Лекция по математике на тему: "Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики."
Оценка 4.6

Лекция по математике на тему: "Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики."

Оценка 4.6
docx
16.02.2022
Лекция по математике на тему: "Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики."
Лекция 5.docx

Лекция

 

Тема: Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики.

Количество часов: 2 часа

Цель: расширение понятийной базы по теме «Функция» за счет включения в нее новых элементов; обобщить и систематизировать знания о логарифмической функции, ее свойствах; закрепить знания о логарифме числа; добиться усвоения обучающимися понятия логарифмической функции и ее свойства.

 

План:

1.       Показательная функция и ее свойства

2.       График показательной функции

3.       Примеры построения графиков показательных функций

4.       Логарифмическая функция и ее основные свойства.

5.       График логарифмической функции и его построение.

 

Вопрос 1. Показательная функция и ее свойства

 

На доске запишем уравнения:

- Какие из данных уравнений вам знакомы, а какие нет?

- Да, действительно, уравнения второго столбика отнесла бы в одну группу – группу показательных уравнений, с которыми мы сегодня и должны познакомиться.

 

Показательная функция-это функция y(x)=ax, зависящая от показателя степени x, при некотором фиксированном значении основании степени a.

Рассмотрим показательную функцию y(x)=ax.

Будем считать, что основание степени a является положительным числом:

a >0.

Тогда функция y = axо пределена для всех x.

Ее область определения:- ∞ < x + ∞.

При a ≠ 1 она имеет множество значений:0< y < + ∞.

При a = 1 показательная функция является постоянной: y = 1

Показательная функция является монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

 

К общим свойствам показательной функции как при 0 < a < 1, так и при  a>1 относятся:

 

Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a.

Если y = ax (a >0, a ≠ 1), то.

Если(х>0, a>0, a1), то х = ау

 

Вопрос 2. График показательной функции

 

На графике представлены значения показательной функции y(x) = ax для четырех значений основания степени: a = 2, a = 8, a = ½ и a = 1/8.

На графике видно, что при a >1 показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a, тем более сильный рост.

При 0 <a <1 показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a, тем более сильное убывание.

 

Вопрос 3. Примеры построения графиков показательных функций

 

Пример 1. Построить график функции у = 2х

 

 

Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y=2 хвозрастает на всей области определения D(y)=R, так как основание функции 2>1.

Пример 2. Построить график функции у = (1/2)х

 

 

Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция y=(1/2)x убывает на всей своей области определения: D(y) = R, так как основание функции 0 < (1/2) < 1.

 

Вопрос 4. Логарифмическая функция и ее свойства.

 

Функцию вида y = loga(x), где a любое положительное число не равное единице, называют логарифмической функцией с основанием а. Здесь и далее для обозначения логарифма мы будем использовать следующую нотацию: loga(b) - данная запись будет обозначать логарифм b по основанию а.

 

Основные свойства логарифмической функции:

1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных вещественных чисел. Для краткости его еще обозначают R+. Очевидное свойство, так как каждое положительное число имеет логарифм по основанию а.

2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество вещественных чисел.

3. Если основание логарифмической функции a>1, то на всей области определения функции возрастает. Если для основания логарифмической функции выполняется следующее неравенство 0<a

4. График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).

5. Возрастающая логарифмическая функция, будет положительной при x>1, и отрицательной при 0<х<1.

6. Убывающая логарифмическая функция, будет отрицательной при х>1, и положительной при 0<x< 1.

7. Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вид.

8. Функция не имеет точек максимума и минимума.

 

Вопрос 5. График логарифмической функции и его построение.

 

 

Если построить в одной оси координат показательную и логарифмическую функции с одинаковыми основаниями, то графики этих функций будут симметричны относительно прямой y = x. Данное утверждение показано на следующем рисунке.

 

 

Например: найти область определения логарифмической функции f(x) = log8(4 - 5*x).

Исходя из свойств логарифмической функции, областью определения является все множество положительных вещественных чисел R+. Тогда заданная функция будет определена для таких х, при которых 4 - 5*x>0. Решаем это неравенство и получаем x<0,8.

Таким образом, получается, что областью определения функции f(x) = log8(4 - 5*x) будет являться промежуток (-∞; 0,8)

 

Вопросы для самопроверки:

 

1.     Какая функция называется показательной?

2.     Перечислите основные свойства показательной функции y(x) = ax, a >1.

3.     Перечислите основные свойства показательной функции y(x) = ax,0 <a <1.

4.     Дайте определение логарифмической функции.

5.     Перечислите основные свойства логарифмической функции.

6.     Как связаны между собой графики показательной и логарифмической функции?

 

Список литературы и ссылки на Интернет-ресурсы, содержащие информацию по теме:

1.     Башмаков М.И., Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –7-е изд., стер. – М с.: Издательский центр «Академия», 2020. – 256с.

2.     Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. организация/ С.Г.Григорьев, С.В.Иволгина; под ред. В.А.Гусева. – 14-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2019. – 416 с.

3.     Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни – 5-е изд. -  М.: Просвещение, 2018. – 431 с.: ил.


Скачано с www.znanio.ru

Лекция Тема: Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики

Лекция Тема: Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики

К общим свойствам показательной функции как при 0 < a < 1, так и при a >1 относятся:

К общим свойствам показательной функции как при 0 < a < 1, так и при a >1 относятся:

Вопрос 3. Примеры построения графиков показательных функций

Вопрос 3. Примеры построения графиков показательных функций

Пример 2. Построить график функции у = (1/2) х

Пример 2. Построить график функции у = (1/2) х

Функция не является четной или нечетной

Функция не является четной или нечетной

Вопросы для самопроверки: 1

Вопросы для самопроверки: 1
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
16.02.2022