Лекция на тему: Численное дифференцирование

Лекция №11.   Тема занятия: Численное дифференцирование.  Цель занятия: Познакомить с интерполяционными формулами Ньютона. Показать как  применять основные численные методы для решения прикладных задач, по табличным данным находить аналитическое выражение производной. 11.1. Вычисление производной по её определению. Пусть   функция   0x   и   имеет производную   в   этой   точке,   то   есть   существует   предел   отношения   функции   к   приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.   определена   в   некоторой   окрестности   точки   y   xf   xy 0    xf  0  y lim x  x  0  1 Значение   производной   в   точке   0x можно   получить,   переходя   к   пределу   в   (1)   по последовательности целых чисел  п  и полагая, например,     некоторое   начальное   приращение   аргумента, ,3,2,1,0n . Тогда значение производной функции  ...    0 x  n x  x   ­    ­   некоторое   число,   большее   единицы, 0x  запишется так:  в точке  . Здесь    xf ( x y  0) n   xy 0    xf  0    y  x   n n  , lim  n   y n  xf 0   x    n  xf 0 . Отсюда получаем приближённое равенство   xy  0      y  x n n  2 . Для   функции   y   xf включительно   в   окрестности   точки   воспользовавшись формулой Тейлора: ,   имеющей   непрерывную   производную   до   второго   порядка 0x ,   точность   приближения   можно   установить,   xy 0      y  x   n n   L 2  x 0   n , L  max   c xx ; 0    c f . Для достижения заданной точности  приближения производной можно при определённом  (конечном) числе вычислений использовать неравенство:    y  x   n n     y  x   n  n  1  1  3 . Пример 1.  Вычислить производную функции   y sin x   в точке   0 x 3/   с точностью     10 3   3/  ,1 047198 . 1 Решение.        Положим  (  x ) 0 ;1,0   ;10   101,0  nx n , откуда:    ny sin     3  101,0   n    sin  3 . Определим приближённое значение производной:  y     3       y  x   n n sin     3   101,0   n 101,0   n    sin  3 , n  ,2,1,0 ... Найдём отношения, аппроксимирующие производную:   ( ) 45590189 , 49566158 ,  у  x  у  x  у  x  1 )  )  (  (   ,0 ,0 0 0 1  ,0 49956690 , 2 2  (  у  x  ) 3 3  ,0 49995670 . Заметим,   что      y  x   3 3     y  x   2 2  ,0 0003897939 0  .   Таким   образом,   начиная   с   третьего приближения,   в   соответствии   с   оценкой   (3),   получаем   искомое   приближение   производной данной функции с точностью не меньшей заданной. Точное значение  y     3    cos  3  5,0 . 11.2. Конечно­разностные аппроксимации. Пусть  x 0   x i : a   отрезок  ... bа;    b . x x n 2 x 1   разбит   на  п  равных   частей   точками Разность  расстояний  между   соседними  значениями  аргумента  постоянна,  то  есть  шаг )(xf , . Далее, пусть на отрезке     определена функция   bа;  1  y  x i i x  ..., h значения которой в точках  ,2,1  i n ix  равны  y  i ( i xf ) .  Запишем выражения для первой производной данной функции в точке   ix   с помощью отношения конечных разностей следующих типов: а) аппроксимация с помощью разностей вперёд (правых разностей)   xy  i  y  x i i ,  x i x i  1  h y x , i i y i  1  y i ,   xy  i y i  1  h y i  i  ,,1,0 ..., n   1  4 ; б) аппроксимация с помощью разностей назад (левых разностей)   xy  i  y  x i i ,  x i x  i 1  x i h ,  y i y  i 1  y i ,   xy  i y  i 1 y i  h  i  ,2,1 ..., n   5 ; в)   аппроксимация   с   помощью  центральных   разностей  (точка   ix   является   центром системы точек  x ,  i 1 xx , i ): i  1 2   xy  i i ,  x i x i  1  x  i 1  ,2 h y i y i  1  y  i 1  y  x i y i   xy  i , y  i 1  i  1  h 2  ,2,1 ..., n   1  6 . Очевидно,  что  аппроксимация   производной  с  помощью  центральных  разностей  представляет собой среднее арифметическое отношений (4) и (5) в точках  . Отметим, что соотношения (4) и (6) не позволяют вычислить значение производной в правом конце отрезка а, а соотношения (5) и (6) – в левом конце отрезка  b . ,2,1 ...,  xi 1 n   i , Можно показать, что для функции    , имеющей непрерывную производную до второго порядка включительно, погрешность аппроксимации производных разностями вперёд и h ,   а   погрешность   аппроксимации   центральными назад   имеет   один   и   тот   же   порядок   разностями   для   функции,   имеющей   непрерывную   производную   до   третьего   порядка включительно, имеет порядок   2h . )(xf  y  Приближённое   значение   производной   второго   порядка   в   точке   ix   выразим   через .   Для   этого   представим   вторую   производную   с   помощью yy , i  1 i значения   функции   правой разности: y  i 1 ,   xy  i а производные первого порядка  ,  y i  x 1iy i  x i x i  1   1 h , y y x i i i  , i y iy ­ с помощью левых разностей:  и    xy  i 1 y i  1   y i  1  h y i , y и окончательно получим:    xy  i i y  i 1 y i  h   xy  i  y  i 1 y i  1  i 2 y 2 h  i  ,2,1 ..., n   1  7 . , имеющей Погрешность последней аппроксимации имеет порядок  ba; непрерывную   производную   до   четвёртого   порядка   включительно   на   отрезке   . Естественно,   представление   (7)   позволяет   вычислять   значения   производной   с   помощью конечных разностей только во внутренних точках отрезка. )(xf  2h  для функции  y  3