Лекция по математике на тему: Дифференциальные уравнения

Лекция №6. Тема занятия: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общее и частное решение. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Цель занятия: Ввести понятие – дифференциальное уравнение. Познакомить с общими сведениями о дифференциальных уравнениях. 6.1. Основные понятия. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общее и частное решение. Термин  «дифференциальное уравнение»  был впервые введен Лейбницем   в 1676 г. для обозначения   зависимости   между   дифференциалами   dx   и   dy   двух   переменных   х   и   у.   Эта зависимость содержит переменные х ну вместе с другими символами а, Ь, с,..., которые являются постоянными.   Такое   ограниченное   применение   термина   было   вскоре   заменено   другим;  в настоящее время под «дифференциальными уравнениями» понимаются любые алгебраические или трансцендентные равенства, содержащие дифференциалы или производные.  Однако   при   этом   подразумевается,   что   дифференциальное   уравнение   не   является тождеством.     dx dy 2    3 yd 3 dx    dy dx 2    3 xd 3 dy  3 2 yd 2 dx 2 xd  2 dy  0 Дифференциальные уравнения классифицируются соответственно числу содержащихся в них   переменных.   Обыкновенное   дифференциальное   уравнение   выражает   зависимость   между независимой переменной (аргументом), зависимой переменной (функцией) и одной или более производными функции.  Дифференциальное уравнение в частных производных содержит одну зависимую и две или более независимых переменных вместе с частными производными зависимой переменной относительно независимых.  Дифференциальное   уравнение   в   полных   дифференциалах   содержит   две   или   более зависимых   переменных   вместе   с   их   дифференциалами   или   производными   относительно некоторой независимой переменной, которая может входить или не входить в уравнение.  Порядок дифференциального уравнения определяется порядком высшей входящей в него производной.   Если   уравнение   представлено   в   виде   полинома   от   производных,   то   степень,   в которую возводится высшая производная, называется степенью уравнения. Если в уравнении в обыкновенных или частных производных зависимая переменная и ее производные входят только 1 в первой   степени и не встречаются в более высоких степенях или произведениях, уравнение называется линейным.  Следовательно,   коэффициенты   линейного   уравнения   представляют   собой   постоянные или функции независимой переменной или переменных.  Так, например     2 yd 2 dx  y x 3       ­   является обыкновенным линейным уравнением второго порядка;     x  2  y dy  1 dx   степени;   —   обыкновенное   нелинейное   уравнение   первого   порядка   первой x dz dx  y dz dy 0 z   — линейное   дифференциальное   уравнение   в   частных производных первого порядка с" двумя независимыми переменными   и т.д. Рассмотрим уравнение       ccyxf ,( , , 1 ,....., nc 0 ) 2 где х: и у— переменные, а с1, с2, ….сn— произвольные независимые постоянные. Это уравнение служит   для   определения   у   как   функции   х.   Так   определяется   последовательность   функций, причем   каждая   функция   соответствует   определенному   произвольному   значению     .   Можно образовать   такое   обыкновенное   дифференциальное   уравнение,   которое   удовлетворилось   бы любой   из   этих   функций.   Дифференцируем   заданное   уравнение   последовательно  n  раз относительно х. Тогда мы получим новых уравнений, именно    y  0 df dy   df dx 2 fd 2 dx .......... fd n dx n n y )(   y y dy dx 2 yd  0 2 dx ..... .......... .......... . n yd n dx  )( y n 2 2 fd dxdy y  2 y fd 2 dy ..........  .... n  fd n dy где     .......... .......... .......... ..........  ......  df dy )( n y  0 Каждое   уравнение   существенно  отличается   от  предшествующего;   из   всех  n  +1   уравнений  n произвольных постоянных  с1, с2,. ..,сn могут быть исключены алгебраически, после чего получим дифференциальное уравнение n­го порядка:  yyyxF  ,....., )(  ny  , 0  , , Определение.  Соотношения,   в   которых   неизвестные   переменные   и   их   функции находятся   под   знаком   производной   или   дифференциала,   называются   дифференциальными уравнениями.  2 Определение.  Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение,   и   её   производную связывающее   независимую   переменную   x ,   искомую   функцию   первого порядка  y  или дифференциалы  dx  и  dy . )(xf y  Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид  F x y y   , , 0                                                   (1) Если это уравнение можно разрешить относительно у', то оно примет вид y    f x y ,  .                                                     (2) Основной   задачей   теории   дифференциальных   уравнений   является   нахождение неизвестных функций, определяемых дифференциальными уравнениями Определение.  Решением   дифференциального   уравнения   (1)   называется   функция ( ) x , обращающая уравнение в тождество.   y Определение.  Общим   решением   дифференциального   уравнения   первого   порядка называется функция  y   ( , ) x c ,                                                      (3) которая зависит от произвольной постоянной  с  и обращает дифференциальное уравнение (1) в тождество. Определение. Общее решение Ф( , x y c  , ) 0,                                                   (4) заданное в неявном виде, называется общим интегралом этого уравнения. Определение.  Частным   решением   дифференциального   уравнения   (1)   называется , которая получается из общего решения (3) при определенном числовом ) функция  значении   y c   c 0 ( , x c 0 . Теорема   существования   и   единственности   решения   дифференциального   уравнения первого порядка. Пусть в уравнении (2) функция   ) ( , f x y   и её частная производная     f    непрерывны в y некоторой   области   D на   плоскости  Oxy .   Тогда,   какова   бы   ни   была   точка D ,   всегда   существует   (и   при   том   только   одно)   такое   решение ) ( M x 0 y этого уравнения  0 0( x , которое равно  0y  при  x 0 , называется начальным условием.   0( ) x ) x  при   y , т. к.  0 x 0     0( x x , y 0 ) . 0 y Условие, что   0 Оно записывается в виде y  x x 0  y 0   или   y x ( 0 ) y 0 .                                 (5) Поставим   задачу.  Найти   решение   y  y x ( )   уравнения   (2),   удовлетворяющее предыдущей теореме.   3 Такая задача называется задачей Коши. Определение.  Решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым. Замечание. В некоторых случаях выгодно за искомую функцию считать переменную  x  и записывать уравнение  (2)  в виде   x  g x y ,  ,       где           g x y ,   1 ,  f x y  .                    (6) Учитывая, что   y   dy dx  и     x dx dy , записать в форме  дифференциальные уравнения (1), (2) и (6) можно  P x y dx Q x y dy   ,  ,   0,                                  (7) где    ,P x y   и     ,Q x y    известные функции.  Пример 1. Найти общее решение уравнения   y   23 . x Решение. Так как  y   dy dx , то получим    23 . x dy dx Тогда   dy  23 . x dx Интегрируя обе части уравнения, окончательно получим  y  3 x  . c Общее решение данного уравнения образует семейство кубических парабол, т.к. c может принимать любое числовое значение. у Рассмотрим частное решение. М 1 0                           x Пусть наша кривая проходит через точку М(1,0), см. рис. Подставим координаты точки   М   в общее решение. Получим  3  0 1  ,   откуда     c c   1. Тогда частное решение имеет вид x 3 1.  y Геометрическое толкование дифференциального уравнения первого порядка заключается в   том,   что   общее   решение   (общий   интеграл)   (4)   представляет   собой   семейство   кривых   на координатной плоскости, зависящее от одной произвольной постоянной  c . 4 Эти кривые называются интегральными кривыми уравнениями (1), (2).  Частному   решению   (задачи   Коши)   соответствует   одна   кривая   этого   семейства, проходящая через данную точку плоскости. Решить дифференциальное уравнение (1)  значит: 1. найти его общее решение (если начальные условия не заданы); 2. найти  частное  решение  уравнения  (1), которое  удовлетворяет  начальным  условиям или, другими словами, решить задачу Коши. Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка. 6.2. Уравнения с разделяющимися переменными Определение.  Дифференциальное уравнение вида M x dx N y dy   0,                                     (8)     в котором коэффициент при    dx  является функцией только от  x , а коэффициент при    dy   функцией только от  y , называется уравнением с разделенными переменными. Функции  M x  и    N y  должны быть непрерывными для всех значений   x и   y . Уравнение с разделенными переменными решается следующим образом: Перенесем   слагаемое   M x dx   в  правую  сторону  равенства  (8)  с противоположным  знаком. M x dx      N y dy  . Проинтегрируем правую часть уравнения по  y , а левую по  х.  M x dx    N y dy      c .                                     (9) Полученное   равенство   (9)   является   общим   интегралом   уравнения   с   разделенными переменными (8). Пример 2.  Решить уравнение ydy  xdx  0. Решение. Переменные уравнения разделены. Тогда                                        ydy  xdx . Интегрируя, получим  ydy   xdx          или         2 y 2  2 x 2  c .             5 Тогда   2 y 2  2 x 2  c .  или   2 y 2  x  c 1   семейство гипербол. Замечание.  Дифференциалы   dx и   dy  должны всегда стоять в числителе. Определение.  Дифференциальное уравнение вида M x N y dy M x N y dx   1   1   2   2   0,                       (10) в   котором   коэффициенты   при   дифференциалах   можно   разложить   на   множители,   зависящие только от  x  и только от  y , называется уравнением с разделяющимися переменными. Разделим уравнение (10) на    2    M x N y ,   1   N y M x   M x N y dy 1 2 2 1      0,  N y 2   0    получим 0. 1  M x   dx  Далее   N y  N y 1 2   dy     M x   M x 2 1 dx .                                     (11) Проинтегрировав обе части уравнения (11), получим общий интеграл уравнения (10):  N y  N y 1 2    dy     M x   M x 2 1  dx  c . Замечание 1. При делении обеих частей уравнения (10) на произведение   могут быть потеряны частные решения, обращающие в нуль произведение      M x N y .  M x N y 2 1  1 2   Замечание 2.  Уравнение с разделенными переменными (8) является частным случаем уравнения с разделяющимися переменными. Пример 3.  Решить уравнение   y    x y . Решение. Так как   y   dx dy , то получим dx dy   x y , ( x  0). Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив это уравнение на  y ( y  0)  и умножив его на  dx , получим dy y   dx x . Интегрируя, получим 6  dy y     ln y  dx x ln    x c 1 ln y ln x  ln ( c 2 c 2  0, c 1  ln c 2 )    ln y ln dx c 2 x dy .   x y , ( x  0). Откуда  y  c 2 x , ( c 2  0)   общее решение нашего уравнения в общем виде. При   делении   обеих   частей   уравнения   на   y   можно   потерять   решение   0y  .     Оно   также   является   особым   (или   частным)   решением   уравнения.   Заметим,   что   это решение можно получить из общего при   2 c  .  Поэтому в ответе достаточно указать  0 y  c 2 . x Пример 4. Решить уравнение  y  2 x y y  2  xy   x 0. Решение.  Представим уравнение в виде  y  2 x y dy    2 xy   x dx  0,т.к.  y  . dy dx Вынесем общие множители за скобки  y 2 1  x  dy   x y 2   1 dx  0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Перенесем второе слагаемое в правую сторону  y 2 1  x  dy    x y 2   1 dx . Разделим обе части уравнения на произведение  2 y    x 1 1   , ( 2   x dx  2  1 x x   1). .  ydy 2  1 y   Интегрируя обе части уравнения, найдем общее решение ydy 2  1 y       x dx 2  x 1    1 2  Умножим обе части уравнения на 2  d y 2 y 2  1   1  1 2   d 1  1  x 2 x 2  . 7   2  d y 2 y   1   1   d 1  1  x   ln  2 y   1   ln 1 2  x   ln ( c c   0) 2 x 2    c c 2 y 2 y 2 x 2 x 1 1    ln    1   ln 1 уравнения в неявном виде.   При делении обеих частей уравнения на произведение   x   , которое находится из равенства    могли потерять x     не решение   являются   решением   нашего   уравнения,   т.к.   при   подстановке   в   уравнение   не   обращают   его   в тождество.    1 x    1 x 2  1    Функции   0     общее решение (общий интеграл) 1 1 2 y 2 y 1     2 6.3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям  с разделяющимися переменными Уравнения вида y ,a b  и с  постоянные числа   a где  переменными с помощью подстановки  0, b    0   f ax by   c  ,  (12) , приводятся к уравнениям с разделяющимися t  ax by   c ,  t   a by  ,где  t  dt . dx Замечание 1.  Если с = 0,  получим уравнение y   которое решается с помощью замены       t  ax by  , t   f ax by   a by                                           (13)  , . Замечание   2.  переменными.   Если  а  =   0   или  b  =   0,   то   получим   уравнение   с   разделяющимися Пример 5.  Решить уравнение y   y x  . cos  t x ( ) Решение. Введем новую переменную  t  по формуле t   y x ,  t   y     1 y t   1. Подставим  t  и   y  в первоначальное уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными относительно   x   и  t . 8  t   1 cos t  dt  1 cos t   t  cos t   1  dx   dx 2 2sin t 2 dt dx     1 cos t  dx ,т.к. 1 cos  t  2 Интегрируя обе части равенства, получим общий интеграл уравнения  ctg t 2    x c ctg t 2    x   c  ctg x y  2    x  c    общее решение уравнения. Замечание    .  В   примерах   частные   и   особые   решения   дифференциальных   уравнений рассматривать не будем. 9