умножение? отрицание?

НЕ ДЛЯ ПЕЧАТИ

Решение ЗАДАНИЯ 2. Отметим цифрами сверху порядок выполнения операций в выражении: 
1.      не 0=1 
2.      1 и 1= 1 
3.      0 и 1 =0 
4.      1 или 0 =1 ответ: 1

Определите истинность формулы не Р или Q и не Р